吉林省长春市2020届高三第四次质量监测数学试题(理科)含答案
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1、理科数学试题 第 1 页(共 4 页) 长春市长春市 2020 届高三质量监测(四)届高三质量监测(四) 理科数学 本试卷共 4 页。考试结束后,将答题卡交回。 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不折叠,不弄破、弄
2、皱,不使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2 |1Ax x?, |0Bx x?,则() R AB ? A. |1x x B. |1x x ? C. |1 01x xx? ?或 D. |1 01x xx?或 2. 在等比数列? ? n a中, 3 3a ?, 6 6a ?,则 9 a ? A. 1 9 B. 1 12 C. 9 D. 12 3. 设复数izxy?(, x y?R),下列说法正确的是 A. z的虚部是i y ; B. 22 |zz?; C. 若0x ?,则
3、复数z为纯虚数; D. 若z满足| i| 1z ? ?,则z在复平面内对应点( , )x y的轨迹是圆. 4. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要,某实践小组共有 4 名男生,2 名女生,现从 中选出 4 人参加校园植树活动,其中至少有一名女生的选法共有 A.8 种 B. 9 种 C. 12 种 D. 14 种 5. 若 1 sin() 83 ? ?,则sin(2) 4 ? ? A. 2 9 ? B. 2 9 C. 7 9 ? D. 7 9 6. 田径比赛跳高项目中,在横杆高度设定后,运动员有三次试跳机会,只要有一次 试跳成功即完成本轮比赛. 在某学校运动会跳高决赛中,某跳高运动员成功越过 现
4、有高度即可成为本次比赛的冠军,结合平时训练数据,每次试跳他能成功越过 这个高度的概率为 0.8(每次试跳之间互不影响),则本次比赛他获得冠军的概 率是 A. 0.832 B. 0.920 C. 0.960 D. 0.992 理科数学试题 第 2 页(共 4 页) 7. 已知 5 log 2a?, 0.5 log0.2b?,ln(ln2)c ?,则a,b,c的大小关系是 A. abc? B. acb? C. bac? D. cab? 8. 已知直线a和平面?、?有如下关系:? ? ,? ?/ ,a ? ,a?/ ,则 下列命题为真的是 A. ? B. ? C.? D.? 9. 如图,为测量某公园
5、内湖岸边 A,B 两处的距离,一无人机在空中 P 点处测得 A,B 的俯角分别为?,?,此时无人机的高度为h,则AB的距离为 A. 22 112cos() sinsinsinsin h ? ? ? ? B. 22 112cos() sinsinsinsin h ? ? ? ? C. 22 112cos() coscoscoscos h ? ? ? ? D. 22 112cos() coscoscoscos h ? ? ? ? 10. 过抛物线 2 :2C xpy?(0p?)的焦点F作直线与该抛物线交于A,B两点,若 3 AFBF?,O为坐标原点,则 | | AF OF ? A. 4 3 B.
6、3 4 C. 4 D. 5 4 11. 函数( )sin()f xx?的部分图象如图中实线所示,图中的圆C与( )f x的图象交 于,M N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是 函数( )f x的图象关于点 4 ( ,0) 3 成中心对称; 函数( )f x在 11 (,) 26 ?上单调递增; 圆C的面积为 31 36 ?. A. B. C. D. 12. 函数 2 ( ) mxmx f xeexmx ? ?(m?R) 的图象在点 11 ( ,()A xf x, 11 (,()Bxfx? 处两条切线的交点 00 (,)P xy一定满足 A. 0 0x ? B. 0 xm? C. 0 0y
7、 ? D. 0 ym? 理科数学试题 第 3 页(共 4 页) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知双曲线 22 22 1 xy ab ?( 0,0ab?)的离心率为 2,则双曲线的渐近线方程为_. 14. 执行如图所示的程序框图,若输入 1,3t? ?,则输出 s的取值范围是_. 15. 已知向量(0,1)AB ? ? ? ,|7AC ? ? , 1AB BC? ? ? ? ? ,则 ABC面积为_. 16. 已知正方体 1111 ABCDA BC D?的棱长为2,点MN,分别 是棱BC, 1 CC的中点,则二面角CAMN?的余弦值为 _;若动点P在正方
8、形 11 BCC B(包括边界)内 运动,且 1 PA /平面AMN,则线段 1 PA的长度范围是 _. (本小题第一空2分,第二空3分) 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为 必考题,每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. (12分) 已知数列 n a是等比数列,且公比q不等于1,数列 n b满足2 n b n a ?. ()求证:数列 n b是等差数列; ()若 1 2a ?, 324 32aaa?,求数列 21 1 log nn ba ? 的前n项和 n S. 18.
9、(12分) 如图,四棱锥PABCD?中,底面ABCD为梯形, ABDC/,90BAD? ? ,点E为PB的中点,且 224CDADAB?,点F在CD上,且 1 3 DFFC?. ()求证:EF/平面PAD; () 若平面PAD?平面ABCD,PAPD?且PAPD?, 求直线PA与平面PBF 所成角的正弦值. 19. (12分) 已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy?与x轴正半轴交于点A,与y轴交于B、C两点. ()求过,A B C三点的圆E的方程; ()若O为坐标原点,直线l与椭圆C和()中的圆E分别相切于点P和点Q (,P Q不重合),求直线OP与直线EQ的斜率之积. A D B C E F
10、 P D1C1 B1 A1 N M C D AB P 输入 开始 t 结束 否是 1?t ? 1t se ? ?3 logst? 输出s 理科数学试题 第 4 页(共 4 页) 20. (12分) 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”,要在10天之内,对武汉市民做一次全员 检测,彻底摸清武汉市的详细情况. 某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有1000(n ? ?N)份血液样 本,有以下两种检验方式: 方案:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次. 方案:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检 验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k个人的
11、血就只需检验一次(这 时认为每个人的血化验 1 k 次);否则,若呈阳性,则需对这k个人的血样再分别进行一 次化验.这样,该组k个人的血总共需要化验1k?次.假设此次检验中每个人的血样化验 呈阳性的概率为p,且这些人之间的试验反应相互独立. ()设方案中,某组k个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列; ()设0.1p ?.试比较方案中,k分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数; 并指出在这三种分组情况下,相比方案,化验次数最多可以减少多少次?(最后结果 四舍五入保留整数). 21. (12分) 已知函数 2 ( )ln2 x e f xaxe?,a?R. ()若函数( )f x在 2 e
12、 x ?处有最大值,求a的值; ()当ae时,判断( )f x的零点个数,并说明理由. (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的 第一题计分. 22. 选修4-4 坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y ? ? ? ? ? ? ? (?为参数) ,以坐 标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,点A为曲线 1 C上的动点,点B在 线段OA 的延长线上,且满足| | 8OAOB?,点B的轨迹为 2 C. ()求曲线 1 C, 2 C的极坐标方程; ()设点M的极坐标为 3 (
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