四川省成都市双流区2020年中考数学二诊试卷（含答案解析）

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1、2020 年四川省成都市双流区中考数学二诊试卷年四川省成都市双流区中考数学二诊试卷 一、选择题 12 的相反数是（ ） A B C2 D2 2如图，已知直线 ab，160，则2 的度数是（ ） A45 B55 C60 D120 3下列计算正确的是（ ） Ax3x2x Bx2 x 3x6 Cx6x3x2 D（x3）2x6 4下列四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 52019 年，双流区共实施省、市、区民生实事项目 107 个，财政资金执行 4.8 亿元，真正 做到了把为人民造福的事情办好落实用科学记数法表示 4.8 亿元为（ ） A4.8108元 B4.8109元 C48108元

2、 D48107元 6如图，所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 7甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数都是 9.3 环，方差分别 为 s甲 20.54，s 乙 20.62，s 丙 20.56，s 丁 20.45，则成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 8如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的中点，若 DE5，则 BC（ ） A6 B8 C10 D12 9将抛物线 y3x2向右平移 3 个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay3x2+3 By3（x3）2 Cy3x23 Dy3（x+3）2 10如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交

3、 BC 于点 D，连结 OD，AD以 下结论：ADB90；D 是 BC 的中点；AD 是BAC 的平分线；ODAC， 其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：（每小题 4 分，共 l6 分） 11比较大小：3 2（填“，或”符号） 12如图，在ABC 和DEF 中，AD，ABDE，ACDF若B47，则E 的度数是 13已知在正比例函数 y2mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大，则点 P（m，4）在 第 象限 14如图，在菱形 ABCD 中，AB，M，N 分别是 BC，CD 的中点，P 是对角线 BD 上 的一个动点，则 PM+PN 的最小值是

4、三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15（1）计算：（1）2019+（） 1（sin58 ）0+|2sin60|； （2）解方程组： 16先化简，再求值：（），其中 x2+ 17小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路 l 的距离为 0.1 千 米的 P 处一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间 为 4 秒，并测得APO59，BPO45根据以上的测量数据，请求出该轿车在 这 4 秒内的行驶速度（参考数据：sin590.86，cos590.52，tan591.66） 18小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的箱子里放入 4

5、个相同的小球，球上分别标有 数字 0，10，20 和 30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回） （1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 ，最多为 ； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于 30 的概率 19如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 yx 的图象与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（6，a） （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点 C（b，4）在反比例函数 y的图象上，点 P 在 x 轴上，若AOC 的面积 等于AOP 的面积的两倍，请求出点 P 的坐标 20如图，在ABC 中，ABAC10，tan

6、A，点 O 是线段 AC 上一动点（不与点 A， 点 C 重合），以 OC 为半径的O 与线段 BC 的另一个交点为 D，作 DEAB 于 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当O 与 AB 相切于点 F 时，求O 的半径； （3） 在 （2） 的条件下， 连接 OB 交 DE 于点 M， 点 G 在线段 EF 上， 连接 GO 若GOM 45，求 DM 和 FG 的长 一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）B 卷（共 50 分） 21在平面直角坐标系中，已知点 P1（a1，6）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称，则（a+b） 2020 的值为 22为了估计池塘里有多少条鱼，从

7、池塘里捕捞了 1000 条鱼做上标记，然后放回池塘里， 经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞 200 条，若其中有标记的 鱼有 10 条，则估计池塘里有鱼 条 23 若关于x的一元二次方程3x26x40的两个实数根为x1和x2， 则+ 24已知直线 ykx+2 与 y 轴交于点 A，与双曲线 y相交于 B，C 两点，若 AB3AC， 则 k 的值为 25如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 边上一点，且点 D 到 BC 的距离等于点 D 到 AC 的距离将ABC 绕点 D 旋转得到ABC，连接 BB，CC若 ，则的值为 二、解答题：（本大题共 3 个小题，共 3

8、0 分） 26某宾馆有客房 90 间，当每间客房的定价为每天 140 元时，客房会全部住满当每间客 房每天的定价每涨 10 元时，就会有 5 间客房空闲如果旅客居住客房，宾馆需对每间客 房每天支出 60 元的各种费用 （1）请写出该宾馆每天入住的客房数 y（间）与每间客房涨价 x（元） （x 为 10 的倍数） 满足的函数关系式； （2）请求出该宾馆一天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？ 27已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，AB4，BC6 （1）如图 1，P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，过点 Q 作 QH BC，交 BC 的延

9、长线于 H求证：ADPHCQ； （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行 四边形 PCQE请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不 存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA（n 为常数），以 PE， PB 为边作平行四边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在， 请求出最小值；如果不存在，请说明理由 28如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），交 y 轴于 点 C，抛物线的顶

10、点为 P，过点 B 作 BC 的垂线交抛物线于点 D （1）若点 P 的坐标为（4，1），点 C 的坐标为（0，3），求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，求点 A 到直线 BD 的距离； （3）连接 DC，若点 P 的坐标为（，），DCx 轴，则在 x 轴上方的抛物线上 是否存在点 M， 使AMBBDC？若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求答 案涂在答题卡上） 12 的相反数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据相反数的概念解答即可 解：2 的相反数是2， 故选：C

11、2如图，已知直线 ab，160，则2 的度数是（ ） A45 B55 C60 D120 【分析】直接利用平行线的性质得出2 的度数 解：直线 ab，160， 260 故选：C 3下列计算正确的是（ ） Ax3x2x Bx2 x 3x6 Cx6x3x2 D（x3）2x6 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂 的乘法运算法则逐一判断即可 解：Ax3与 x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Bx2 x 3x5，故本选项不合题意； Cx6x3x3，故本选项不合题意； D（x3）2x6，故本选项符合题意 故选：D 4下列四个标志中，是轴对称图形的是（

12、） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 故选：B 52019 年，双流区共实施省、市、区民生实事项目 107 个，财政资金执行 4.8 亿元，真正 做到了把为人民造福的事情办好落实用科学记数法表示 4.8 亿元为（ ） A4.8108元 B4.8109元 C48108元 D48107元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变

13、成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 解：将 4.8 亿元480000000 元用科学记数法表示为：4.8108元 故选：A 6如图，所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形解答即可 解：从几何体的正面可以看到 D 中的图形， 故选：D 7甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数都是 9.3 环，方差分别 为 s甲 20.54，s 乙 20.62，s 丙 20.56，s 丁 20.45，则成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方

14、差越大，则平均值的离 散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进 而分析即可 解：s甲 20.54，s 乙 20.62，s 丙 20.56，s 丁 20.45 s丁 2s 甲 2s 丙 2s 乙 2， 成绩最稳定的是丁 故选：D 8如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的中点，若 DE5，则 BC（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】根据三角形中位线定理解答 解：D，E 分别是 AB，AC 上的中点， DE 是ABC 的中位线， BC2DE10， 故选：C 9将抛物线 y3x2向右平移 3 个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay3x2+3 By3

15、（x3）2 Cy3x23 Dy3（x+3）2 【分析】根据左加右减规律可得答案 解：抛物线 y3x2向右平移 3 个单位，所得到的抛物线是 y3（x3）2， 故选：B 10如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连结 OD，AD以 下结论：ADB90；D 是 BC 的中点；AD 是BAC 的平分线；ODAC， 其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由 ABAC，得到BC，由于 AB 为O 的直径，得到 ADBC，根据相似 三角形的性质得到正确，由于 OBOD，于是得到BODB，根据同位角相 等，两直线平行即可得到正确 解：A

16、BAC， BC， AB 为O 的直径， ADB90， ADBC， BDCD，BADCAD， D 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线， 正确， OBOD， BODB， ODBC， ODAC， 正确， 故选：D 二、填空题：（每小题 4 分，共 l6 分） 11比较大小：3 2（填“，或”符号） 【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较正数大于负数 解：有理数大小比较法则：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，所以32 12如图，在ABC 和DEF 中，AD，ABDE，ACDF若B47，则E 的度数是 47 【分析】由“SAS”可证ABCDEF，可得EB47 解：ABDE，AD，AC

17、DF， ABCDEF（SAS）， EB47， 故答案为：47 13已知在正比例函数 y2mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大，则点 P（m，4）在 第 二 象限 【分析】先根据正比例函数 y2mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大判断出2m 的符号，求出 m 的取值范围即可判断出 P 点所在象限 解：正比例函数 y2mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大， 2m0，解得 m0， 点 P（m，4）在第二象限 故答案为：二 14如图，在菱形 ABCD 中，AB，M，N 分别是 BC，CD 的中点，P 是对角线 BD 上 的一个动点，则 PM+PN 的最小值是 【分析】作

18、M 关于 BD 的对称点 E，连接 NE，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值 最小 解：如图，作 MEBD 交 AB 于 E，连接 EN，与 BD 交于点 P， 当 P 与 P重合时，则 EN 就是 PM+PN 的最小值， M、N 分别是 BC、CD 的中点， CNBMCM， MEBD 交 AB 于 E， BEBM， BECN，BECN， 四边形 BCNE 是平行四边形， ENBCAB， 故答案为： 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15（1）计算：（1）2019+（） 1（sin58 ）0+|2sin60|； （2）解方程组： 【分析】（1）原式利用乘方的

19、意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数 意义计算即可求出值； （2）方程组利用加减消元法求出解即可 解：（1）原式1+21+00； （2）， 32，得 5y10， 解得：y2， 把 y2 代入得：x1， 方程组的解为 16先化简，再求值：（），其中 x2+ 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 解：原式 将 x2+代入上式， 则 17小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路 l 的距离为 0.1 千 米的 P 处一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间 为 4 秒，并测得APO59，BPO45根据以上的测量数据，请求出该轿车在

20、 这 4 秒内的行驶速度（参考数据：sin590.86，cos590.52，tan591.66） 【分析】根据已知和特殊角的三角函数值求得 OA，OB 的长，从而得出 AB 的长，再根 据测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间为 4 秒，求出轿车的速度，即可得出答案 解：在 RtBOP 中，BPO45，PO0.1 BOPO0.1A， 在 RtAOP 中，APO59，PO0.1， AOPO tan590.11.660.166， ABAOBO0.1660.10.066， 0.06659.4， 答：该轿车在这 4 秒内的行驶速度为每小时 59.4 千米 18小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的

21、箱子里放入 4 个相同的小球，球上分别标有 数字 0，10，20 和 30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回） （1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 10 ，最多为 50 ； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于 30 的概率 【分析】（1）当摸出的两个小球上所标的数字分别为 0 和 10 时，它们的和最小；当摸 出的两个小球上所标的数字分别为 30 和 20 时，它们的和最大； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出摸出的两个小球上所标的数字之和 不低于 30 的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）摸出的两个小球上

22、所标的数字之和至少为 0+1010，最多为 30+2050； 故答案为 10，50； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中摸出的两个小球上所标的数字之和不低于 30 的结果数 为 8， 所以摸出的两个小球上所标的数字之和不低于 30 的概率 19如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 yx 的图象与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（6，a） （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点 C（b，4）在反比例函数 y的图象上，点 P 在 x 轴上，若AOC 的面积 等于AOP 的面积的两倍，请求出点 P 的坐标 【分析】（1）先求出 a 的值，再根据待定系

23、数法就可以求出函数的解析式； （2）分别过点 C，A 作 CDx 轴，AEx 轴，垂足分别为点 D，E，根据曲线求得 C 的 坐标， 进而求出OAE、 AOC 的面积， 再根据AOC 的面积等于AOP 的面积的两倍， 结合三角形的面积公式解答即可 解：（1）点 A（6，a）在正比例函数 yx 的图象上， a62， 点 A（6，2）在反比例函数 y的图象上， 2， k12， 反比例函数的表达式为 y （2）分别过点 C，A 作 CDx 轴，AEx 轴，垂足分别为点 D，E 点 C（b，4）在反比例函数 y的图象上， 4，b3，即点 C 的坐标为（3，4）， 点 A，C 都在反比例函数 y的图象上

24、， SOAESCOD 126， SAOCS 四边形COEASOAES四边形COEASCODS梯形CDEA， SAOC （CD+AE） DE（4+2）（63）9， AOC 的面积等于AOP 的面积的两倍， SAOPSAOC ， 设点 P 的坐标为（m，0）， 则 SAOP 2 |m|， m， 点 P 的坐标为（，0）或（，0） 20如图，在ABC 中，ABAC10，tanA，点 O 是线段 AC 上一动点（不与点 A， 点 C 重合），以 OC 为半径的O 与线段 BC 的另一个交点为 D，作 DEAB 于 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当O 与 AB 相切于点 F 时，求O 的半

25、径； （3） 在 （2） 的条件下， 连接 OB 交 DE 于点 M， 点 G 在线段 EF 上， 连接 GO 若GOM 45，求 DM 和 FG 的长 【分析】 （1） 先由 OCOD， 得出DCOCDO， 再由 ABAC， 得出ABCACB， 进而判断出 ODAB，即可得出结论； （2）先用三角函数表示层 AFr，AOr，进而用 AOACOC10r，建立方程 求解即可得出结论； （3）先判断出BEMODM，得出，进而求出 DM，再判断出OFT ODM，得出FOTBOD，OTOM，再用等式的性质得出GOTGOM，进 而判断出OGTOGM，进而表示出 EGa，GM+a，最好用勾股定理建 立方程

26、求解借口得出结论 解：（1）证明：如图 1，连接 OD OC，OD 均为O 的半径， OCOD， DCOCDO， 又在ABC 中，ABAC， ABCACB， ABCCDO， ODAB， DEAB， DEOD， DE 是O 的切线 （2）解：如图 2，连接 OF， 设O 的半径为 r，则 OFr，OCr， O 与 AB 相切于点 F， ABOF， OFA90， 在 RtAOF 中，OFA90，OFr，tanA， AFr， AOr， 又AOACOC10r， r10r， r （3）解：如图 3，由（2）知 r ， AFr ， ODEDEFOFE90， 四边形 ODEF 是矩形 OFOD， 矩形 OD

27、EF 是正方形， DEEFOF ， BEABAFEF10 ， BMEOMD，BEMODM90， BEMODM， ， 解得 DM ， 在 EF 延长线上截取 FTDM， 四边形 ODEF 是正方形， OFTODM90，OFOD， OFTODM（AAS）， FOTBOD，OTOM， DOF90，GOM45， GOF+BOD45， GOF+FOT45， 即GOT45， GOTGOM， 又 OGOG， OGTOGM（SAS）， GMGTGF+FTGF+DM， 设 GFa，则 EG a，GM +a， EMDEDM ， 在 RtEMG 中，EM 2+EG 2GM 2， 即（ ） 2+（ a ） 2（ +a

28、 ） 2， 解得 a ， FG 的长为 一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）B 卷（共 50 分） 21在平面直角坐标系中，已知点 P1（a1，6）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称，则（a+b） 2020 的值为 1 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特点可得 a、b 的值，然后可得答案 解：点 P1（a1，6）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称， a13，b16， 解得：a4，b5， （a+b）20201， 故答案为：1 22为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了 1000 条鱼做上标记，然后放回池塘里， 经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞 200 条

29、，若其中有标记的 鱼有 10 条，则估计池塘里有鱼 20 000 条 【分析】捕捞 200 条，其中有标记的鱼有 10 条，即在样本中有标记的所占比例为， 而在整体中有标记的共有 1000 条，根据所占比例即可解答 解：100020 000（条） 故答案为：20000 23 若关于x的一元二次方程3x26x40的两个实数根为x1和x2， 则+ 【分析】根据一元二次方程的关系可得 x1+x22；x1 x2；把+变形 为即可得到答案 解：关于 x 的一元二次方程 3x26x40 的两个实数根为 x1和 x2， x1+x2 2；x1 x2 ， + 故答案为： 24已知直线 ykx+2 与 y 轴交于

30、点 A，与双曲线 y相交于 B，C 两点，若 AB3AC， 则 k 的值为 1 或 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：当 k0 时，如图 1 中，过点 C 作 CH OA 于 H，过点 B 作 BFOA 于 F设 C（m，），利用平行线分线段成比例定理构建 方程求出 m 即可解决问题 当 k0 时，如图 2 中，过点 C 作 CHOA 于 H，过点 B 作 BFOA 于 F设 C（m， ），方法类似 解：当 k0 时，如图 1 中，过点 C 作 CHOA 于 H，过点 B 作 BFOA 于 F设 C （m，）， CHBF， ， CHm， BF3m，AF3AH， B（3m，）， 23（2）

31、， 解得 m2， C（2，）， 把点 C（2，）代入 ykx+2，得到 k 当 k0 时，如图 2 中，过点 C 作 CHOA 于 H，过点 B 作 BFOA 于 F设 C（m， ）， CHBF， ， CHm， BF3m，AF3AH， B（3m，）， 2+3（ 2）， 解得 m1， C（1，3）， 把点 C（1，3）代入 ykx+2，得到 k1， 综上所述，满足条件的 k 的值为 1 或 故答案为 1 或 25如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 边上一点，且点 D 到 BC 的距离等于点 D 到 AC 的距离将ABC 绕点 D 旋转得到ABC，连接 BB，CC若 ，则的值为 【

32、分析】连结 DC、DC，过点 D 作 DEBC 于点 E，如图，根据旋转的性质得 DB DB，DCDC，BDBCDC，则可证明DBBDCC，根据相似三 角形的性质得，则可设 DC3x，BD5x，然后利用等腰直角三角 形的性质得 DE3x，接着利用勾股定理计算出 BE4x，则可求出答案 解：连结 DC、DC，过点 D 作 DEBC 于点 E，如图， ABC 绕点 D 旋转得到ABC， DBDB，DCDC，BDBCDC， 即， DBBDCC， ， 设 DC3x，BD5x， 点 D 到 BC 的距离等于点 D 到 AC 的距离， ACDDCB45， DE3x， 在 RtBDE 中，BE4x， tan

33、B， 即 故答案为： 二、解答题：（本大题共 3 个小题，共 30 分） 26某宾馆有客房 90 间，当每间客房的定价为每天 140 元时，客房会全部住满当每间客 房每天的定价每涨 10 元时，就会有 5 间客房空闲如果旅客居住客房，宾馆需对每间客 房每天支出 60 元的各种费用 （1）请写出该宾馆每天入住的客房数 y（间）与每间客房涨价 x（元） （x 为 10 的倍数） 满足的函数关系式； （2）请求出该宾馆一天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？ 【分析】（1）根据题意，可以写出该宾馆每天入住的客房数 y（间）与每间客房涨价 x （元）（x 为 10 的倍数）满足的函数关系式； （

34、2）根据题意，设利润为 w 元，然后即可得到 w 与 x 的函数关系式，再利用二次函数 的性质，即可得到 w 的最大值，本题得以解决 解：（1）由题意得 y90 5 x+90， 即该宾馆每天入住的客房数 y（间）与每间客房涨价 x（元）（x 为 10 的倍数）满足的函 数关系式是 yx+90； （2）设每天利润为 w 元，得 w（x+90 ）（140+x60） x2+50x+7200（x50）2+8450， 当 x50 时，w 取得最大值 8450，此时，每间房的定价为 190 元， 答：该宾馆一天的最大利润为 8450 元，此时客房的定价为每间 190 元 27已知在四边形 ABCD 中，A

35、DBC，ABBC，AD2，AB4，BC6 （1）如图 1，P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，过点 Q 作 QH BC，交 BC 的延长线于 H求证：ADPHCQ； （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行 四边形 PCQE请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不 存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA（n 为常数），以 PE， PB 为边作平行四边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，

36、 请求出最小值；如果不存在，请说明理由 【分析】（1）根据平行线的性质得到ADPQCH，利用 AAS 定理证明ADP HCQ； （2） 作 QHBC， 交 BC 的延长线于 H， 设 PQ 与 DC 相交于点 G， 证明DPGCQG， 得到，求出 BH 的长，得到答案； （3）作 QHDC，交 CB 的延长线于 H，作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，证明ADP BHQ， 得到 BH2n+2， 求出 CH， 根据等腰直角三角形的性质得到 CK（n+4） ， 得到答案 解：（1）ADBC， ADCDCH， ADP+PDCDCQ+QCH， 四边形 PCQD 是平行四边形， PDCQ，PDCQ，

37、 PDCDCQ， ADPQCH， 在ADP 和HCQ 中， ， ADPHCQ（AAS）； （2）存在最小值，最小值为 10， 如图 1，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ， DPGCQG， ， 由（1）可知，ADPQCH， RtADPRtQCH， ， CH2AD4， BHBC+CH6+410， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 10； （3）存在最小值，最小值为（ n+4 ）， 如图 2，作 QHDC，交 CB 的延长线于 H，作 CKCD，交 QH 的延长线于 K， PEBQ，AEnPA， ， ADBC， ADP+DCH90， CDQK

38、， QHC+DCH180， QHCADQ， PAD+PAGQBH+QBG90，PAGQBG， PADQBH， ADPBHQ， ， BH2n+2， CHBC+BH6+2n+22n+8， 过点 D 作 DMBC 于 M，又DABABM90， 四边形 ABMD 是矩形， BMAD2，DMAB4， MCBCBM624DM， DCM45， HCK45， CKCH cos45 （ 2n+8 ）（ n+4 ）， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为（ n+4 ） 28如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），交 y 轴于 点 C，抛物线的顶点为 P，过点

39、 B 作 BC 的垂线交抛物线于点 D （1）若点 P 的坐标为（4，1），点 C 的坐标为（0，3），求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，求点 A 到直线 BD 的距离； （3）连接 DC，若点 P 的坐标为（，），DCx 轴，则在 x 轴上方的抛物线上 是否存在点 M， 使AMBBDC？若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【分析】（1）将点 C 的坐标为（0，3）代入抛物线的表达式即可； （2）令 x 2+2x+30，解得 x 12，x26，得 A（6，0），B（2，0），OA 6，OB2，AB4，求出 BC 作 AFBD 于 F，由 ABFBCO，所以 sin

40、ABFsinBCO ，求出 AF AB ，即点 A 到直线 BD 的距离为； （3）作 DHx 轴于 H设 A（x1，0），B（x2，0），证明DBHBCO得出 ， ， 推出 c 2x 1x2， 令 ax 2+bx+c0， 则 x 1x2 ， c 2 ， c 由 P（ ， ），可设抛物线的解析式为 ya（ x+ ） 2 ，解得 a ，所以 抛物线的解析式 y x 2+ x+2，易得 A（4，0），B（1，0），C（0，2），AB 3，OB1，OC2，设经过 A，B，M 三点的圆的圆心为 P，则 ANBN ，PA PBPM，APNAMBBDC，由 tanAPNtanBCO ，PA 2 设 M（m

41、，y），其中 y m 2+ m+2，则 PM 2（ m+ ） 2+（ y3 ） 2， 得到（ m+ ） 2+（ y3 ） 2 ，解得 y0（舍去）或 y4令 x 2+ x+24， 解得 x ，从而求出点 M 的坐标 解：（1）设抛物线的解析式为 ya（ x+4 ）21 把 C（0，3）代入，得 3a（ 0+4 ）21，a ， 抛物线的解析式为 y （ x+4 ）21，即 y x 2+2x+3； （2）令 x 2+2x+30，解得 x 12，x26， A（6，0），B（2，0）， OA6，OB2，AB4， 令 x0，得 y3， C（0，3）， OC3，BC 作 AFBD 于 F， DBBC， D

42、BC90， ABF+CBO90 BCO+CBO90， ABFBCO， sinABFsinBCO ， AF AB ， 即点 A 到直线 BD 的距离为； （3）作 DHx 轴于 H 设 A（x1，0），B（x2，0）， 由抛物线的对称性可知 AHBO， BHOHOBOHAHOAx1 DCx 轴， DHCOc， DBBC， DBHBCO ， ， c 2x1x2， 令 ax 2+bx+c0，则 x1x2 ， c 2 ， c 由 P（ ， ），可设抛物线的解析式为 ya（ x+ ） 2 ， 令 x0，得 c a ， a ， 解得 a （舍去）或 a ， 抛物线的解析式为 y （ x+ ） 2 ，即 y

43、 x 2+ x+2， 易得 A（4，0），B（1，0），C（0，2）， AB3，OB1，OC2， 设经过 A，B，M 三点的圆的圆心为 P，连接 PA，PB，PM， 作 PNAB 于 N， 则 ANBN ，PAPBPM，APNAMBBDC， DCx 轴， BDCABDBCO， APNBCO， tanAPNtanBCO ， PN2ANAB3，P（ ，3），PA 2 设 M（m，y），其中 y m 2+ m+2， 则 PM 2（ m+ ） 2+（ y3 ） 2， （ m+ ） 2+（ y3 ） 2 ， m 2+5m+4+y 26y0，2y+y 26y0， y 24y0，解得 y0（舍去）或 y4 令 x 2+ x+24， 解得 x ， M1（ ，4），M2（ ，4）