2018-2019学年山西省大同一中高三（上）开学数学试卷（理科）（8月份）含详细解答

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1、下列命题中正确命题的个数是（ ） 命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x+20” ； “a0”是“a2+a0”的必要不充分条件； 若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题； 命题 p：x0R，使得 x02+x0+10，则p：xR，都有 x2+x+10 A1 B2 C3 D4 3（5 分） 下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y10lgx的定义域和值域相同的是 （ ） Ayx Bylgx Cy2x Dy 4 （5 分）若函数为奇函数，则 f（g（2） ）（ ） A2 B1 C0 D2 5 （5 分）已知实数 x，y 满足（）x（）y，则下列关系式中恒成立的

2、是（ ） Atanxtany Bln（x2+2）ln（y2+1） C Dx3y3 6 （5 分）函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 19 页） C D 7 （5 分）已知函数 f（x）alnx2ax+b，函数 f（x）在（1，f（1） ）处切线方程为 y2x+1， 则 ab 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 8 （5 分）已知函数 yf（x+1）的图象关于直线 x1 对称，且当 x0 时，f（x）x3+ln （1x） 记 af（log36） ，bf（log48） ，cf（log510） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca

3、 Dbac 9 （5 分）已知函数 f（x）ax24axlnx，则 f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必 要条件是（ ） Aa（，） Ba（，+） Ca（，） Da（，+） 10 （5 分）已知函数 f（x）ex a+ex+a（其中 e 是自然对数的底数） 若 3alog 3bc，且 c1，则（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（a）f（c）f（b） Df（c）f（b）f（a） 11 （5 分）若直线 x+ky0（k0）与函数 f（x）图象交于不同的 两点 A，B，且点 C（9，3） ，若点 D（m，n）满足，则 m+n（ ） Ak B2 C4 D6 12

4、 （5 分）已知函数 f（x），设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）|+a| 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A，2 B， C2，2 D2， 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 f（x）x2+2xf（1） ，则 f（0）等于 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）函数 f（x）loga（3ax2）在（0，1为减函数，则 a 的取值范围是 15 （5 分）已知实数满足，下列五个关系式：ab1，0ba1， ba1，0ab1，ab，其中可能成立的关系式有 （填序号） 16 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足

5、f（x+4）f（x） ，且当 0x2 时，f（x） minx2+2x，2x，若方程 f（x）mx0 恰有两个根，则 m 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分） 17 （10 分）已知函数 f（x）loga（2x）loga（2+x） （a0 且 a1） ，且 1 是函数 y f（x）+x 的零点 （1）求实数 a 的值； （2）求使 f（x）0 的实数 x 的取值范围 18 （12 分）定义在 R 上函数 f（x） ，且 f（x）+f（x）0，当 x0 时， （1）求 f（x）的解析式； （2）当 x1，3时，求 f（x）的最大值和最小值 19 （12 分）设 p：实数 x 满

6、足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 20 （12 分）设函数 f（x）x2+ln（2x+3） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求 f（x）在区间的最大值和最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）x33ax29a2x+a3 （1）设 a1，求函数 f（x）的极值； （2）若，且当 x1，4a时，|f（x）|12a 恒成立，试确定 a 的取值范围 22 （12 分）设函数，曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 7x4y 120

7、 （1）求 yf（x）的解析式； （2）证明：曲线 yf（x）上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面 积为定值，并求此定值 第 4 页（共 19 页） 2018-2019 学年山西省大同一中高三（上）开学数学试卷（理科）学年山西省大同一中高三（上）开学数学试卷（理科） （8 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|ylog2（x2），Bx|x29，则 A（RB）（ ） A2，3） B （2，3） C （3，+） D （2，+） 【分

8、析】根据条件求出集合 A，B 的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即 可 【解答】解：Ax|ylog2（x2）x|x20x|x2，Bx|x29x|x3 或 x3， RBx|3x3， 则 A（RB）x|2x3（2，3） 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键 2 （5 分）下列命题中正确命题的个数是（ ） 命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x+20” ； “a0”是“a2+a0”的必要不充分条件； 若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题； 命题 p：x0R，使得 x02+x0+10，则p：xR，都有 x2

9、+x+10 A1 B2 C3 D4 【分析】根据逆否命题的定义进行判断 根据充分条件和必要条件的定义进行判断 根据复合命题真假关系进行判断 根据含有量词的命题的否定进行判断 【解答】解：命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x+2 0” ；故正确， 由 a2+a0 得 a1 且 a0， “a0”是“a2+a0”的必要不充分条件；故正确， 若 pq 为假命题，则 p，q 质数有一个为假命题；故错误， 第 5 页（共 19 页） 命题 p：x0R，使得 x02+x0+10，则p：xR，都有 x2+x+10故正确， 故正确的是， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真

10、假判断，涉及四种命题的关系，充分条件和必要条件的 判断以及复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，难度不大 3（5 分） 下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y10lgx的定义域和值域相同的是 （ ） Ayx Bylgx Cy2x Dy 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案 【解答】解：函数 y10lgx的定义域和值域均为（0，+） ， 函数 yx 的定义域和值域均为 R，不满足要求； 函数 ylgx 的定义域为（0，+） ，值域为 R，不满足要求； 函数 y2x的定义域为 R，值域为（0，+） ，不满足要求； 函数 y的定义域和值域均为（0，+） ，满足要求； 故选

11、：D 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义 域和值域，是解答的关键 4 （5 分）若函数为奇函数，则 f（g（2） ）（ ） A2 B1 C0 D2 【分析】求出 g（2）的值，从而求出 f（g（2） ）的值即可 【解答】解：设 x0，则x0， 故 f（x）2x2f（x） ， 故 x0 时，f（x）22x， 由 g（2）f（2）242， 故 f（g（2） ）f（2）f（2）2， 故选：D 【点评】本题考查了函数求值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题 5 （5 分）已知实数 x，y 满足（）x（）y，则下列关系式中恒成立的是（ ） Atanxtany

12、 Bln（x2+2）ln（y2+1） 第 6 页（共 19 页） C Dx3y3 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得 xy，据此结合函数的单调性分析选项， 综合即可得答案 【解答】解：根据题意，实数 x，y 满足（）x（）y，则 xy， 依次分析选项： 对于 A，ytanx 在其定义域上不是单调函数，故 tanxtany 不一定成立，不符合题意； 对于 B，若 xy，则 x2+2y2+2 不一定成立，故 ln（x2+2）ln（y2+1）不一定成立， 不符合题意； 对于 C，当 xy0 时，不符合题意； 对于 D，函数 yx3在 R 上为增函数，若 xy，必有 x3y3，符合题意； 故选

13、：D 【点评】本题考查函数的单调性的应用，关键是掌握并利用常见函数的单调性 6 （5 分）函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法， 可得答案 【解答】解：f（x）y2x2e|x|， f（x）2（x）2e| x|2x2e|x|， 故函数为偶函数， 当 x2 时，y8e2（0，1） ，故排除 A，B； 第 7 页（共 19 页） 当 x0，2时，f（x）y2x2ex， f（x）4xex0 有解， 故函数 y2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除 C， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是函数的

14、图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答 7 （5 分）已知函数 f（x）alnx2ax+b，函数 f（x）在（1，f（1） ）处切线方程为 y2x+1， 则 ab 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】先求出导数，利用切线的斜率为 2，求出 a，再根据切线方程求出切点坐标，代 入函数 f（x） ，求出 b，即可得到 ab 【解答】解：函数 f（x）alnx2ax+b 的导函数为 f（x）2a， 因为函数 yf（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程是 y2x+1， 所以切线斜率为 2 令 x1，即 a2a2，解得 a2 令 y2x+1 中 x1，得 y3，即 f（1）3，

15、所以2ln1+4+b3，解得 b1 则 ab2（1）2 故选：B 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属 于基础题 8 （5 分）已知函数 yf（x+1）的图象关于直线 x1 对称，且当 x0 时，f（x）x3+ln （1x） 记 af（log36） ，bf（log48） ，cf（log510） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 【分析】根据函数图象关系得到函数 f（x）是偶函数，且当 x0 时 f（x）为增函数，结 合函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可 【解答】解：函数 yf（x+1）的图象关于直线 x1 对

16、称， 将 yf（x+1）的图象向右平移 1 个单位得到 yf（x） ，则 f（x）关于直线 x0 即 y 轴 对称，则函数 f（x）是偶函数， 当 x0 时，f（x）x3+ln（1x）为减函数， 第 8 页（共 19 页） 当 x0 时 f（x）为增函数， log361+log32，log481+log42，log5101+log52， log32，log42，log52， 0log23log24log25， 0， 即 log32log42log520， 则 1+log321+log421+log521， 即 log36log48log5101， 当 x0 时 f（x）为增函数， f（log3

17、6）f（log48）f（log510） ， 即 abc， 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的大小判断，结合条件判断函数的单调性和奇偶性是解决 本题的关键 9 （5 分）已知函数 f（x）ax24axlnx，则 f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必 要条件是（ ） Aa（，） Ba（，+） Ca（，） Da（，+） 【分析】求出函数的导数，问题转化为函数 f（x）ax24axlnx 与 x 轴在（1，3）有 交点，通过讨论 a 的范围，结合二次函数的性质判断即可 【解答】解：f（x）2ax4a， 若 f（x）在（1，3）上不单调， 令 g（x）2ax24ax1， 则函数 g（x）2ax

18、24axl 与 x 轴在（1，3）有交点， a0 时，显然不成立， a0 时，只需， 第 9 页（共 19 页） 解得：a或 a， 因为题目要求充分不必要，因此只有 D 选项符合要求， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道 中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）ex a+ex+a（其中 e 是自然对数的底数） 若 3alog 3bc，且 c1，则（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（a）f（c）f（b） Df（c）f（b）f（a） 【分析】由题意可得 bca，再根据函数 f（x）ex a+ 在（a，+）上单调

19、递增， 可得 f（a） 、f（c） 、f（b）的大小关系 【解答】解：函数 f（x）ex a+ex+aexa+ ，根据 3alog3bc，可得 alog3c， b3c，可得 bca 又函数 f（x）ex a+ex+aexa+ 在（a，+）上单调递增， 故有 f（a）f（c）f（b） ， 故选：C 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于基础题 11 （5 分）若直线 x+ky0（k0）与函数 f（x）图象交于不同的 两点 A，B，且点 C（9，3） ，若点 D（m，n）满足，则 m+n（ ） Ak B2 C4 D6 【分析】由直线 x+ky0 过原点，函数 f（x）是定义域 R 上的奇

20、函数；知直线 x+ky0 与函数 f（x）图象的交点 A，B 关于原点对称，得出+2，再由向量相等列方程 组求出 m、n 的值，再求 m+n 【解答】解：直线 x+ky0，yx，直线过原点； 又函数 f（x）， 第 10 页（共 19 页） 且 f（x）f（x） ， f（x）是定义域 R 上的奇函数； 由直线 x+ky0（k0）与函数 f（x）的图象交于不同的两点 A，B， 则 A、B 关于原点对称，+2， 又点 C（9，3） ， 2， 即（m9，n3）（2m，2n） ， ， 解得， m+n4 故选：C 【点评】本题考查了奇函数的性质与平面向量的应用问题，是中档题 12 （5 分）已知函数 f

21、（x），设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）|+a| 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A，2 B， C2，2 D2， 【分析】讨论当 x1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x2+x3a x2x+3， 再由二次函数的最值求法， 可得a的范围； 讨论当x1时， 同样可得 （x+） a+，再由基本不等式可得最值，可得 a 的范围，求交集即可得到所求范围 【解答】解：当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立， 即为x2+x3+ax2x+3， 即有x2+x3ax2x+3， 由 yx2+x3 的对称轴为 x1，可得 x处取得最大值； 第 11 页（共

22、19 页） 由 yx2x+3 的对称轴为 x1，可得 x处取得最小值， 则a 当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立， 即为（x+）+ax+， 即有（x+）a+， 由 y（x+）22（当且仅当 x1）取得最大值2； 由 yx+22（当且仅当 x21）取得最小值 2 则2a2 由可得，a2 另解：作出 f（x）的图象和折线 y|+a| 当 x1 时，yx2x+3 的导数为 y2x1， 由 2x1，可得 x， 切点为（，）代入 ya，解得 a； 当 x1 时，yx+的导数为 y1， 由 1，可得 x2（2 舍去） ， 切点为（2，3） ，代入 y+a，解得 a2 由图象

23、平移可得，a2 故选：A 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分 离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键， 属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 f（x）x2+2xf（1） ，则 f（0）等于 4 【分析】根据题意，计算可得 f（x）2x+2f（1） ，令 x1 分析可得 f（1）2， 即可得 f（x）2x4，将 x0 代入计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）x2+2xf（1） ，则 f（x）2x+2f（1） ， 令 x

24、1 可得：f（1）2+2f（1） ，解可得 f（1）2， 则 f（x）2x4， 则 f（0）4； 故答案为：4 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 14 （5 分）函数 f（x）loga（3ax2）在（0，1为减函数，则 a 的取值范围是 （1，3） 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则，结合对数函数的图象和性质，可得 满足条件的 a 的取值范围 【解答】解：若 0a1，则 ylogat 为减函数， t3ax2在（0，1为减函数， 函数 f（x）loga（3ax2）在（0，1为增函数，不满足条件； 若 a1，则 ylogat 为增函数， t3ax2在（0，

25、1为减函数， 若函数 f（x）loga（3ax2）在（0，1为增函数， 第 13 页（共 19 页） 仅须 t|x13a0， 即 a（1，3） ， 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，分类讨论思 想，难度中档 15 （5 分）已知实数满足，下列五个关系式：ab1，0ba1， ba1，0ab1，ab，其中可能成立的关系式有 （填序号） 【分析】由题意利用不等式的基本性质，通过举例，逐一判断各个选项是否正确，从而 得出结论 【解答】解：令实数满足k，则 a，b， 显然ab1 时，成立，故可选 当ab1 时，不能得到，故排除； 当0ba1 时，如

26、 a，b时，有1 成立，故可选； 当ba1 时，如 b3，a2，能得到1，故可选； 当0ab1 时，不能得到，故排除， 故答案为： 【点评】本题主要考查不等式的基本性质，通过举例，来说明某个命题能成立，是一种 简单有效的方法，属于基础题 16 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+4）f（x） ，且当 0x2 时，f（x） minx2+2x，2x，若方程 f（x）mx0 恰有两个根，则 m 的取值范围是 【分析】由题意可得，结合函数为偶函数及周期为 4，可作 出函数 f（x）的草图，且问题转化为函数 f（x）的图象与直线 ymx 恰有两个交点，观 察图象即可得解 【解答】

27、解：由x2+2x2x，解得 1x2， 第 14 页（共 19 页） ， 又 f（x）为偶函数，且周期为 4， 可作出函数 f（x）在 R 上的草图如下： 若方程 f（x）mx0，即 f（x）mx 恰有两个根，则函数 f（x）的图象与直线 ymx 恰有两个交点， 又当 x0，1时，f（x）2x+2，则 f（0）2， 结合图象可知，或， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数的概念与性质，考查函数与方程的综合运用，考查数形结合 思想及逻辑推理能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知函数 f（x）loga（2x）loga（2+x） （a0 且 a1） ，且

28、 1 是函数 y f（x）+x 的零点 （1）求实数 a 的值； （2）求使 f（x）0 的实数 x 的取值范围 【分析】 （1）由 1 是函数 yf（x）+x 的零点，即 f（1）1即可求解 a 的值； （2）f（x）0，根据对数的运算和性质即可求解 【解答】解： （1）1 是函数 yf（x）+x 的零点，f（1）1， 即 loga（21）loga（2+1）+10，即 loga31， 第 15 页（共 19 页） 解得 a3 （2）由（1）可知函数 f（x）是递增函数， f（x）0 得 log3（2x）log3（2+x） ， 所以：有解得2x0， 所使 f（x）0 的实数 x 的取值集合为x

29、|2x0 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题 18 （12 分）定义在 R 上函数 f（x） ，且 f（x）+f（x）0，当 x0 时， （1）求 f（x）的解析式； （2）当 x1，3时，求 f（x）的最大值和最小值 【分析】 （1）确定 f（0）0，当 x0 时，x0，利用当 x0 时，f（x）（）x 8（）x1，求出函数的解析式，即可求 f（x）的解析式； （2）当 x1，3时，换元，利用配方法求 f（x）的最大值和最小值 【解答】解： （1）f（x）+f（x）0，则函数 f（x）是奇函数，故 f（0）0， 当 x0 时，x0，故， f（x）f（x）4x

30、+82x+1， f（x） （2）令 t2x，x1，3，t2，8，yt2+8t+1，t2，8， 对称轴为 t42，8， 当 t4，即 x2，f（x）max16+32+117； 当 t8，即 x3，f（x）min64+64+11， 当 x1，3时，f（x）的最大值为 17，最小值为 1 【点评】本题考查函数的解析式，考查了函数的最大值及最小值的求法，利用了配方法 的方法，属于中档题 第 16 页（共 19 页） 19 （12 分）设 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不

31、必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）若 a1，根据 pq 为真，则 p，q 同时为真，即可求实数 x 的取值范围； （2）根据p 是q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 x24ax+3a20 得（x3a） （xa）0 当 a1 时，1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x3 由|x3|1，得1x31，得 2x4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x4， 若 pq 为真，则 p 真且 q 真， 实数 x 的取值范围是 2x3 （2）由 x24ax+3a20 得（x3a） （xa）0， 若p 是q 的充分不必要条件， 则

32、pq，且qp， 设 Ax|p，Bx|q，则 AB， 又 Ax|px|xa 或 x3a， Bx|qx|x4 或 x2， 则 0a2，且 3a4 实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生 的推理能力 20 （12 分）设函数 f（x）x2+ln（2x+3） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求 f（x）在区间的最大值和最小值 【分析】 （1）f（x）2x+分别解出 f（x） 0，与 f（x）0，即可得出单调性 （2）由（1）可得：函数 f（x）在区间内单调递减，在内单调 第 17 页（共 19 页） 递增x时，函数 f（x）取得最小值

33、，比较与的大小关系即可得出 最大值 【解答】解： （1）f（x）2x+ 令 f（x）0，解得或；令 f（x）0，解得 函数 f（x）单调递增区间为：，；单调递减为 （2）由（1）可得：函数 f（x）在区间内单调递减，在内单调 递增 x时，函数 f（x）取得最小值，+ln2 又ln，+ln， 而lnln+ln0， x时，函数 f（x）取得最大值为：+ln 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考 查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）x33ax29a2x+a3 （1）设 a1，求函数 f（x）的极值； （2）若，且当 x1，4a

34、时，|f（x）|12a 恒成立，试确定 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入，找出导函数为 0 的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符 号来求极值即可 （2）转化为求导函数的绝对值在 x1，4a上的最大值即可 【解答】解： （1）当 a1 时，对函数 f（x）求导数，得 f（x）3x26x9 令 f（x）0，解得 x11，x23 列表讨论 f（x） ，f（x）的变化情况： x （， 1） 1 （1，3） 3 （3，+） f（x） + 0 0 + 第 18 页（共 19 页） f（x） 极大值 6 极小值 26 所以，f（x）的极大值是 f（1）6，极小值是 f（3）26 （2）f（x

35、）3x26ax9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于 xa 对称 若，则 f（x）在1，4a上是增函数， 从而（x）在1，4a上的最小值是 f（1）36a9a2，最大值是 f（4a）15a2 由|f（x）|12a，得12a3x26ax9a212a，于是有（1）36a9a212a， 且 f（4a）15a212a 由 f（1）12a 得a1，由 f（4a）12a 得 所以，即 若 a1，则|f（a）|15a212a故当 x1，4a时|f（x）|12a 不恒成立 所以使|f（x）|12a（x1，4a）恒成立的 a 的取值范围是 【点评】本题涉及到利用导函数求极值利用导函数求极值时，须先求导函数为

36、0 的根， 再根据导函数为 0 的根左右两侧的符号来求极大值和极小值 22 （12 分）设函数，曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 7x4y 120 （1）求 yf（x）的解析式； （2）证明：曲线 yf（x）上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面 积为定值，并求此定值 【分析】 （1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2， f（2） ）在曲线上，利用方程联立解出 a，b （2）可以设 P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线 x0 和直线 yx 联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可

37、【解答】解析： （1）方程 7x4y120 可化为，当 x2 时， 又，于是，解得，故 第 19 页（共 19 页） （2）设 P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点 P（x0，y0）处的切线方 程为，即 令 x0，得，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为； 令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为（2x0，2x0） ； 所以点 P （x0， y0） 处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形面积为 故曲线 yf（x）上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，此定 值为 6 【点评】高考考点：导数及直线方程的相关知识 易错点：运算量大，不仔细而出错 备考提示：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了， 但对准确率的要求提高了