2019-2020学年山东省济南市市中区高三（上）第一次诊断数学试卷（含详细解答）

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1、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边的长分别为 a，b，c，若 asinA+bsinBcsinC， 则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形 5 （4 分）已知 f（x）sinxx3+1，x2，2，若 f（x）的最大值为 M，f（x）的最小 值为 N，则 M+N 等于（ ） A0 B2 C4 D83 6 （4 分）在ABC 中，已知 b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是（ ） A有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定 7 （4 分）若一扇形的圆心角为 72，半径为 20cm，则扇形的面积为（ ） A40cm2 B80cm2 C40 c

2、m2 D80 cm2 8 （4 分）20 世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部 分还能发芽开花，已知碳 14 半衰期为 5730 年（注：半衰期为放射性元素残留量降为原 来的一半所需要的时间） ，若 1 单位的碳 14 经过 x 年后剩余量为 y 单位，则 y 关于 x 的 函数表达式是（ ） A B C Dy（12 5730）x 9 （4 分）计算等于（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D2 10 （4 分）函数 f（x）2xlnx+x2ax+3 恰有一个零点，则实数 a 的值为（ ） A4 B3 C D 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本

3、大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分 ）分 ） 11 （4 分）给出下列关系，其中正确的选项是（ ） A B C D 12 （4 分）以下说法正确的是（ ） A B已知是幂函数，则 m 的值为 4 C D钝角是第二象限的角 13 （4 分）设函数 f（x）cos（x+） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的一个周期为2 Byf（x）的图象关于直线 x对称 Cf（x+）的

4、一个零点为 x Df（x）在（，）单调递减 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 16 分，分，15 题每空题每空 2 分）分） 14 （4 分）设 f（x）aex+bx，且 f（1）e，f（1），则 a+b 15 （4 分）已知曲线，则为了得到曲线 C1，首先 要把 C2上各点的横坐标变为到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至 少平移 个单位长度； （本题所填数字要求为正数） 16 （4 分）若 0x1，则的最小值是 ； 17 （4 分）已知 x1是函数 f（x）2x+x2 的零点，x2是函数 g（x）log2（x1）+x3 的零点，则

5、 x1+x2的值为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 第 3 页（共 17 页） 18 （10 分）已知函数 g（x）logax（a0 且 a1）的图象过点（9，2） （I）求函数 g（x）的解析式； （）解不等式 g（3x1）g（x+5） 19 （12 分）已知命题 p： “1x1，不等式 x2xm0 成立”是真命题 （I）求实数 m 的取值范围； （）若 q：4ma4 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 20 （14 分）如图，在ABC 中，边 AB2

6、，且点 D 在线段 BC 上， （）若，求线段 AD 的长； （）若 BD2DC，求ABD 的面积 21 （14 分）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20km，BC10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边 界） ，且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP， 设排污管道的总长为 ykm （1）设BAO（rad） ，将 y 表示成 的函数关系式； （2）试确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 22 （16 分）设函数 F（x）x+cosx，直线 ymx+

7、n 是曲线 yF（x）的切线， （）当 0x2 时，求 mn 的极大值； （）曲线 yF（x）是否存在“上夹线” ，若存在，请求出 F（x）的“上夹线”方程； 若不存在，请说明理由 【注】设直线 l：yg（x） ，曲线 S：yF（x） ，若直线 l 和曲线 S 同时满足下列条件： 直线 l 和曲线 S 相切且至少有两个切点； 第 4 页（共 17 页） 对任意的 xR，都有直线 g（x）F（x） 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” 23 （16 分）已知函数： （）当 x1，e时，求 f（x）的最小值； （）对于任意的 x10，1都存在唯一的 x21，e使得 g（x1）f（x2） ，求实数

8、 a 的 取值范围 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年山东省实验中学高三（上学年山东省实验中学高三（上）第一次诊断数学试卷）第一次诊断数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题绐出的四个选项中，分在每小题绐出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （4 分）若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 中元素个数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据集合中元素的三个特征：互异性，确定性，无序性，进行

9、判断即可 【解答】解：S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合， S我，和，的，祖，国； 故 S 中共有 5 个元素； 故选：B 【点评】本题考查了集合元素的 3 个特征，确定性，互异性，无序性；属于基础题 2 （4 分），则 f（2）等于（ ） A4 B C4 D 【分析】利用导数的运算法则即可得出 【解答】解：， 故选：D 【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 3 （4 分）已知命题 p：nN，2n1000，则p 为（ ） AnN，2n1000 BnN，2n1000 CnN，2n1000 DnN，2n1000 【分析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定

10、，写出 命题的否定 【解答】解：命题 p：nN，2n1000， 则p 为nN，2n1000 故选：A 【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即 第 6 页（共 17 页） 可 4 （4 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边的长分别为 a，b，c，若 asinA+bsinBcsinC， 则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，得到 a2+b2c2，利用余弦定理的逆定理即可得 出 cosC0，C 为钝角，从而得出结论 【解答】解：由正弦定理，化简已知的等式得：a2+b2c2， 再由

11、余弦定理可得 cosC0，C 为钝角， 则ABC 为钝角三角形 故选：C 【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理、余弦定理，熟练掌 握正弦定理、余弦定理，是解本题的关键，属于中档题 5 （4 分）已知 f（x）sinxx3+1，x2，2，若 f（x）的最大值为 M，f（x）的最小 值为 N，则 M+N 等于（ ） A0 B2 C4 D83 【分析】通过构造函数 g（x）f（x）1sinxx3，x2，2，进而由奇函数的 性质得到 g（x）max+g（x）min0，进一步得到 f（x）max1+f（x）min10，从而得 到正确选项 【解答】解：令 g（x）f（x）1sinxx

12、3，x2，2，函数 g（x）的定义域关 于原点对称，且 g（x）sin（x）（x）3sinx+x3g（x） ， 函数 g（x）为奇函数， g（x）max+g（x）min0，即 f（x）max1+f（x）min10， f（x）max+f（x）min2，即 M+N2 故选：B 【点评】本题考查奇函数的性质，即奇函数的最大值与最小值之和为 0，要善于发现题干 中隐含的信息，从而寻得解题思路，构造函数 g（x）是本题解题的关键 6 （4 分）在ABC 中，已知 b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是（ ） A有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定 第 7 页（共 17 页） 【分析】

13、利用正弦定理列出关系式，将 b，c，sinC 的值代入求出 sinB 的值，即可做出判 断 【解答】解：在ABC 中，b40，c20，C60， 由正弦定理得：sinB1， 则此三角形无解 故选：C 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题 的关键 7 （4 分）若一扇形的圆心角为 72，半径为 20cm，则扇形的面积为（ ） A40cm2 B80cm2 C40 cm2 D80 cm2 【分析】将角度转化为弧度，再利用扇形的面积公式，即可得出结论 【解答】解：扇形的圆心角为 72， 半径等于 20cm， 扇形的面积为40080cm2， 故选：B 【点评】本题考

14、查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题 8 （4 分）20 世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部 分还能发芽开花，已知碳 14 半衰期为 5730 年（注：半衰期为放射性元素残留量降为原 来的一半所需要的时间） ，若 1 单位的碳 14 经过 x 年后剩余量为 y 单位，则 y 关于 x 的 函数表达式是（ ） A B C Dy（12 5730）x 【分析】由题意结合碳 14 的半衰期为 5730 年列指数式得答案 【解答】解：碳 14 半衰期为 5730 年， 1 单位的碳 14 经过 x 年后剩余量为 y 故选：A 第 8 页（共 17 页） 【点

15、评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是基础题 9 （4 分）计算等于（ ） A B C D2 【分析】将 58转化为 45+13，利用两角和差的余弦公式，进行转化求解即可 【解答】 解：sin213+cos2（45+13） +sin13cos（45+13） sin213+（cos13sin13）2+sin13（cos13sin13 sin213+（12cos13sin13）+sin13cos13sin213 sin213+cos13sin13+sin13cos13sin213 ， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式进行转化是解决本 题

16、的关键考查学生的转化能力，难度中等 10 （4 分）函数 f（x）2xlnx+x2ax+3 恰有一个零点，则实数 a 的值为（ ） A4 B3 C D 【分析】分析可得直线 yax 与曲线 g（x）2xlnx+x2+3 相切，对函数 g（x）求导并设 切点为（m，n） ，由此建立关于 a，m，n 的方程组，解出即可 【解答】解：函数 f（x）2xlnx+x2ax+3 恰有一个零点，即直线 yax 与曲线 g（x） 2xlnx+x2+3 相切， g（x）2（lnx+x+1） ，设切点为（m，n） ， 则，解得 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力及转化思想，属于基础题 二、

17、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分 ）分 ） 11 （4 分）给出下列关系，其中正确的选项是（ ） 第 9 页（共 17 页） A B C D 【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每 个选项的正误 【解答】解：显然不是集合的元素，A 错误； 不是集合的元素，是的元素，是任何集合的子集，从而得出选项

18、 B，C，D 都正确 故选：BCD 【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合、元素的定义，空集是任何集合的子集， 考查了推理能力，属于基础题 12 （4 分）以下说法正确的是（ ） A B已知是幂函数，则 m 的值为 4 C D钝角是第二象限的角 【分析】由根式的意义判断 A；由幂函数的定义判断 B；由对数的运算法则判断 C；由钝 角的范围判断 D 【解答】解：由 A 知，a0，故 a0，而0，A 错误； 由已知是幂函数，则 m23m31 且 m0，m4，故 B 正确； 由+log2+log22log23log232 2log23，故 C 错误； 钝角的范围是（90，180） ，是第二象限角，

19、D 正确 故选：BD 【点评】本题考查了根式的意义，幂函数的定义，对数的运算法则，钝角与象限角的概 念，属于基础题 13 （4 分）设函数 f（x）cos（x+） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的一个周期为2 Byf（x）的图象关于直线 x对称 第 10 页（共 17 页） Cf（x+）的一个零点为 x Df（x）在（，）单调递减 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可 【解答】解：A函数的周期为 2k，当 k1 时，周期 T2，故 A 正确， B当 x时，cos（x+）cos（+）coscos31 为最小值， 此时 yf（x）的图象关于直线 x对称，故 B 正确， C 当

20、x时，f（+）cos（+）cos0，则 f（x+）的一个零点 为 x，故 C 正确， D当x 时，x+，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D 错误， 故选：ABC 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质 是解决本题的关键 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 16 分，分，15 题每空题每空 2 分）分） 14 （4 分）设 f（x）aex+bx，且 f（1）e，f（1），则 a+b 1 【分析】求函数的导数，根据条件建立方程进行求解即可 【解答】解：函数的导数为 f（x）aex+b， f（1）e， f（1

21、）ae+be， f（1）+b， 则 a1，b0， 即 a+b1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查函数值的计算，求函数的导数建立方程关系是解决本题的关键 15 （4 分）已知曲线，则为了得到曲线 C1，首先 要把 C2上各点的横坐标变为到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少 平移 个单位长度； （本题所填数字要求为正数） 第 11 页（共 17 页） 【分析】根据三角函数的诱导公式以及三角函数的平移变换关系进行转化求解即可 【解答】解：ycosxsin（x+） ， 把 C2上各点的横坐标变为到原来的 2 倍得到 ysin（x+） ， sin（x+）sin（x+） ， 此时再把得

22、到的曲线向右至少平移个单位即可， 故答案为：2， 【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，结合变换和平移关系是解决本题的关键， 比较基础 16 （4 分）若 0x1，则的最小值是 9+4 ； 【分析】将 1 替换为 x+1x，则，其 中 乘积为 8，符合基本不等式的条件，最后运用基本不等式 【解答】解：因为 0x1，则 1x0， ， 当且仅当时，即时“”成立， 故答案为： 【点评】本题是基本不等式的常见模型，是基础题 17 （4 分）已知 x1是函数 f（x）2x+x2 的零点，x2是函数 g（x）log2（x1）+x3 的零点，则 x1+x2的值为 3 【分析】根据题意，由函数的零点的定义分

23、析可得 x1是函数 y2x与函数 yx+2 的交 点的横坐标，设两个函数图象的交点为 A（x1，m） ；x21 是函数 ylog2x 与函数 y x+2 的交点的横坐标，设两个函数图象的交点为 B（x21，n） ；又有反函数的定义分析 可得函数 y2x与 ylog2x 互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，求出直线 yx+2 与直线 yx 的交点，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）2x+x2，若 f（x）2x+x20，则有 2xx+2， 则 x1是函数 y2x与函数 yx+2 的交点的横坐标，设两个函数图象的交点为 A（x1， m） 第 12 页（共 17 页） 对于 g

24、（x）log2（x1）+x3，则 tx1，则有 ylog2t+t2， 若 log2t+t20，则有 log2tt+2， 故 x21 是函数 ylog2x 与函数 yx+2 的交点的横坐标，设两个函数图象的交点为 B （x21，n） ， 又由函数 y2x与 ylog2x 互为反函数，其图象关于直线 yx 对称， 则点 A、B 关于直线 yx 对称且在直线 yx+2 上， 又由，解可得，即 A、B 的中点为（1，1） ， 则有 x1+（x21）2，即 x1+x23； 故答案为：3 【点评】本题考查反函数的性质，涉及函数零点的计算以及函数与方程的关系，属于基 础题 四、解答题（本大题共四、解答题（本

25、大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 18 （10 分）已知函数 g（x）logax（a0 且 a1）的图象过点（9，2） （I）求函数 g（x）的解析式； （）解不等式 g（3x1）g（x+5） 【分析】 （I）把已知点的坐标代入求解即可； （）直接利用函数大单调性即可求出结论，注意真数大于 0 的这一隐含条件 【解答】解： （I）因为函数 g（x）logax（a0 且 a1）的图象过点（9，2） loga92，所以 a3，即 g（x）log3x； （II）因为 g（x）单调递增，所以 3x1x+50，

26、即不等式的解集是 【点评】本体主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键， 这一类型题目的易错点在于真数大于 0 容易忽略 19 （12 分）已知命题 p： “1x1，不等式 x2xm0 成立”是真命题 （I）求实数 m 的取值范围； （）若 q：4ma4 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）分离出 m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2x）max，求出 m 的范围 （）设 p 对应集合 A，q 对应集合 B， “q 是 p 的充分不必要条件”即 BA，求出 a 的 第 13 页（共 17 页） 范围 【解答】解： （I）由题意命题 p：

27、 “1x1，不等式 x2xm0 成立”是真命题 mx2x 在1x1 恒成立，即 m（x2x）max，x（1，1） ； 因为， 所以x2x2， 即 m2， 所以实数 m 的取值范围是 （2， +） ； （II）由 p 得，设 Am|m2，由 q 得，设 Bm|a4ma+4，因为 q：4m a4 是 p 的充分不必要条件； 所以 qp，但 p 推不出 q，BA； 所以 a42，即 a6， 所以实数 a 的取值范围是6，+） 【点评】本题考查了不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；还考查 了充分必要条件的转化，属于中档题 20 （14 分）如图，在ABC 中，边 AB2，且点 D 在线

28、段 BC 上， （）若，求线段 AD 的长； （）若 BD2DC，求ABD 的面积 【分析】 （1）由 cosB 求出 sinB，再利用正弦定理即可求出 AD 的长； （2）因为 BD2DC，所以BAD 的面积是CAD 面积的 2 倍，从而求出 AC，再利用 余弦定理求出 BC，即可求出BAD 的面积 【解答】 （I）由， 所以； （II）由，所以， 第 14 页（共 17 页） 因为，所以， 在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2+BC22ABBCcosB， 即 3BC24BC840，可得（舍去） ， 所以 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题 21 （14 分）某地有三家工

29、厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20km，BC10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边 界） ，且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP， 设排污管道的总长为 ykm （1）设BAO（rad） ，将 y 表示成 的函数关系式； （2）试确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 【分析】 （1）直接由已知条件求出 AO、BO、OP 的长度，即可得到所求函数关系式； （2）直接根据上面的结论求出其导函数，得到函数的单调性，根据单调性即可求出其最 值 【解答】解： （1）

30、由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO（rad） ， 则，故 又 OP1010tan，所以 所求函数关系式为 （2） 令 y0 得 当时 y0，y 是 的减函数；当时 y0，y 是 的增 函数； 第 15 页（共 17 页） 所以当时， 此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边km 处 【点评】本题主要考查解三角形的实际应用以及利用导数求闭区间上函数的最值解决 这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题 22 （16 分）设函数 F（x）x+cosx，直线 ymx+n 是曲线 yF（x）的切线， （）当 0x2 时，求 mn 的极大值； （）曲线 yF（x）是

31、否存在“上夹线” ，若存在，请求出 F（x）的“上夹线”方程； 若不存在，请说明理由 【注】设直线 l：yg（x） ，曲线 S：yF（x） ，若直线 l 和曲线 S 同时满足下列条件： 直线 l 和曲线 S 相切且至少有两个切点； 对任意的 xR，都有直线 g（x）F（x） 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” 【分析】 （）先写出 F（x）在点（x0，F（x0） ）处的切线方程，再得 mn1sinx0 cosx0x0sinx0，设 u（x）1sinxcosxxsinx， （0x2）求出极大值即可 （） 假设曲线 yF （x） 存在 “上夹线” l： g （x） mx+n， 由 （I） 知，

32、 因为直线l和曲线S相切且至少有两个切点， 所以还存在tx0， 仍然使得 得出 m，n再检查是否满足任意的 xR，都有直线 g（x）F（x） 即可得出结论 【解答】解： （I）F（x）x+cosx，F（x）1sinx， 所以函数 F（x）在（x0，F（x0） ）处的切线是 y（x0+cosx0）（1sinx0） （xx0） ， 即 y（1sinx0）x+cosx0+x0sinx0， 所以 mn1sinx0cosx0x0sinx0， 设 u（x）1sinxcosxxsinx， （0x2） ， 所以 u（x）cosx+sinx（sinx+xcosx）cosx（1+x） ， 由， 所以单调递减， 在

33、单调递增， 在单调递减， 由，得 mn 的极大值是 第 16 页（共 17 页） （II）假设曲线 yF（x）存在“上夹线”l：g（x）mx+n， 由（I）知，因为直线 l 和曲线 S 相切且至少有两个切点， 所以还存在 tx0，仍然使得，所以， 又因为对任意的 xR，都有直线 g（x）F（x） ， 则 g（x）x+1 是 yF（x）的上夹线 【点评】本题考查曲线的切线，极值，导数的综合应用，属于难题 23 （16 分）已知函数： （）当 x1，e时，求 f（x）的最小值； （）对于任意的 x10，1都存在唯一的 x21，e使得 g（x1）f（x2） ，求实数 a 的 取值范围 【分析】 （I

34、）求出，通过 10a1 时，20ae2时，30.1ae2时， 判断函数的单调性求解函数的最小值； （II）求出 g（x）ex1，判断函数的单调性，通过（i）当 a1 时， （ii）当 1ae2 时， （iii）当 ae2时，利用函数的单调性求解即可 【解答】解： （I）， 10a1 时，x1，ef（x）0f（x）递增， 20ae2时，x1，ef（x）0，f（x）递减， 30.1ae2时，时，f（x）0，f（x）是减函数， 递增， 所以， 综上，当； 当 当 （II）因为 g（x）ex1，x0，1时 g（x）0，g（x）递增， g（x）的值域为g（0） ，g（1）0，e2 第 17 页（共 17 页） （i）当 a1 时，f（x）在1，e上单调递增， 又，所以， 即 （ii）当 1ae2时，因为时，f（x）递减，时，f（x）递 增， 且，所以只需 f（e）e2， 即，所以， （iii）当 ae2时，因为 f（x）在1，e上单调递减，且， 所以不合题意 综合以上，实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是 中档题