2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若，则 a+2b 的最小值为（ ） A6 B C3 D 7 （5 分）已知圆 C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 8 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3

2、 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则 10 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确 的是（ ） A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，mn，n，则 11 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 12 （5 分

3、）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） 第 3 页（共 26 页） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若， b2+c2a2bc，则 tanB 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个

4、节气晷（gu）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度） ，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是 连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和 为 84 尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为 16.5 尺，则夏至的晷长为 尺 15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p ，的最小值为 16 （5 分）设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+x e， 若不等式 f （x） +f （

5、x） ax 对 x （0， +） 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在函数 f（x）sin（2x+） （0，|）的图象向右平移个单 位长度得到 g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；向量 （sinx，cos2x） ， （cosx， ） ，0，f（x） ；函数（ 0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知 ，函数 f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 （1）若 0，求 f（）的值； （2）求函数 f（x）在0

6、，2上的单调递减区间 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a512，S416 （1）求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn为数列bn的前 n 项和，是否存在正整数 m，k（1 mk） ，使得 Tk3Tm2？若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAC 为等腰直角三角形，APC90，ABC 第 4 页（共 26 页） 为正三角形，D 为 AC 的中点，AC2 （1）证明：PBAC； （2）若三棱锥 PABC 的体积为，求二面角 APCB 的余弦值 20 （

7、12 分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块 ABC，A90，BC 长 2 千米，现对 这块地进行绿化改造，计划从 BC 的中点 D 引出两条成 45的线段 DE 和 DF，与 AB 和 AC 围成四边形区域 AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE， 试求花卉种植面积 S（）的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 E：的离心率 e 满足 2e23e+20，右顶 点为 A，上顶点为 B，点 C（0，2） ，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭 圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点 A 时，l 的斜 率为

8、 （1）求椭圆 E 的方程； （2）证明：SBOMSBCN为定值 第 5 页（共 26 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）exax （1）当 a0 时，设函数 f（x）的最小值为 g（a） ，证明：g（a）1； （2）若函数 h（x）f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，证明：h（x1）+h（x2） 2 第 6 页（共 26 页） 2019-2020 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的

9、四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集 UR，集合 AxZ|x216，Bx|x10，则 A（UB）（ ） Ax|1x4 Bx|1x4 C1，2，3 D2，3 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行补集和交集的运算即可 【解答】解：AxZ|4x43，2，1，0，1，2，3，Bx|x1， UBx|x1，A（UB）2，3 故选：D 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属 于基础题 2 （5 分）复数 z 满足，则|z|（ ） A2i B2 Ci D1 【分析】根据已知条件，先求出复数 z

10、的代数形式，代入模长公式即可 【解答】解：依题意，因为复数 z 满足， 所以 zi， 所以|z|1， 故选：D 【点评】本题考查了复数的代数形式的运算，复数的模，属于基础题 3 （5 分）已知向量（3，4） ，（6，3） ，（2m，m+1） 若，则 实数 m 的值为（ ） A B C3 D 【分析】先求得得（3，1） ，再由，则这两个向量的坐标对应成 比例，解方程求得实数 m 的值，可得结论 【解答】解：由题意可得（3，1） ，若， 第 7 页（共 26 页） 则这两个向量的坐标对应成比例，即 ， 解得 m3， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础

11、题 4 （5 分）函数 f（x）的部分图象是（ ） A B C D 【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得 f（x）为奇函数，排除 B，结合函数的解 析式可得当 0x1 时，f（x）0，排除 C，当 x1 时，f（x）0，排除 D；据此即可 得答案 【解答】解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0， 又由 f（x）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 B， 当 0x1 时，ln|x|lnx0，x30，则有 f（x）0，排除 C， 当 x1 时，ln|x|lnx0，x30，则有 f（x）0，排除 D， 故选：A 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性，属于基础题 5

12、（5 分） “a1”是“x0R，asinx0+10”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】设 f（x）asinx+1，分类求得函数的值域，由x0R，asinx0+10 求得 a 的范 围，可知“a1”是“x0R，asinx0+10”的不必要条件；取，当 a1 第 8 页（共 26 页） 时，asinx0+10 成立，说明“a1”是“x0R，asinx0+10”的充分条件 【解答】解：必要性：设 f（x）asinx+1，当 a0 时，f（x）1a，1+a，1a0， 即 a1； 当 a0 时，f（x）1+a，1a，1+a0，即 a1 故 a1 或

13、 a1； 充分性：取，当 a1 时，asinx0+10 成立 “a1”是“x0R，asinx0+10”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想 方法，是中档题 6 （5 分）若，则 a+2b 的最小值为（ ） A6 B C3 D 【分析】，变形 log3（2a+b）1+log3ab，可得 a，b0， +3，可得 a+2b（a+2b） （+）（5+） ，利用基本不等式的性质 即可得出 【解答】解：，log3（2a+b）1+log3ab， 2a+b3ab，a，b0 化为：+3 则 a+2b（a+2b） （+）（5+）（5+22）3，当

14、且仅 当 ab1 时取等号 故选：C 【点评】本题考查了对数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7 （5 分）已知圆 C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） 第 9 页（共 26 页） A B C D 【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离 dr，列方程求 出离心率 e的值 【解答】解：双曲线1 的渐近线方程为 bxay0， 圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24， 则圆心 C（0，5）到直线 bxay0 的距离为 dr； 即2， 解得， 即双曲线的离心率是 e 故选

15、：C 【点评】本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题 8 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出 表面积 【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O，连接 OA 得， ： r，r2，即 OA2，所以三棱锥的高 h 6，

16、 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故选：D 第 10 页（共 26 页） 【点评】考查正三棱锥的外接球的表面积，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad

17、0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则 【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可 【解答】解：若 ab0，cd0，则 acbd，所以 A 不正确； 若 ab0，bcad0，可得，即0，所以 B 正确； 若 ab，cd，则 a+cb+d，即 adbc，所以 C 正确； 若 ab，cd0，则不正确，反例 a1，b1，c2，d3， 显然，所以 D 不正确 故选：BC 【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查， 基础题 10 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确 的是（ ） A若 m

18、n，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，mn，n，则 【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论 【解答】解：A由 mn，m，则 n，正确； 第 11 页（共 26 页） B由 m，n，则 m 与 n 的位置关系不确定； C由 m，m，则 正确 D由 m，mn，n，则 ，因此不正确 故选：AC 【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 11 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 【分析】利用向量

19、的加法法则，先用，进而表示出 【解答】解：由 AB2AD2DC 知： ， ， 故 A 选项正确 又， ， 故 B 选项正确 ， 第 12 页（共 26 页） ， 故 C 正确 ， D 不正确 故选：ABC 【点评】本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的 思想 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 【分析】函数 f（x

20、）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，设 x0 时， x0，可得 f（x）f（x）e x（x1） ，x0 时，f（0）0当 x0 时，f（x） ex（x+1） ，f（x）ex（x+2） ，可得 x2 时，函数 f（x）取得极小值，进而判 断出结论 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ， 设 x0 时，x0，f（x）e x（x+1） ，f（x）f（x）ex（x1） ， x0 时，f（0）0因此函数 f（x）有三个零点：0，1 第 13 页（共 26 页） 当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，f（x）ex（x+

21、2） ，可得 x2 时，函数 f（x） 取得极小值， f（2）可得其图象： f（x）0 时的解集为： （，1）（0，1） x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|f（0+）f（0）|2 因此 BCD 都正确 故选：BCD 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若， b2+c2a2bc，则 tanB 4 【分析】先由余弦定理求出 cosA 的值，

22、结合正弦定理进行化简即可 【解答】解：由 b2+c2a2bc 得 cosA， 则 sinA， 若， 则+1， 即+1， 得，得 tanB4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合余弦定理以及正弦定理进行转化是解决 本题的关键，考查学生的计算能力，难度中等 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷（gu）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度） ，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是 第 14 页（共 26 页） 连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算

23、，这十二节气的所有晷长之和 为 84 尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为 16.5 尺，则夏至的晷长为 1.5 尺 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长 【解答】解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小 雪、大雪是连续的十二个节气， 其晷长依次成等差数列an， 经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为 84 尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和 为 16.5 尺， ， 解得 d1，a11.5 夏至的晷长为 1.5 尺 故答案为：1.5 【点评】本题考查夏至的晷长的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题

24、 15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p 8 ，的最小值为 【分析】先有焦点坐标求出 p，再讨论当直线 l 的斜率不存在时，求出答案，当直线 l 的 斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出 +，代入， 根据基本不等式即可求最小值 【解答】解：抛物线 y22px 的焦点 F，因为 F（4，0） ， 4p8y216x； 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4， 由，可得 M（4，8） ，N（4，8） ， |MF|NF|8， ； 当直线 l 的斜率存在时，设过点 F 作直线 l 的方程为 yk（x

25、4） ，不妨设 M（x1，y1 ） ， 第 15 页（共 26 页） N （x2，y2 ） ， 由 ，消 y 可得 k2x（16+8k2）x+16k20， x1+x28+，x1x216， |MF|x1+x1+4，|NF|x2+x2+4， + 4 （） +121（当且仅当|NF| 6 时等号成立） 故答案为：8， 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考 查了运算能力和转化能力，是中档题 16 （5 分）设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+x e，若不等式 f（x）+f（x）ax 对 x（0，+）恒成立，则实数 a

26、的取值范围是 a|a 2e1 【分析】由已知可得 f（x）exx+t，且 f（t）et，进而可求 t 及 f（x） ，然后代入已知 不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求 【解答】解：令 tf（x）ex+x， 所以 f（x）exx+t， 因为 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+xe， 故 t 为常数且 f（t）ete， 所以，t1，f（x）exx+1，f（x）ex1 因为 f（x）+f（x）ax 对 x（0，+）恒成立， 所以 2ex（a+1）x 对 x（0，+）恒成立， 即 a+1对 x（0，+）恒成立， 令 g（x），x0， 第 16 页（共 26

27、 页） 则 g（x）， 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调 递减， 故当 x1 时，函数取得最小值 g（1）2e， 故 a+12e 即 a2e1 故答案为：a|a2e1 【点评】本题主要考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化思想的应用，解题的关 键是根据已知条件求出 f（x） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 （10 分）在函数 f（x）sin（2x+） （0，|）的图象向右平移个单 位长度得到 g（x）的图象，g（x）图象

28、关于原点对称；向量 （sinx，cos2x） ， （cosx， ） ，0，f（x） ；函数（ 0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知 选条件 ，函数 f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 （1）若 0，求 f（）的值； （2）求函数 f（x）在0，2上的单调递减区间 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移 变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间 【解答】解：方案一：选条件 由题意可知， 1， ， 又函数 g（x）图象关于原点对称， 第 17 页（共 26 页）

29、 ， ， ， （1）， ， （2）由 解得 令 令， 函数 f（x）在0，2上的单调递减区间为 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数性质的应用，函数的 图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a512，S416 （1）求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn为数列bn的前 n 项和，是否存在正整数 m，k（1 mk） ，使得 Tk3Tm2？若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，利用已知条件列出方程求解首项与公

30、差，得到 通项公式 （2）求出，化简bn的通项公式，利用裂项消项法求和，通过 ，分析求解即可 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， 第 18 页（共 26 页） 由， 解得 （2）， Tnb1+b2+bn 若，则 整理得， 又 km1 整理得 解得， 又 mN* m2，k12 存在 m2，k12 满足题意 【点评】本题考查数列的求和，递推关系式的应用，数列的函数的性质，考查转化首项 以及计算能力，是中档题 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAC 为等腰直角三角形，APC90，ABC 为正三角形，D 为 AC 的中点，AC2 （1）证明：PBAC； （2）若三棱锥 P

31、ABC 的体积为，求二面角 APCB 的余弦值 第 19 页（共 26 页） 【分析】 （1）证明 PDACBDAC然后证明 AC平面 PBD即可证明 PBAC （2）说明 PD平面 ABC，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，求出平面 PBC 的一个法向量，平面 PAC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 （1）证明：PAC 为等腰直角三角形，D 为 AC 的中点，PDAC 又ABC 为正三角形，D 为 AC 中点，BDAC 又 PDBDD，PD，BD 平面 PBD，AC平面 PBD 又 PB平面 PBD，PBAC （2）解：设三棱锥 PABC 的高为 h，

32、， h1 又，PD平面 ABC， 如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 ， 设 （x，y，z）为平面 PBC 的一个法向量，则 令， ， 又是平面 PAC 的一个法向量， 第 20 页（共 26 页） ， 二面角 APCB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空 间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题 20 （12 分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块 ABC，A90，BC 长 2 千米，现对 这块地进行绿化改造，计划从 BC 的中点 D 引出两条成 45的线段 DE 和 DF，与 AB 和 AC 围成四边形区域

33、 AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE， 试求花卉种植面积 S（）的取值范围 【分析】由题意在BDE 中由正弦定理得，在DCF 中由正弦定理 得， 利用三角形的面积公式， 三角函数恒等变换的应用可求 SBDE+S 第 21 页（共 26 页） DCF，进而可求 S（），结 合题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积 S（）取值范围 【解答】解：在BDE 中，BED， 由正弦定理得， ， 在DCF 中， 由顶线定理得， ， 第 22 页（共 26 页） ， S（）SABC（SBDE+SDCF）， AEDF 为四边形区域， ， ， ， ， 花卉种植面积 S（）取值范

34、围是 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，正 弦函数的性质在解三角形中的实际应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 E：的离心率 e 满足 2e23e+20，右顶 点为 A，上顶点为 B，点 C（0，2） ，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭 圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点 A 时，l 的斜 率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）证明：SBOMSBCN为定值 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）由求出离心率，结合 AC 的斜率

35、，转化求解 a，b，即可 得到椭圆方程 （2）设直线 l 的方程为 ykx2，P（x1，y1） ，Q（x2，y2）由得（2k2+1） x28kx+60，利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可 【解答】解： （1）由 解得， 又， b1， 椭圆 E 的方程为 （2）由题知，直线 l 的斜率比存在，设直线 l 的方程为 ykx2，P（x1，y1） ，Q（x2， y2） 由得（2k2+1）x28kx+60， （8k）246（2k2+1） 16k2240， ， 第 24 页（共 26 页） 直线 BP 的方程为， 令 y0 解得， 同理可得， ， y1y2（kx12） （kx22）k

36、2x1x22k（x1+x2）+4 ， ， SBOMSBON为定值 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题 解决问题的能力，是难题 22 （12 分）已知函数 f（x）exax （1）当 a0 时，设函数 f（x）的最小值为 g（a） ，证明：g（a）1； （2）若函数 h（x）f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，证明：h（x1）+h（x2） 2 【分析】 （1）先求得 g（a） ，再利用导数研究函数 g（a）的最值即可； （2）先得到a1，且x10x2，再转化得到 ，构造新函数 m（x）ex+e xx2 第 25 页（共 26 页） （x0）

37、，即可得证 【解答】证明： （1）f（x）exa（a0） ， 令 f（x）0，解得 xlna， 当 xlna 时，f（x）0， 当 xlna 时，f（x）0， f（x）minf（lna）aalna， g（a）aalna（a0） ， 令 g（x）xxlnx（x0） ，g（x）lnx， 令 g（x）0，解得 x1， 当 x（0，1）时，g（x）0， 当 x（1，+）时，g（x）0， g（x）maxg（1）1， g（x）1， 当 a0 时，g（a）1； （2），h（x）exax， 令 （x）exax，（x）ex1， 令 （x）0，解得 x0， 当 x0 时，（x）0， 当 x0 时，（x）0， （x

38、）min（0）1a， 又函数 h（x）有两个极值点， 1a0， a1，且 x10x2， 当 x（，x1）时，h（x）单调递增， 当 x（x1，0）时，h（x）单调递减， 当 x（，0）时，h（x）h（x1） 又x2（，0） ， h（x2）h（x1） ， ， 第 26 页（共 26 页） 令 m（x）ex+e xx2（x0） ， 令 n（x）m（x） ， n（x）在0，+）上单调递增， m（x）n（x）n（0）0， m（x）在0，+）上单调递增， m（x）m（0）2， x20， 即 h（x2）+h（x2）2， h（x1）+h（x2）2 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查 运算能力及逻辑推理能力，属于中档题