2019-2020学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、设集合 Ax|1x1，则 AN（ ） A.1 B0，1 C1，1 D1，0，1 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，1+（a1）i0（aR） ，复数 za2i，则|（ ） A B5 C D 3 （5 分）函数 yf（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x，则当 x0 时，f（x） （ ） A2x B2 x C2 x D2x 4 （5 分）已知 aR，则“0a1”是“xR，ax2+2ax+10”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知向量 （1，1） ， （1，3） ， （2，1） ，且（ ） ，则 （ ） A3 B3 C

2、D 6 （5 分）将曲线 yf（x）cos2x 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 ycos2x，则（ ） A1 B1 C D 7 （5 分）已知 f（x），若函数 yf（x）1 恰有一个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，1 8 （5 分）已知直线 l1：kx+y0（kR）与直线 l2：xky+2k20 相交于点 A，点 B 是圆 （x+2）2+（y+3）22 上的动点，则|AB|的最大值为（ ） A B C D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题

3、，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项在每小题给出的选项中，有多项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 第 2 页（共 29 页） 9 （5 分）某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面 的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ） A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l设 l

4、 与 x 轴的交点为 K，P 为 C 上异于 O 的任意一点，P 在 l 上的射影为 E，EPF 的外角 平分线交 x 轴于点 Q，过 Q 作 QMPE 于 M，过 Q 作 QNPE 交线段 EP 的延长线于点 N，则（ ） A|PE|PF| B|PF|QF| C|PN|MF| D|PN|KF| 11 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为线段 A1D1上的动 点（不包括两个端点） ，M 为线段 AP 的中点，则（ ） ACM 与 PN 是异面直线 BCMPN 第 3 页（共 29 页） C平面 PAN平面 BDD1B1 D过 P，A，C 三点的正

5、方体的截面一定是等腰梯形 12 （5 分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的 P 点的距离是 2km，从 P 点沿海岸正 东12km处有一个城镇 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h， 步行的速度为5km/h， 时间 t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处 距 P 点的距离设，则（ ） A函数 vf（u）为减函数 B15tu4v32 C当 x1.5 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D当 x4 时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过 3h 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （

6、5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看 好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃 及人喜欢使用分子为 1 的分数（称为埃及分数） 如用两个埃及分数与的和表示 等从这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个，使得它们 的和为 1，这三个分数是 （按照从大到小的顺序排列） 14（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 角 的顶点是 O， 始边是 x 轴的非负半轴， 02， 点是 终边上一点，则 的值是 15 （5 分）已知 F 为双曲线（a0，b0）的

7、右焦点，过 F 作 C 的渐近线 的垂线 FD，D 为垂足，且（O 为坐标原点） ，则 C 的离心率为 第 4 页（共 29 页） 16 （5 分） 如图， 在三棱锥 PABC 中， PAAB， PCBC， ABBC， AB2BC2， 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ； 三棱锥 PABC 外接球的表面积是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在；2a+c2bcosC；这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在ABC 中，内角

8、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ，a+c4， 求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知等比数列an满足 a1，a2，a3a1成等差数列，且 a1a3a4；等差数列bn 的前 n 项和求： （1）an，bn； （2）数列anbn的前项和 Tn 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD2，AB3，AP，ADBC，AD 平面 PAB，APB90，点 E 满足 （1）证明：PEDC； （2）求二面角 APDE 的余弦值 第 5 页（共 29 页） 20 （12 分）2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城

9、市” ，吸引了大批投资 商的目光， 一些投资商积极准备投入到 “魅力城市” 的建设之中 某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实 物见证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是 否盈利是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为 p（0p1） ， 若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0 项目二： 天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、 文化和人文地理于一体的自然山水景区 据 市场调研，投资到该项目上，到 2020

10、年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 p 和 1p （1）若投资项目一，记 X1为盈利的天坑院的个数，求 E（X1） （用 p 表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 X2百万元，求 E（X2） （用 p 表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目， 并说明理由 21 （12 分）设中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点，F 为 C 的右焦点， F 的方程为 x2+y220 （1）求 C 的方程； （2）若直线（k0）与O 相切，与F 交于 M、N 两点，与 C 交于

11、P、 Q 两点，其中 M、P 在第一象限，记O 的面积为 S（k） ，求（|NQ|MP|） S（k）取最 大值时，直线 l 的方程 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（2x+a） （x0，a0） ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ） 处的切线在 y 轴上的截距为 （1）求 a； （2）讨论函数 g（x）f（x）2x（x0）和（x0）的单调性； （3）设，an+1f（an） ，求证：（n2） 第 6 页（共 29 页） 2019-2020 学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项

12、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Ax|1x1，则 AN（ ） A.1 B0，1 C1，1 D1，0，1 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 Ax|1x1， AN0，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，1+（a1）i0（aR） ，复数 za2i，则|（ ） A B5 C D 【分析】先根据已知条件求出 a；

13、再根据长度定义即可求解 【解答】解：因为：i 是虚数单位，1+（a1）i0（aR） ， 所以：a10a1； z12i，则|； 故选：C 【点评】本题主要考察复数的定义以及长度；解决本题的关键在于由 i 是虚数单位，1+ （a1）i0（aR） ，得到 a1 3 （5 分）函数 yf（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x，则当 x0 时，f（x） （ ） A2x B2 x C2 x D2x 【分析】x0 时，x0，根据已知可求得 f（x） ，根据奇函数的性质 f（x）f（ x）即可求得 f（x）的表达式 【解答】解：x0 时，x0，x0 时，f（x）2x， 第 7 页（共 29 页）

14、 当 x0 时 f（x）2 x， f（x）是 R 上的奇函数， 当 x0 时，f（x） ）f（x）2 x 故选：C 【点评】本题考查函数解析式的求解，利用了奇函数的性质 f（x）f（x） ，计算简 单，属于基础题 4 （5 分）已知 aR，则“0a1”是“xR，ax2+2ax+10”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “xR，ax2+2ax+10”，或 a0，10，解得 a 范围即 可判断出结论 【解答】解： “xR，ax2+2ax+10”，或 a0，10，解得 0a 1 “0a1”是“xR，ax2+2ax+10”的充分不必要条件 故选：

15、A 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、二次函数的性质，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知向量 （1，1） ， （1，3） ， （2，1） ，且（ ） ，则 （ ） A3 B3 C D 【分析】利用（ ） ，列出含 的方程求解即可 【解答】解：因为 （1+，13） ，又因为（ ） ， 所以 1（1+）2（13）710，解得 ， 故选：C 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题 6 （5 分）将曲线 yf（x）cos2x 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 第 8 页（共 29 页） 到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 yco

16、s2x，则（ ） A1 B1 C D 【分析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一 步求出函数的值 【解答】解：曲线 yf（x）cos2x 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得 到：yf（x）cosx， 再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到：ycos2x， 所以 f（） 设，解得 x2t+， 所以 f（t）2cos（2t+）2sin2t 所以 f（x）2sin2x 所以， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和 伸缩变换的应用，换元法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型

17、 7 （5 分）已知 f（x），若函数 yf（x）1 恰有一个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，1 【分析】先画 x1 的图象单调递增，由 f（x）f（2x）是关于 x1 对称可得 f（2x） 的图象，单调递减，而 f（2x）+k 是 f（2x）的图象上下平行移动得到，要使函数 y f（x）1 恰有一个零点，只需将 f（2x）的图象向上平行移动，可得结果 【解答】解：由 f（x）， 可得 f（x）f（2x）为关于 x1 对称，画出 x1 的图象，单调递增的， 由对称得 f（2x）的图象单调递减， 第 9 页（共 29 页） 而 f（2x）+

18、k 是 f（2x）的图象上下平行移动得到，yf（x）1 恰有一个零点即是 f（x）1 的根， 所以可得 k1， 故选：B 【点评】考查函数的对称性及函数的零点与函数的交点的关系，属于中档题 8 （5 分）已知直线 l1：kx+y0（kR）与直线 l2：xky+2k20 相交于点 A，点 B 是圆 （x+2）2+（y+3）22 上的动点，则|AB|的最大值为（ ） A B C D 【分析】由 l1：kx+y0 恒过定点 O（0，0） ，直线 l2：xky+2k20 恒过定点 C（2， 2）且 l1l2，可知 A 在以 OC 为直径的圆 D 上，要求|AB|的最大值，转化为在 D 上找一 点 A，

19、使 AB 最大，结合圆的性质可求 【解答】解：因为线 l1：kx+y0 恒过定点 O（0，0） ，直线 l2：xky+2k20 恒过定 点 C（2，2）且 l1l2， 故两直线的交点 A 在以 OC 为直径的圆上，且圆的方程 D： （x1）2+（y1）22， 要求|AB|的最大值，转化为在 D： （x1）2+（y1）22 上找一点 A，在 E： （x+2）2+ （y+3）22 上找一点 B，使 AB 最大， 根据题意可得两圆的圆心距5， 则|AB|max5+2 故选：C 【点评】本题综合考查了点的轨迹方程的求解及两圆位置关系的应用，体现了转化思想 的应用 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题

20、：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 第 10 页（共 29 页） 9 （5 分）某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面 的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ） A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 【分析】A、根据极差的公式：极差最大值最小值解答； B、根据两组数据的取

21、值范围判断均值大小； C、根据中位数的定义求出数值； D、根据两组数的据波动性大小； 【解答】解：A、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差173 16112，故本选项符合题意； B、男生身高的数据在 167192 之间，女生身高数据在 161173 之间，所以男生身高的 均值较大，故本选项符合题意； C、抽取的 10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为 165 和 167， 所以中位数是 166，故本选项不符合题意； D、抽取的学生中，男生身高的数据在 167192 之间，女生身高数据在 161173 之间， 男生身高数据波动性大，所以方差较大，

22、故本选项不符合题意 故选：AB 【点评】本题考查了统计数据的分析与应用问题，是基础题 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l设 l 与 x 轴的交点为 K，P 为 C 上异于 O 的任意一点，P 在 l 上的射影为 E，EPF 的外角 平分线交 x 轴于点 Q，过 Q 作 QMPE 于 M，过 Q 作 QNPE 交线段 EP 的延长线于点 N，则（ ） 第 11 页（共 29 页） A|PE|PF| B|PF|QF| C|PN|MF| D|PN|KF| 【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得 A 正确；角平分线性质及

23、 平行线的性质可得 B 正确； 由平行四边形的性质及直角三角形中边长的关系可得 D 正确； 假设 C 正确得到角 PFQ 为定值，而由题意可得 P 为动点，所以 C 不正确 【解答】 解： 由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以由题意可得|PF|PE|， 即 A 正确； PQ 为EPF 的外角平分线，所以FPQNPQ， 又 EPFQ，所以NPQPQF， 所以FPQPQF，所以|PF|QF|，所以 B 正确； 连接 EF，由上面可得：PEPFQF，PEFQ，所以四边形 EFQP 为平行四边形，所 以 EFPQ，EFPQ 所以EFKPQFQPN，在EFK 中，KFEFcosEFK， P

24、QN 中，PNPQcosQPN， 所以 FKPN；所以 D 正确； C 中，若 PNMF，而 PMPN，所以 M 是 PF 的中点，PMPF，所以 PQFQ，由上 面可知PQF 为等边三角形，即PFQ60，而 P 为抛物线上任意一点，所以PFQ 不一定为 60，所以 C 不正确； 故选：ABD 第 12 页（共 29 页） 【点评】考查抛物线的性质及外角平分线的性质，和直线与抛物线的综合应用，属于中 难题 11 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为线段 A1D1上的动 点（不包括两个端点） ，M 为线段 AP 的中点，则（ ） ACM 与 PN

25、是异面直线 BCMPN C平面 PAN平面 BDD1B1 D过 P，A，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【分析】A根据 ANCPM 共面，因此 CM 与 PN 不是异面直线，即可判断出正误； B由 CMACAB，PNA1NABAB，即可判断 出正误 C利用线面垂直的判定定理可得：AN平面 BDD1B1，因此平面 PAN平面 BDD1B1， 即可判断出正误； D过 P，A，C 三点的正方体的截面与 C1D1相交于点 Q，可得 ACPQ，且 PQAC， 可得一定是等腰梯形 【解答】解：AANCPM 共面，因此 CM 与 PN 不是异面直线，不正确； BCMACAB，PNA1NAA1ABAB，

26、 因此 CMPN，因此正确 第 13 页（共 29 页） C ANBD， ANBB1， BDBB1B， AN平面 BDD1B1， 平面 PAN平面 BDD1B1， 因此正确； D过 P，A，C 三点的正方体的截面与 C1D1相交于点 Q，则 ACPQ，且 PQAC，因 此一定是等腰梯形，正确 故选：BCD 【点评】本题考查了正方体的性质、空间位置关系的判定、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的 P 点的距离是 2km，从 P 点沿海岸正 东12km处有一个城镇 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h， 步行的速度为

27、5km/h， 时间 t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处 距 P 点的距离设，则（ ） A函数 vf（u）为减函数 B15tu4v32 C当 x1.5 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D当 x4 时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过 3h 【分析】由题意可知，是减函数，故选项 A 正确，又：，0 第 14 页（共 29 页） x12，化简即可得到 15tu4v36，故选项 B 错误，利用导数可得当 x时，t（x） 最小，且最短时间为h，故选项 C 正确，当 x4 时，t，故选项 D 错 误 【解答】解：， ，是减函数，故选项 A 正确， 由题意可知

28、：，0x12， u+4v36， 15tu4v36，故选项 B 错误， ，0x12， ， 令 t0 得，x， 当 x，t0，t（x）单调递减；当 x时，t0，t（x）单调递 增， 当 x时，t（x）最小，且最短时间为h，故选项 C 正确， 当 x4 时，t，故选项 D 错误， 故选：AC 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，以及利用导数研究函数的最值，是中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大

29、读者喜爱下面我们一起来看 好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃 及人喜欢使用分子为 1 的分数（称为埃及分数） 如用两个埃及分数与的和表示 第 15 页（共 29 页） 等从这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个，使得它们 的和为 1，这三个分数是 ， （按照从大到小的顺序排列） 【分析】由即可求出答案 【解答】解：， 这三个分数是：， 故答案为： 【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题 14（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 角 的顶点是 O， 始边是 x 轴的非负半轴， 02， 点是 终边上一点，则 的值是 【分析】由已知利用任意角的

30、三角函数定义求得 tan 的值，由题意可求 1tan0， 结合范围 02，可得 0，根据特殊角的三角函数值即可求解 【解答】解：点是 终边上一点， tan ， 0，可得 tantan，可得 1tan10， 又02，可得 0， 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数定义，考查了计算能力 和转化思想，属于基础题 15 （5 分）已知 F 为双曲线（a0，b0）的右焦点，过 F 作 C 的渐近线 第 16 页（共 29 页） 的垂线 FD，D 为垂足，且（O 为坐标原点） ，则 C 的离心率为 2 【分析】由题意画出图形，可得 tan60，结合隐含条件及离心率公式求解

31、【解答】解：如图， F 为双曲线（a0，b0）的右焦点，FD 与直线 yx 垂直，垂足为 D， |FD|OF|，则DOF60，可得 tan60， 得3， e2 故答案是：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方 法，是中档题 16 （5 分） 如图， 在三棱锥 PABC 中， PAAB， PCBC， ABBC， AB2BC2， 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 45 ； 三棱锥 PABC 外接球的表面积是 6 【分析】先确定三棱锥 PABC 外接球的球心为 PB 的中点，从而求出三棱锥 PABC 外接球的表面积， 再利用球心 O 找出 PA平面

32、ABC， 从而找出 PA 与平面 ABC 所成角的 第 17 页（共 29 页） 平面角，再利用勾股定理即可求出结果 【解答】解：取 PB 的中点 O，AC 的中点 D，连接 BD 并延长至点 E，使得 BDDE， 连接 AE，PE，OD，如图所示： PAB 和PCB 是同斜边的直角三角形，三棱锥 PABC 外接球的球心为 PB 的中 点， 又，三棱锥 PABC 外接球的半径 R， 三棱锥 PABC 外接球的表面积为：46， ABBC，点 D 为ABC 的外接圆圆心，OD平面 ABC， 又点 D 是 BE 的中点，点 O 是 PB 的中点，PEOD， PE平面 ABC， PAE 为 PA 与平

33、面 ABC 所成角的平面角， 在 RtOBD 中， PE2OD1， 在 RtPAB 中， 在 RtPAE 中，PAE45， 故答案为：450，6 【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，以及直线与平面所成夹角，是中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在；2a+c2bcosC；这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ，a+c4， 求ABC 的面积 第 18 页（共 2

34、9 页） 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式，求出 B，再利用余弦 定理求出 ac，从而求出三角形的面积 【解答】解：若在横线上填写“” ， 则由正弦定理，得 由 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 得 由 0C，得 sinC0 所以 又 cosB0（若 cosB0，则 sinB0，sin2B+cos2B0 这与 sin2B+cos2B1 矛盾） ， 所以 又 0B，得 由余弦定理及，得， 即 12（a+c）2ac将 a+c4 代入，解得 ac4， 所以； 若在横线上填写“2a+c2bcosC” ，

35、 则由正弦定理，得 2sinA+sinC2sinBcosC， 由 2sinA2sin（B+C）2sinBcosC+2cosBsinC，得 2cosBsinC+sinC0， 由 0C，得 sinC0， 所以 cosB，又 B（0，） ，所以 B， 由余弦定理及，得， 即 12（a+c）2ac将 a+c4 代入，解得 ac4， 所以； 若在横线上填写“” ， 则由正弦定理，得 sinBsinAsinAsin， 又 A（0，） ，所以 sinA0， 第 19 页（共 29 页） 所以 sinBsin， 所以 2sincos， 又 0B，所以，所以， 所以 sin，所以，即， 由余弦定理及，得， 即

36、12（a+c）2ac将 a+c4 代入，解得 ac4， 所以； 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题 18 （12 分）已知等比数列an满足 a1，a2，a3a1成等差数列，且 a1a3a4；等差数列bn 的前 n 项和求： （1）an，bn； （2）数列anbn的前项和 Tn 【分析】 （1）设an的公比为 q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式可得首项 和公比，进而得到所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）设an的公比为 q 因为 a1，a2，a3a1成等差数列， 所以 2a2a1+（a3a1） ，即 2a2

37、a3 因为 a20，所以 因为 a1a3a4，所以 因此 由题意， 所以 b1S11，b1+b2S23，从而 b22 第 20 页（共 29 页） 所以bn的公差 db2b1211 所以 bnb1+（n1）d1+（n1） 1n （2）令 cnanbn，则 因此 Tnc1+c2+cn121+222+323+（n1） 2n 1+n2n 又 两式相减得2n+12n2n+1 （1n） 2n+12 所以 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减 法求和，化简运算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD2，AB3，AP，ADBC，AD 平

38、面 PAB，APB90，点 E 满足 （1）证明：PEDC； （2）求二面角 APDE 的余弦值 【分析】 （1） 根据边角关系， 结合， 求出 PEAB， 得到 PE平面 ABCD， 所以 PEDC； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 PDE 的法向量为 ，平面 APD 的法向量为 ，利 用向量的夹角公式，求出即可 【解答】 （1）证明：在 RtPAB 中， 第 21 页（共 29 页） 由勾股定理，得 因为， 所以 0， 所以， 因为 AD平面 PAB，PE平面 PAB， 所以 PEAD， 又因为 PEAB，ABADA， 所以 PE平面 ABCD， 又因为 DC平面 ABCD， 所以 P

39、EDC； （2）由，得 所以点 E 是靠近点 A 的线段 AB 的三等分点 所以 分别以，所在方向为 y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 第 22 页（共 29 页） 则 A（0，0，0） ，E（0，1，0） ， 设平面 PDE 的法向量为 （a，b，c） ， 由，得 令 c1，则， 设平面 APD 的法向量为 （x，y，z） ， 由，得， 令 x1，则， 设向量夹角为 ， 则 cos 所以二面角 APDE 的余弦值为 【点评】考查直线和平面的垂直的判断定理和性质的应用，考查向量法求二面角的余弦 值，考查运算能力，中档题 20 （12 分）2017 年 11 月河南

40、省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市” ，吸引了大批投资 商的目光， 一些投资商积极准备投入到 “魅力城市” 的建设之中 某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实 物见证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是 否盈利是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为 p（0p1） ， 第 23 页（共 29 页） 若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0 项目二： 天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、 文化和人文地理于

41、一体的自然山水景区 据 市场调研，投资到该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 p 和 1p （1）若投资项目一，记 X1为盈利的天坑院的个数，求 E（X1） （用 p 表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 X2百万元，求 E（X2） （用 p 表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目， 并说明理由 【分析】 （1）由题意 X1B（20，p） ，由此能求出盈利的天坑院数的均值 （2）若投资项目二，求出 X2的分布列，由此能求出盈利的均值 E（X2） （3

42、）若盈利，则每个天坑院盈利 0.240%0.08（百万元） ，投资建设 20 个天坑院，盈 利的均值为 E（0.08X1）1.6p（百万元）.0.128p（1p） ， D（X2）10.24p（1p） ，由此分类讨论能求出结果 【解答】解： （1）由题意 X1B（20，p） ， 则盈利的天坑院数的均值 E（X1）20p （2）若投资项目二，则 X2的分布列为： X2 2 1.2 P P 1p 盈利的均值 E（X2）2p1.2（1p）3.2p1.2 （3）若盈利，则每个天坑院盈利 0.240%0.08（百万元） ， 所以投资建设 20 个天坑院，盈利的均值为 E（0.08X1）0.08E（X1）0

43、.0820p1.6p （百万元） 0.08220p（1p）0.128p（1p） ， 10.24p（1p） ， 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2， 解得D（0.08X1）D（X2） 故选择项目一 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2， 第 24 页（共 29 页） 解得 此时选择项一 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2，解得 此时选择项二 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查二项 分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）设中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过

44、点，F 为 C 的右焦点， F 的方程为 x2+y220 （1）求 C 的方程； （2）若直线（k0）与O 相切，与F 交于 M、N 两点，与 C 交于 P、 Q 两点，其中 M、P 在第一象限，记O 的面积为 S（k） ，求（|NQ|MP|） S（k）取最 大值时，直线 l 的方程 【分析】 （1）根据题意求得焦点坐标，利用两点之间的距离公式，求得 a 的值，求得椭 圆方程； （2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，及点到直线的距离公式求得（|NQ| |MP|） S（k）的表达式，利用基本不等式即可求得（|NQ|MP|） S（k）的最大值，且能 求得直线方程 【解答】解： （1）解：设 C 的方程为（ab0） 由题设知 因为F 的标准方程为， 所以 F 的坐标为，半径 设左焦点为 F1，则 F1的坐标为 由椭圆定义，可得2a|AF1|+|AF| 由解得 a2，b1 第 25 页（共 29 页） 所以 C 的方程为 （2）由题设可知，M 在 C 外，N 在 C 内，P 在F 内，Q 在F 外，在直线 l 上的四点 满足|MP|MN|NP|，|NQ|PQ|NP| 由消去 y 得 因为直线 l 过椭圆 C 内的右焦点 F， 所以该方程的判别式0 恒成立 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 由韦达定理，得， 又因为F 的直径