2020年北京市朝阳区高考二模数学试题（含答案）

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1、 高三数学试卷 第 1 页（共 14 页） 北京市朝阳区高三年级高考北京市朝阳区高三年级高考数学数学练习练习二二 2020.6 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）函数 ln 1 f x x x 的定义域为 (A) (0,) (B) (0,1)(1,) (C) 0,) (D) 0,1)(1,) （3）若a，b，cR且abc，则下列不等式一定成立的是 （A） 22 acbc

2、（B） 222 abc （C）2acb （D）acbc （4）圆心在直线0xy上且与y轴相切于点(0, 1)的圆的方程是 （A） 22 (1)(1)1xy （B） 22 (1)(1)1xy （C） 22 (1)(1)2xy （D） 22 (1)(1)2xy （5） 直线l过抛物线 2 2yx的焦点F， 且l与该抛物线交于不同的两点 11 (,)A x y， 22 (,)B xy 若 12 3xx， 则弦AB的长是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）8 （6）设等差数列 n a的公差为d，若2 n a n b，则“0d”是“ n b为递减数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

3、 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）已知函数 ( )sin(2) 6 f xx=-，则下列四个结论中正确的是 （A）函数( )f x的图象关于 5 (,0) 12 中心对称 高三数学试卷 第 2 页（共 14 页） （B）函数( )f x的图象关于直线 8 x= -对称 （C）函数( )f x在区间( ,)-内有4个零点 （D）函数( )f x在区间 ,0 2 -上单调递增 （8）圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标 竿（称为“表” ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ） 当正午太阳照 射在表上

4、时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一 天定为夏至 图 2 是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图， 已知北京冬至正午太阳高度角 （即 ABC）为26.5o，夏至正午太阳高度角（即ADC）为73.5o，圭面上冬至线与夏至线之间的距离 （即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为 （A） sin53 2sin47 a o o （B） 2sin47 sin53a o o （C） tan26.5 tan73.5 tan47 a oo o （D） sin26.5 sin73.5 sin47 a oo o （9）在平行四边形ABCD中， = 3 A，= 2AB

5、，1AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且 满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的最大值为 （A）2 （B）4 （C）5 （D）6 （10）设函数 ( )f x的定义域为D，如果对任意 1 xD，都存在唯一的 2 xD，使得 12 ( )()f xf xm（m为 常数）成立，那么称函数 ( )f x在D上具有性质m现有函数： （第 8 题图） 高三数学试卷 第 3 页（共 14 页） ( )3f xx； ( )3 x f x； 3 ( )logf xx； ( )tanf xx 其中，在其定义域上具有性质m的函数的序号是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 1

6、10 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）已知平面向量( ,3) ma，(1,6)b，若ab，则m_ （12）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项为_ （用数字作答） （13）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为_ （14）已知双曲线C的焦点为 1(0,2) F， 2(0, 2) F，实轴长为 2，则双曲线C的离心率是_；若点Q 是双曲线C的渐近线上一点，且 12 FQF Q，则 12 QF F的面积为_ （15）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为 outin out 100% CC C

7、，其中 out C （第 13 题图） 高三数学试卷 第 4 页（共 14 页） 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./ L） ， in C表示经口罩过滤后，单位体积气 体中含有的颗粒物数量（单位：ind./ L） 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒 物过滤效率分别进行了 4 次测试， 测试结果如图所示 图中点 i j A 的横坐标表示第i种口罩第j次测试 时 out C的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时 in C的值(1,2,1,2,3,4)ij 该研究小组得到以下结论： 在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高； 在第 2

8、 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高； 在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高； 在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低 其中，所有正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求全部选对得5 分，不选或有错选得分，其他得3 分 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 0 （第 15 题图） 高三数学试卷 第 5 页（共 14 页） 已知 n a是公差为d的等差数列，其前n项和为 n

9、S，且 5 1a， 若存在正整数n，使得 n S有 最小值 （）求 n a的通项公式； （）求 n S的最小值 从 3 1 a，2d，2 d这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （17） （本小题 14 分） 如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，ADDE，4AD=，2DEEF=，且 3 EDC?. （）求证：AD平面CDEF； （）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值； （）设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G， 使得/MG平面ADE？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由 （18） （本小题 14 分

10、） M FE D C B A 高三数学试卷 第 6 页（共 14 页） 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟为了尽快在实际生活中 应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试某机构调查 了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车， 按照每辆车的行驶里程(单位： 万公里)将这些汽车分为4组： 5,6)，6,7)，7,8)，8,9并整理得到如下的频率分布直方图： （）求a的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本从样本中行驶里 程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆， 其中有X辆汽车行驶里

11、程不小于8万公里， 求X 的分布列和数学期望； （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0 若用分层抽样的方法从上述4组无人 驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1 ；若用简单随机抽样的方法从上述无 人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 2 有同学认为 0102 ， 你认为正确吗？说明理由 （19） （本小题 14 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆C经过点 6 (1,) 2 （）求椭圆C的方程； （）已知过点(4,0)P的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线1x交于点Q，设AP

12、PB， AQQB(，)R，求证：为定值 （20） （本小题 15 分） 高三数学试卷 第 7 页（共 14 页） 已知函数 ( )2sincosf xxxxax()aR （）若曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线的斜率为1 （）求a的值； （）证明：函数 ( )f x在区间(0,)内有唯一极值点； （）当1a时，证明：对任意 (0,)x ， ( )0f x （21） （本小题 14 分） 设集合 1234 ,Aa a a a，其中 1 a， 2 a， 3 a， 4 a是正整数，记 1234 A Saaaa对于 i a， j aA (14) ij，若存在整数k，满足() ijA k aa

13、S，则称 ij aa整除 A S，设 A n是满足 ij aa整除 A S的数 对( , ) ( )i jij的个数 （）若1,2,4,8A，1,5,7,11B，写出 A n， B n的值； （）求 A n的最大值； （）设A中最小的元素为a，求使得 A n取到最大值时的所有集合A 高三数学试卷 第 8 页（共 14 页） 数学参考答案数学参考答案 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

14、） （1）B （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）C （8）D （9）C （10）A 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） （11） 1 2 （12）15 （13）12 （14）2；2 3 （15） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16） （本小题 14 分） 解： （不可以选择作为补充条件.） 选择作为补充条件. 解答如下： （）因为 5

15、1a ， 3 1 a ，所以1d 所以1 (5) 14() n annnN 4 分 （）由（）可知 1 3 a 所以 1 ()1 (7) 22 n n n aa Sn n 因为 nN，所以当3n或4时， n S取得最小值，最小值为6 故存在正整数3n或4，使得 n S有最小值，最小值为6 14 分 选择作为补充条件. 解答如下： （）因为 5 1a ，2d， 所以1 (5) 229() n annnN 4 分 高三数学试卷 第 9 页（共 14 页） （）由（）可知 1 7 a 所以 21 () 8 2 n n n aa Snn所以当4n时， n S取得最小值，最小值为16 故存在正整数4n，

16、使得 n S有最小值，最小值为16 14 分 （17） （本小题 14 分） 解： （）因为ABCD是正方形，所以ADCD 又因为ADDE，DE 平面CDEF， CD平面CDEF，CDDED=I， 所以AD平面 CDEF 4 分 （）由（）知，AD平面CDEF, 所以平面ABCD 平面CDEF 过点E作EOCD，垂足为O， 则OE 平面ABCD 在平面ABCD内，过O作OHCD， 则OE OH 如图建立空间直角坐标系-Oxyz， 因为4AD=，2DEEF=，且 3 EDC?，所以1DO=，3OE= 则(4, 1,0)A-，(4,3,0)B，(0,3,0)C，(0, 1,0)D-，(0,0, 3

17、)E， 所以( 4,0,0)AD= - uuu r ，( 4,1, 3)AE = - uuu r ，( 4,4,0)BD= - uuu r 设平面ADE的一个法向量为( , , )x y z=n， 则 0, 0. AD AE ? ? n n uuu r uuu r 即 40, 430. x xyz - = - += 令3y，则0x，1z，于是(0, 3,1)=-n G M FE D C B A O H x y z 高三数学试卷 第 10 页（共 14 页） 设直线BD与平面ADE所成角为q， 则 |4 36 sin|cos,| 424 2 | BD BD BD q = = n n n uuu

18、r uuu r uuu r 所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为 6 4 10 分 （）棱AB上存在点G，使得/MG平面ADE，此时3AG=理由如下： 因为/DC AB，DC平面ABFE，AB平面ABFE， 所以/DC平面ABFE 因为DC 平面DCFE，平面DCFEI平面ABFEEF=， 所以/DC EF 由（）知，(0,2, 3)F， 53 (0,) 22 M 设 11 (4,0) ( 13)Gyy-，则 1 53 (4,) 22 MGy=- uuu r 由（）知，平面ADE的一个法向量为(0, 3,1)=-n 若/MG平面ADE，则0MG?n uuu r ，即 1 53 3()0 2

19、2 y -+=，解得 1 2y =，即(4,2,0)G 经验证，此时/MG平面ADE 所以棱AB上存在点G，使得/MG平面ADE，此时3AG= 14 分 （18） （本小题 14 分） 解： （）由题意知，1 (0.1 0.20.4)1a，所以0.3a 3 分 （）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车， 则行驶里程在7,8)这一组的无人驾驶汽车有 4 104 10 辆， 行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有 3 103 10 辆 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2 2 4 2 7 2 (0) 7 C P X C ， 11 43 2 7 4 (1) 7

20、C C P X C ， 2 3 2 7 1 (2) 7 C P X C 高三数学试卷 第 11 页（共 14 页） 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的数学期望 2416 ()012 7777 E X 11 分 （）这种说法不正确理由如下： 由于样本具有随机性，故 1 ， 2 是随机变量，受抽样结果影响 因此有可能 1 更接近 0 ，也有可能 2 更接近 0 ， 所以 0102 | |不恒成立 所以这种说法不正确 14 分 （19） （本小题 14 分） 解： （）由题意可知 222 2 22 , 6 () 1 2 1, 2 , 2 abc ab c a 得

21、2 2b， 2 4a 所以椭圆C的方程为 22 1 42 xy 5 分 （）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为(4)yk x 由 (4), 10 yk x x 得 1, 3 . x yk 所以(1, 3 )Qk 由 22 (4), 24 yk x xy 得 22 2(4 )4xkxk. 整理得 2222 (1 2)16(324)0kxk xk. 高三数学试卷 第 12 页（共 14 页） 由 2 222 ( 16)4(1 2)(324)0 kkk，得 66 66 k 设直线l与椭圆C的交点 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 则 2 12 2 16 12 k xx k

22、 ， 2 12 2 324 12 k x x k . 因为APPB，AQQB且 11 (4,)APxy， 22 (4,)PBxy， 11 (1, 3)AQxky， 22 (1,3 )QBxyk， 所以 111212 2222 41(4)(1)(1)(4) 41(4)(1) xxxxxx xxxx 1212 22 5()28 (4)(1) xxx x xx . 因为 22 1212 22 16324 5()28528 1212 kk xxx x kk 222 2 806488 16 12 kkk k 0， 所以 0. 14 分 （20） （本小题 15 分） 解：（）（） 因为 ( )2sinc

23、osf xxxxax， 所以( )2cos(cossin )cossinfxxxxxaxxxa 因为曲线 ( )yf x在点(0,(0)f 处的切线的斜率为1， 所以(0)1 f ，即11a，故0a 经检验，符合题意 4 分 （) 由（）可知 ( )2sincosf xxxx，( )cossinfxxxx 设 ( )( )g xfx，则( )cosg xxx 令 ( )0g x ，又 )(0,x ，得 2 x 当(0,) 2 x时，( )0 g x ；当 ( ,) 2 x时，( )0 g x ， 高三数学试卷 第 13 页（共 14 页） 所以 ( )g x在 (0, ) 2 内单调递增，在

24、( ,) 2 内单调递减 又 (0)1g ， ( ) 22 g，() 1g ， 因此，当 (0, 2 x时，( ) (0)0g xg ，即( )0 fx ，此时 ( )f x在区间 (0, 2 上无极值 点； 当 ( ,) 2 x时，( ) 0g x 有唯一解 0 x，即( )0fx有唯一解 0 x， 且易知当 0 ( ,) 2 xx时，( )0 fx ，当 0 (,)xx时，( )0fx， 故此时 ( )f x在区间 ( ,) 2 内有唯一极大值点 0 x 综上可知， 函数 ( )f x在区间(0,)内有唯一极值点 10 分 （） 因为( )cossin fxxxxa，设( )( )h xf

25、x ，则( )cos h xxx 令( )0 h x ， 又 ( 0 , )x ， 得 2 x 且当 (0, ) 2 x时，( )0 h x ； 当 ( ,) 2 x时，( )0 h x ， 所以( ) f x在 (0, ) 2 内单调递增，在 ( ,) 2 内单调递减 当1a时，(0)10 fa ，( )0 22 fa，( )1 fa （1）当( )10 fa，即1 a时， ( )0fx 此时函数 ( )f x在(0,)内单调递增，( )(0)0f xf ； （2）当 ( )10 fa ，即11 a时，因为(0)10 fa ，( )0 22 fa， 所以， 在 (0, ) 2 内 ( )0f

26、x 恒成立， 而在区间 ( ,) 2 内( ) f x有且只有一个零点， 记为 1 x， 则函数 ( )f x在 1 (0,)x内单调递增，在 1 (,)x内单调递减 又因为 (0)0f ， ( )(1)0 fa ，所以此时 ( )0f x 由（1） （2）可知，当1a时，对任意 (0,)x ，总有 ( )0f x 15 分 （21） （本小题 14 分） 高三数学试卷 第 14 页（共 14 页） 解： （）2 A n；4 B n 4 分 （）不妨设 1234 0aaaa 因为 12342434 11 () 22 AA SaaaaaaaaS，所以 24 aa， 34 aa不能整除 A S 因

27、为( , )i j最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六种情况， 而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624 A n 当1,5,7,11A时，4 A n，所以 A n的最大值为4 9 分 （）假设 1234 0aaaaa 由（）可知，当 A n取到最大值4时， 12 aa， 13 aa， 14 aa， 23 aa均能整除 A S 因为 1423 1 max, 2 AA Saa aaS，故 1423 1 =max, 2 A Saa aa， 所以 1423 aaaa 设 12 uaa， 13 vaa，则u，v是 231 2()2(2 ) A Saauva的因数， 所以v是 1 2(2)ua的因数，且u是 1 2(2)va的因数 因为uv，所以 1 2(2 )22uauv， 因为v是 1 2(2)ua的因数，所以 1 24vua 因为u是 11 2(2)412vaua的因数，所以u是 1 12a的因数 因为 1 24uvua，所以 1 4ua，所以 1 66uaa，或 1 1212uaa 故 1111 ,5 ,7 ,11 Aaaaa，或 1111 ,11 ,19 ,29 Aaaaa 所以当 A n取到最大值4时， ,5 ,7 ,11 Aaaaa，或 ,11 ,19 ,29 Aaaaa 14 分