江苏省盐城市2020届高三第四次模拟考试数学试题含附加题（有答案解析）

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1、1 江苏省盐城市江苏省盐城市 20202020 届高三年级第届高三年级第四四次模拟考试次模拟考试数学试题数学试题 20206 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1若集合 Ax xm，B1x x ，且 ABm，则实数 m 的值为 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3i)10，则z的值为 3从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率 为 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布 直方图， 图中小矩形

2、从左向右所对应的区间依次为0， 50)， 50， 100)， 100， 150)， 150， 200)，200，250 若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售 量少于 100 个的天数为 天 5执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 第 4 题 第 5 题 6若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线为2yx ，则其离心率的值为 7若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 12，点 P 为棱 AA1上一点，则四棱锥 PBCC1B1的体 积为 8“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的 条 件 （选填“充分不必

3、要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 9在ABC 中，CB 4 ，AB 3 2 4 AC，则 tanB 的值为 10 若数列 n a的前n项和为 n S， 1 2( 1) (21) nn n an ， 则 1 0 01 0 0 2aS的值为 2 11若集合 P 22 ( , )40x y xyx，Q 2 ( , )15 x x y y ，则 PQ 表示的曲 线的长度为 12若函数 2 e , 0 ( ) e1, 0 x mx f x xx 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最 大值是 13在ABC 中，AB10，AC15，A 的平分线与边 BC 的交

4、点为 D，点 E 为边 BC 的 中点，若AB AD90，则AB AE的值是 14若实数 x，y 满足 4x24xy7y2l，则 7x24xy4y2的最小值是 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 若函数( )Msin()f xx(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期 是 2，且图象经过点 N( 3 ，1) （1）求( )f x的解析式； （2）在ABC 中，若 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f，求 cosC 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P

5、ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PCBC，点 E 是 PC 的中点，且 平面 PBC平面 ABCD求证： （1）求证：PA平面 BDE； （2）求证：平面 PAC平面 BDE 3 17 （本小题满分 14 分） 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1，l2，一自然景观的边界 近似为圆形，其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1，l2的距离相等，点 C 到点 O 的距离 约为 10 千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段 OC 上取一点 P， 新建一条道路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道路 PM，PN（M，N 为切点） ，同时 过

6、点 P 新建一条与 OP 垂直的道路 AB（A，B 分别在 l1，l2上） 为促进沿途旅游经济，新 建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值 （所有道路宽度忽略不计） 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，F1， F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2与 PQ 垂直 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点当直线 AB 过原点时，PF13PF2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH 的斜率依次为 1 k， 2

7、 k， 3 k， 4 k若 12 2 15 kk，求直线 PQ 的斜率；求 1234 ()()kkkk的最小值 4 19 （本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 n a满足 mnmn aka a恒成立，则称为 P(k)数列 （1）若数列 n a是 P(1)数列， 6 1a ， 12 3a，求 3 a； （2）若等差数列 n b是 P(2)数列，求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 P(k)数列 n c，使得 2020 c， 2021 c， 2022 c，是等比数列？若存在，请 求出所有满足条件的数列 n c；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分 16 分） 设函数

8、32 ( )3ln2f xxxaxax （1）若 a0 时，求函数( )f x的单调递增区间； （2）若函数( )f x在 x1 时取极大值，求实数 a 的取值范围； （3）设函数( )f x的零点个数为 m，试求 m 的最大值 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 5 已知矩阵 A 2 1 a b ，若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 ，求该矩阵 属于另一个特征值的特征向量 B选修 44：坐标系与参数方程 在

9、极坐标系中， 已知直线 l：cos2 sinm（m 为实数） ， 曲线 C：2cos 4sin，当直线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值 C选修 45：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足21xyz，求 222 xyz的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C： 2 2ypx(p0)的焦点为 F，过点 P(2，0)作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2 6 （1）求抛物线的方程； （2）若

10、APF 与BPO 的面积相等，求直线 l 的方程 23 （本小题满分 10 分） 若有穷数列 n a共有k项(k2)， 且 1 1a ， 1 2() 1 r r ark ar ， 当1rk1时恒成立 设 12kk Taaa （1）求 2 T， 3 T； （2）求 k T 江苏省盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 数学试题 20206 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 7 1若集合 Ax xm，B1x x ，且 ABm，则实数 m 的值为 答案：1 考点：集合交集运算 解析：集合

11、Ax xm，B1x x ，且 ABm， 实数 m 的值为1 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3i)10，则z的值为 答案：10 考点：复数 解析： 1010(3) 310 3(3)(3) i ziz iii 3从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率 为 答案： 3 4 考点：随机事件的概率 解析： 3 4 P 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布 直方图， 图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0， 50)， 50， 100)， 100， 150)， 150， 200)，200，250 若一个

12、月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售 量少于 100 个的天数为 天 答案：12 考点：频率分布直方图 解析：(0.0030.005) 50 3012 5执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 8 答案：4 考点：程序框图 解析：第一次：S3，k2； 第二次：S9，k3； 第三次：S18，k4；1816，故输出的 k 的值为 4 6若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线为2yx ，则其离心率的值为 答案：5 考点：双曲线的简单性质 解析：根据渐近线可判断2 b a ，从而 22 4ba，由 2222 5cbaa， 即 2 5e ，5e 7若三棱柱 A

13、BCA1B1C1的体积为 12，点 P 为棱 AA1上一点，则四棱锥 PBCC1B1的体 积为 答案：8 考点：棱柱棱锥的体积 解析： 1 11 11 1 11 11 1 11 1 1 1 3 P BCC BA BCC BABC A B CA A B CABC A B CABC A B C VVVVVV 1 1 1 22 128 33 ABC A B C V 8“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的 条 件 （选填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要 考点：充要性 解析：当2， 5 2 61

14、26 x ，故此时( )f x的图象关于点( 5 12 ，0)对称， 9 而当( )f x的图象关于点( 5 12 ，0)对称，则 5 126 k ， 122 5 k ，kZ， 故“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的充分不必 要条件 9在ABC 中，CB 4 ，AB 3 2 4 AC，则 tanB 的值为 答案：2 考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式 解析：由 AB 3 2 4 AC，得 3 23 2 sinsinsin()sin 444 CBBB ， 2232 c o ss i ns i n 224 BBB，化简得2coss

15、inBB， 所以 tanB 的值为 2 10 若数列 n a的前n项和为 n S， 1 2( 1) (21) nn n an ， 则 1 0 01 0 0 2aS的值为 答案：299 考点：数列的求和方法 解析： 99 100 22 (2199)a， 1 0 01 100 1242( 1 3)( 57)( 197 199)S 100 21 100 100100 100100 22398(21 100)299aS 11若集合 P 22 ( , )40x y xyx，Q 2 ( , )15 x x y y ，则 PQ 表示的曲 线的长度为 答案： 2 3 考点：直线与圆 解析： 2222 40(2

16、)4xyxxy， 2 ,2 22 15 15 215 ,2 15 x x xx y xy x ， 作出两曲线图像如下：此时 PQ 表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧 AB 部分， 10 直线1520yx与圆心的距离 22 1 15 1 d ，且 r2， ACB120， 曲线长度为： 1202 24 3603 12若函数 2 e , 0 ( ) e1, 0 x mx f x xx 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最 大值是 答案： 2 e1 考点：函数与方程 解析：题目可转化为函数 2 e1yx与exym图像在第一象限内有两个交点， 22 e1ee1 e xx xmmx ， 令

17、2222 ( )e1 e( )ee( )(2)e1e1 xx g xxg xg xgm 实数 m 的最大值是 2 e1 13在ABC 中，AB10，AC15，A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC 的 中点，若AB AD90，则AB AE的值是 答案：175 2 考点：平面向量的数量积 解析：由角平分线定理可知 323 255 ACCD ADACAB ABBD 22332 9 0()7 5 5555 A BA DA BA CA BA BA CA BA CA B 21111 7 5 () 2222 AB AEABABACABAB AC 14若实数 x，y 满足 4x24xy7y

18、2l，则 7x24xy4y2的最小值是 答案： 3 8 考点：不等式 解析： 22 22 22 744 744 447 xxyy xxyy xxyy ， 当 x0，原式的值为 4 7 ， 当 x0，令 2 2 2 744 (74)(44)470 447 ytt tmmtmtm xtt 11 2 438 ( 44 )4 ( 74 ) ( 47 )0 783 mmmmm 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 若函数( )Msin()f xx(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期 是

19、 2，且图象经过点 N( 3 ，1) （1）求( )f x的解析式； （2）在ABC 中，若 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f，求 cosC 的值 解： （1）因为( )f x的最小值是2，所以 M2 因为( )f x的最小正周期是 2，所以1， 又由( )f x的图象经过点( 3 ，1)，可得()1 3 f ， 1 sin() 32 ， 所以2 36 k 或 5 2 6 k ，kZ， 又 0，所以 2 ，故( )2sin() 2 f xx ，即( )2cosf xx （2）由（1）知( )2cosf xx，又 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f， 故 8 2cos 5

20、A ， 10 2cos 13 B ，即 4 cos 5 A ， 5 cos 13 B ， 又因为ABC 中，A，B(0，)， 所以 22 43 sin1 cos1 ( ) 55 AA， 22 512 sin1 cos1 () 1313 BB， 所以 cosCcos(AB)cos(AB)(cosAcosBsin AsinB) 4531216 () 51351365 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PCBC，点 E 是 PC 的中点，且 平面 PBC平面 ABCD求证： （1）求证：PA平面 BDE； （2）求证：平面 PAC平面 BDE 1

21、2 证明： （1）设 ACBDO，连结 OE， 因为底面 ABCD 是菱形，故 O 为 BD 中点，又因为点 E 是 PC 的中点， 所以 AP/OE，又因为 OE平面 BDE，AP平面 BDE， 所以 AP/平面 BDE （2）因为平面 PBC平面 ABCD，PCBC， 平面 PBC平面 ABCDBC，PC平面 PBC， 所以 PC平面 ABCD 又 BD平面 ABCD，所以 PCBD，ABCD 是菱形，ACBD， 又 PCBD，ACPCC，AC平面 PAC，PC平面 PAC， 所以 BD平面 PAC 又 BD平面 BDE，所以平面 PAC平面 BDE 17 （本小题满分 14 分） 如图，

22、在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1，l2，一自然景观的边界 近似为圆形，其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1，l2的距离相等，点 C 到点 O 的距离 约为 10 千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段 OC 上取一点 P， 新建一条道路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道路 PM，PN（M，N 为切点） ，同时 过点 P 新建一条与 OP 垂直的道路 AB（A，B 分别在 l1，l2上） 为促进沿途旅游经济，新 建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值 （所有道路宽度忽略不计） 解：连接 CM，设PCM，则 PC 1 cos

23、 ，PMPNtan， 13 OPOCPC10 1 cos ，AB2OP20 2 cos ， 设新建的道路长度之和为( )f， 则 3 ( )2tan30 cos fPMPNABOP 由 1PC10 得 1 10 1，设 0 1 cos 10 ， 0 (0， 2 )， 则(0， 0 ， 0 3 11 sin 10 ， 0 2 23cos () cos f ，令 0 ()0f得 2 sin 3 设 1 2 sin 3 ， 1 (0， 0 ， 0 ()f，( )f的情况如下表： (0， 1 ) 1 ( 1 ， 0 ) 0 ()f 0 ( )f 单调递增 单调递减 由表可知 1 时( )f有最大值，此

24、时 2 sin 3 ， 5 cos 3 ， 2 tan 5 ， ( )305f 答：新建道路长度之和的最大值为305千米 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，F1， F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2与 PQ 垂直 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点当直线 AB 过原点时，PF13PF2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH 的斜率依次为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k若 12 2 15 kk，求直线

25、 PQ 的斜率；求 1234 ()()kkkk的最小值 14 解： （1）因为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，所以 b1， 当直线 AB 过原点时，PQx 轴，所以PF1F2为直角三角形， 由定义知 PF1PF22a，而 PF13PF2，故 1 3 2 PFa， 2 1 2 PFa， 由 222 1212 PFPFFF得 22222 911 44(1) 444 aacaa，化简得 a22， 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （2） 设直线 PQ：(1)yk x， 代入到椭圆方程得： 2222 (1 2)4(22)0kxk xk， 设 P( 1 x， 1

26、y)，Q( 2 x， 2 y)，则 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k ， 所以 121221 12 1212 (1)(3)(1)(3) 33(3)(3) yyk xxxx kk xxxx ， 化简可得 12 2 22 8715 k kk k ， 解得：1k 或 7 8 k ，即为直线 PQ 的斜率 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， 1234 ()()0kkkk， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由知 12 2 2 87 k kk k ，同理可得 34 2 2 87 k kk k 故 2 1234 42 2 2 44 ()() 1 5656

27、113 56() 113 k kkkk kk k k 2 2 44 2251 56 2113k k ， 当且仅当 2 2 1 k k 即 k1 时取等号 综上， 1234 ()()kkkk的最小值为 4 225 19 （本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 n a满足 mnmn aka a恒成立，则称为 P(k)数列 （1）若数列 n a是 P(1)数列， 6 1a ， 12 3a，求 3 a； 15 （2）若等差数列 n b是 P(2)数列，求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 P(k)数列 n c，使得 2020 c， 2021 c， 2022 c，是等比数列？若存

28、在，请 求出所有满足条件的数列 n c；若不存在，请说明理由 解： （1）由数列 n a是 P(1)数列得 623 1aa a， 1226 3aa a，可得 3 1 3 a ； （2）由 n b是 P(2)数列知2 mnmn bb b恒成立，取 m1 得 1 2 nn bbb恒成立， 当 1 0b ，0 n b 时满足题意，此时0 n b ， 当 1 0b 时，由 2 11 2bb可得 1 1 2 b ，取 mn2 得 2 42 2bb， 设公差为 d，则 2 11 32() 22 dd解得0d 或者 1 2 d ， 综上，0 n b 或 1 2 n b 或 2 n n b ，经检验均合题意

29、（3）假设存在满足条件的 P(k)数列 n c， 不妨设该等比数列 2020 c， 2021 c， 2022 c，的公比为 q， 则有 2020 2020 2020 2020 202020202020202020202020 ckcccqkcc ， 可得 2020 2020 2020 2020 qkc 2020 2021 2020 2020 202120202021202020202020 ckcccqkccq ， 可得 2020 2021 2021 2020 qkc 综上可得 q1， 故 2020 20202020 cc ，代入 2020 20202020 2020 ckcc 得 2020

30、1 c k ， 则当 n 2020 时 1 n c k ， 又 2020120201 1 ckc cc k ， 当 1n2020 时，不妨设2020 i n ，iN 且 i 为奇数， 由， 而 1 i n c k ，所以 1 1 () ii n kc k ， 1 ()( ) ii n c k ， 1 n c k ， 16 综上，满足条件的 P(k)数列 n c有无穷多个，其通项公式为 1 n c k 20 （本小题满分 16 分） 设函数 32 ( )3ln2f xxxaxax （1）若 a0 时，求函数( )f x的单调递增区间； （2）若函数( )f x在 x1 时取极大值，求实数 a 的

31、取值范围； （3）设函数( )f x的零点个数为 m，试求 m 的最大值 解： （1）当 a0 时， 3 ( )3lnf xxx，所以 3 1 ( )3() x fx x 由( )0fx得 x1，当 x(0，1)时，( )fx0；当 x(1，)时，( )fx0， 所以函数( )f x的单调增区间为(1，) （2）由题意得 2 3(1)2 ( )(1)1 3 xa fxxx x ， 令 2 2 ( )(1)1 3 a g xxx(x0)，则 3(1) ( )( ) x fxg x x ， 当 2 1 3 a 0 即 3 2 a 时，( )g x0 恒成立，得( )f x在(0，1)上递减，在(1

32、，+) 上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 93 22 a时，此时( )g x0 恒成立，( )f x在(0，1) 上递减，在(1，+) 上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 9 2 a 或 3 2 a 时，易得( )f x在(0，1)上递减，在(1， +) 上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 时，解得 9 2 a 或 3 2 a （舍） ， 当 9 2 a 时， 设( )g x的两个零点为 1 x， 2 x， 所以 1 x 2 x1， 不妨设

33、0 1 x 2 x， 又 2 (1)30 3 a g，所以 0 1 x1 2 x，故 12 3 ( )()(1)()fxxxxxx x ， 当 x(0， 1 x)时，( )fx0；当 x( 1 x，1)时，( )fx0；当 x(1， 2 x)时，( )fx 0；当 x( 2 x，)时，( )fx0； 17 ( )f x在(0， 1 x)上递减，在( 1 x，1)上递增，在(1， 2 x)上递减，在( 2 x，)上递 增；所以 x1 是函数( )f x极大值点， 综上所述 9 2 a （3）由（2）知当 9 2 a 时，函数( )f x在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 故函数( )

34、f x至多有两个零点， 欲使( )f x有两个零点， 需(1)10fa ， 得1a ， 此时 32 ( )3ln23ln2f xxxaxaxxax ， 1 ( )3ln2fa a ， 当 ae 时， 1 ( )0f a ，此时函数( )f x在(0，1)上恰有 1 个零点； 又当 x2 时， 33 ( )3ln(2)3lnf xxxax xxx ， 由（1）知 3 ( )3lnxxx 在(1，)上单调递增， 所以 3 ( )30f ee ，故此时函数( )f x在(1，)恰有 1 个零点； 由此可知当 ae 时，函数( )f x有两个零点 当 9 2 a 时，由（2）知( )f x在(0， 1

35、 x)上递减，在( 1 x，1)上递增，在(1， 2 x) 上递减，在( 2 x，)上递增； 而 0 1 x1，所以 3 11111 ()3ln(2)0f xxxax x ， 此时函数( )f x也至多有两个零点 综上所述，函数( )f x的零点个数 m 的最大值为 2 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 2 1 a b ，若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 ，求该矩阵 属于另一个特征值的特征向

36、量 18 解：由题意知 211 3 111 a A b ，所以 23 13 a b ，即 1 2 a b ， 所以矩阵 A 的特征多项式 2 1 2 ( )(1)4 2 1 f ， 由( )0f，解得3或1， 当1时， 220 220 xy xy ，令 x1，则 y1， 所以矩阵 A 的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 1 1 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知直线 l：cos2 sinm（m 为实数） ， 曲线 C：2cos 4sin，当直线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值 解：由题意知直线 l 的直角坐标方程为 x2y m 0 ， 又曲线

37、C 的极坐标方程2cos4sin，即22cos4sin， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 240xyxy， 所以曲线 C 是圆心为(1，2)的圆， 当直线 l 被曲线 C 截得的弦长最大时，得 12 2m0，解得 m5 C选修 45：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足21xyz，求 222 xyz的最小值 解：由柯西不等式有 2222222 (112 )()(2 )1xyzxyz， 所以 222 1 6 xyz(当且仅当 112 xyz 即 1 6 xy， 1 3 z 时取等号)， 所以 222 xyz的最小值是 1 6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 2

38、0 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C： 2 2ypx(p0)的焦点为 F，过点 P(2，0)作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2 （1）求抛物线的方程； （2）若APF 与BPO 的面积相等，求直线 l 的方程 19 解： （1）当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2，又 P(2，0)，取 A(2，2 2)， 所以 2 (2 2)22p，解得2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx （2）由题意知 11 22 APFAA SFP yy ， 1 2 BPOBB SOP y

39、y ， 因 APFBPO SS ，所以2 AB yy 当0 AB k时，直线 AB 与抛物线不存在两个交点，所以0 AB k， 故设直线 AB 的方程为2xmy，代入抛物线方程得 2 480ymy， 所以4 AB yym，8 AB y y ， 当0 A y ，0 B y 时，2 AB yy ， 2 28 B y ， 所以2 B y ， 2 1 4 B B y x ， 所以2 PB k，直线 AB 的方程为240xy， 当0 A y ，0 B y 时，同理可得直线 AB 的方程为240xy， 综上所述，直线 AB 的方程为240xy 23 （本小题满分 10 分） 若有穷数列 n a共有k项(k

40、2)， 且 1 1a ， 1 2() 1 r r ark ar ， 当1rk1时恒成立 设 12kk Taaa （1）求 2 T， 3 T； （2）求 k T 解： （1）当2k 时，1r ，由 2 1 2(12) 1 1 1 a a ，得 2 1a ， 2 0S ， 20 当3k 时，1r 或2，由 2 1 2(1 3) 2 1 1 a a ，得 2 2a ， 由 3 2 2(23)2 2 13 a a ，得 3 4 3 a ， 3 1 3 S （2） 因 1 2 () 1 r r ark ar ， 由累乘法得 321 12 2(1) 2(2)2() 231 r r aaakkrk aaar ， 所以 1 (1) (2)()! ( 2)( 2) 231(1)!(1)! rr r kkkrk a rk rkr ， 所以 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ， 当0r 时， 1 1a 也适合 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ， 所以 1122 1 ( 2)( 2)( 2) 2 kk kkkk SCCC k ， 即 001122 1 ( 2)( 2)( 2)( 2)1 2 kk kkkkk SCCCC k ， 所以 11 (1 2)11 ( 1) 22 kk k S kk