2018-2019学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）（b卷）含详细解答

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1、设集合 AxN|2x2的真子集的个数是（ ） A8 B7 C4 D3 2 （5 分）sin15+cos165的值为（ ） A B C D 3 （5 分）已知，且，则向量 与向量 的夹角为（ ） A B C D或 4 （5 分）若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是（ ） A6 B7 C8 D9 5 （5 分）已知实数 a，b 满足等式 2017a2018b，下列关系式不可能成立的是（ ） A0ab Bab0 C0ba Dab 6（5 分） 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截， 截面是一个椭圆， 则该椭圆的焦距等于（ ） A B

2、 C2 D4 7 （5 分）已知 x0，y0，lg2x+lg8ylg2，则的最小值是（ ） A2 B2 C4 D2 8 （5 分）为了得到函数 ysin2x 的图象，可以将函数的图象（ ） A向右平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向左平移个单位 9 （5 分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交 于 A，B 两点，若OAB 的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 第 2 页（共 21 页） 10 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，Sn为其前 n 项和，若 a2，a3，a6成等比数列， 且 a45，则的最小值是（ ） A B C D 11

3、 （5 分）如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA， CC的中点，过直线 E，F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M，N，设 BMx，x0， 1，给出以下四个命题： 平面 MENF平面 BDDB； 当且仅当 x时，四边形 MENF 的面积最小； 四边形 MENF 周长 Lf（x） ，x0，1是单调函数； 四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x）为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ） A B C D 12 （5 分）非零向量 ， 的夹角为，且满足| | |（0） ，向量组，由 一个和两个排列而成，向量组，由两个和一个排列而成，若 所有可能值中的最小值为 4，则

4、（ ） A1 B3 C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡上分，将答案填在答题卡上) 13 （5 分）曲线 y2ln（x+2）在点（1，0）处的切线方程为 14 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC、ACD、ABD 的面积分别为、，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 15 （5 分）已知锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2a（a+c） ， 第 3 页（共 21 页） 则的取值范围是 16 （5 分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两

5、个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定 义： 能够将圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的 “优美函数” ， 给出下列命题： 对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个； 函数 f（x）ln（x2）可以是某个圆的“优美函数” ； 函数 y1+sinx 可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 y2x+1 可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 yf（x）是“优美函数”的充要条件为函数 yf（x）的图象是中心对称图形 其中正确的命题是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤

6、分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）解关于 x 的不等式：ax2+（1a）x10（a0） 18 （12 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A， 为常数，且 A0，0，0） 的部分图象如图所示 （1）求 A， 的值； （2）设 为锐角，且 f（），求 f（）的值 19 （12 分）已知数列an的首项为 a11，且 （）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设 bnlog2（an+2）log23，求数列的前 n 项和 Ta 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，AD A

7、P4，ABBC2，M 为 PC 的中点点 N 在线段 AD 上 （1）点 N 为线段 AD 的中点时，求证：直线 PA面 BMN； （2）若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求二面角 CBMN 所成角 的余 弦值 21 （12 分）已知以椭圆 C：1（ab0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的 三角形为等腰直角三角形， 直线 x+y+10 与以椭圆 C 的右焦点为圆心， 椭圆的长半轴长 为半径的圆相切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）矩形 ABCD 的两顶点 C、D 在直线 yx+2 上，A、B 在椭圆 C 上，若矩形 ABCD 的 周长为，求直线 AB 的方程 22 （12 分）

8、已知函数 f（x）lnx+1，aR （1）当 a0 时，若函数 f（x）在区间1，3上的最小值为，求 a 的值； （2）讨论函数 g（x）f（x）零点的个数 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科） （B 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求有且只有一项符合题目要求 1 （5 分）设集合 AxN|2x2

9、的真子集的个数是（ ） A8 B7 C4 D3 【分析】先求出集合 A0，1，由此能求出集合 A 的真子集的个数 【解答】解：集合 AxN|2x20，1， 集合 A 的真子集的个数是：2213 故选：D 【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 2 （5 分）sin15+cos165的值为（ ） A B C D 【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为 sin15cos15sin（4530）cos （4530） ，再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果 【解答】 解： sin15+cos165sin15cos15sin （453

10、0） cos （4530） sin45cos30cos45sin30cos45cos30sin45sin30 ， 故选：B 【点评】本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，以及诱导公式的应用，属于 中档题 3 （5 分）已知，且，则向量 与向量 的夹角为（ ） A B C D或 【分析】根据便可得出，结合条件进行数量积的运算即可求出 第 6 页（共 21 页） 的值，进而得出向量的夹角 【解答】解：； 0； ； 又； 的夹角为 故选：C 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围 4 （5 分）若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到

11、 y 轴的距离是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可 【解答】解：抛物线 y24x 的准线方程为：x1，抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的 距离为 10， 可得 xM9，则 M 到 y 轴的距离是：9 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 5 （5 分）已知实数 a，b 满足等式 2017a2018b，下列关系式不可能成立的是（ ） A0ab Bab0 C0ba Dab 【分析】分别画出 y2017x，y2018x，根据实数 a，b 满足等式 2017a2018b，即可得 出 【解答】解：分别画出 y2017x

12、，y2018x， 实数 a，b 满足等式 2017a2018b， 可得：ab0，ab0，ab0 而 0ab 不成立 故选：A 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 6（5 分） 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截， 截面是一个椭圆， 则该椭圆的焦距等于（ ） A B C2 D4 【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可 【解答】 解： 因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 60的平面所截， 其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为 b：bR2，长轴为：2a，则 2a

13、cos602R4，a4 a2b2+c2，c2， 椭圆的焦距为 4； 故选：D 【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力 7 （5 分）已知 x0，y0，lg2x+lg8ylg2，则的最小值是（ ） A2 B2 C4 D2 【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出 【解答】解：lg2x+lg8ylg2，lg（2x8y）lg2，2x+3y2，x+3y1 x0，y0，2+4，当且仅 当 x3y时取等号 第 8 页（共 21 页） 故选：C 【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键 8 （5 分）为了得到函数 ysin2x 的图象，可

14、以将函数的图象（ ） A向右平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向左平移个单位 【分析】利用逆推方法求出函数 ysin2x 的图象，变换为函数的图象的 方法，即可得到正确选项 【解答】解：函数 ysin2x 的图象，变换为函数的 图象，只需向右平移个单位， 所以为了得到函数 ysin2x 的图象， 可以将函数的图象， 向左平移个 单位 故选：D 【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，注意图象变换的逆应用注意 自变量的系数与方向 9 （5 分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交 于 A，B 两点，若OAB 的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A

15、 B C D 【分析】令 xc，则代入 yx 可得 y，根据OAB 的面积为，求出 双曲线的离心率即可 【解答】解：F 为右焦点，设其坐标为（c，0） ， 令 xc，则代入 yx 可得 y， OAB 的面积为， ， ， 第 9 页（共 21 页） e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题 10 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，Sn为其前 n 项和，若 a2，a3，a6成等比数列， 且 a45，则的最小值是（ ） A B C D 【分析】据题意，由等差数列的通项公式可得（a1+2d）2（a1+d） （a1+5d） ，解可得 a1、 d 的值

16、，进而讨论可得 a1、d 的值，即可得，令且， 求出 n 即可求出最小值 【解答】解：等差数列an的公差 d0，a2，a3，a6成等比数列，且 a45， （a1+2d）2（a1+d） （a1+5d） ，a4a1+3d5 解得 d2，a11， 当 d2 时，Snn+n2+2n， 则， 令且， 解可得 2+n3+， 即 n4 时，取得最小值，且； 故选：A 【点评】本题考查等差数列的第 n 项与前 n 项和的积的最小值的求法，是中档题，解题 时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用 11 （5 分）如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA， CC的中点，过

17、直线 E，F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M，N，设 BMx，x0， 1，给出以下四个命题： 平面 MENF平面 BDDB； 第 10 页（共 21 页） 当且仅当 x时，四边形 MENF 的面积最小； 四边形 MENF 周长 Lf（x） ，x0，1是单调函数； 四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x）为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ） A B C D 【分析】利用面面垂直的判定定理去证明 EF平面 BDDB四边形 MENF 的对角 线 EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需 MN 的长度最小即可判断周长的变化 情况求出四棱锥的体积，进行判断 【解答】解：连结 BD，BD，则由正方

18、体的性质可知，EF平面 BDDB，所以平面 MENF平面 BDDB，所以正确 连结 MN，因为 EF平面 BDDB，所以 EFMN，四边形 MENF 的对角线 EF 是固定 的，所以要使面积最小，则只需 MN 的长度最小即可，此时当 M 为棱的中点时，即 x 时，此时 MN 长度最小，对应四边形 MENF 的面积最小所以正确 因为 EFMN，所以四边形 MENF 是菱形当 x0，时，EM 的长度由大变小当 x，1时，EM 的长度由小变大所以函数 Lf（x）不单调所以错误 连结 CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 CEF 为底，以 M，N 分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 C

19、EF 的面积是个常数M，N 到平面 CEF 的距 离是个常数，所以四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x）为常函数，所以正确 所以四个命题中假命题 所以选 C 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧 妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题 能力要求较高 12 （5 分）非零向量 ， 的夹角为，且满足| | |（0） ，向量组，由 一个和两个排列而成，向量组，由两个和一个排列而成，若 所有可能值中的最小值为 4，则 （ ） A1 B3 C D 【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根

20、据最小值列出不等式组解出 【解答】解： | | |cos 2，222 向量组， 共有 3 种情况，即（ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） 向量组 ，共有 3 种情况，即（ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） +所有可能值中的最小值为 4 2， 或， 解得 ， 故选：C 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡上分，将答案填在答题卡上) 13 （5 分）曲线 y2ln（x+2）在点（1，0）处的切线方程为 2xy+20 【分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由

21、点斜式方程可得所求切线方程 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：y2ln（x+2）的导数为 y， 可得切线的斜率为 k2， 即有曲线在（1，0）处的切线方程为 y2（x+1） ， 即 2xy+20 故答案为：2xy+20 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题 14 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC、ACD、ABD 的面积分别为、，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 8 【分析】利用三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个， 长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对

22、角线长，即可求解外接 球的体积 【解答】解：三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外 接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的三边为 a，b，c，则由题意得：ab4，ac4，bc4， 解得：a2，b2，c2， 所以球的直径为：2 所以球的半径为， 所以三棱锥 ABCD 的外接球的体积为8 故答案为：8 【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一 个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在 15 （5 分）已知锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2a（a+c） ， 则

23、的取值范围是 （，） 【分析】由 b2a（a+c）利用余弦定理，可得 ca2acosB，正弦定理边化角，在消去 C，可得 sin（BA）sinA，利用三角形 ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限， 可得的取值范围 【解答】解：由 b2a（a+c） 第 13 页（共 21 页） 余弦定理，可得 ca2acosB 正弦定理边化角，得 sinCsinA2sinAcosB A+B+C sin（B+a）sinA2sinAcosB sin（BA）sinA ABC 是锐角三角形， BAA，即 B2A 0B，A+B， 那么：A 则sinA（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内

24、角和定理的运用，考查运算能力，属于基础 题 16 （5 分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两 个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定 义： 能够将圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的 “优美函数” ， 给出下列命题： 对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个； 函数 f（x）ln（x2）可以是某个圆的“优美函数” ； 函数 y1+sinx 可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 y2x+1 可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 yf（x）是“优美函数”的充要条件为函数 yf（x）的图象是中心对称图形

25、 其中正确的命题是 【分析】根据优美函数” ，定义依次判断各命题即可得出答案； 【解答】解：对于任意一个圆 O，其过圆心的对称轴由无数条，所以其“优美函数” 有无数个； 第 14 页（共 21 页） 函数 f（x）ln（x2）的定义域为 R，值域为（0，）不可以是某个圆的“优 美函数” ； 函数 y1+sinx，根据 ysinx 的图象可知可以将圆分成优美函数，图象可以延伸， 所以可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 y2x+1 只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美函数” ； 函数 yf（x）是“优美函数”的充要条件为函数 yf（x）的图象是中心对称图形， 不对，有些中心对称图形不一

26、定是“优美函数” ，比如“双曲线” ； 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称性，正确理解新定义是解答的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）解关于 x 的不等式：ax2+（1a）x10（a0） 【分析】把二次项的系数变为大于 0，进而分类讨论可求出不等式的解集 【解答】解：ax2+（1a）x10 可得（ax+1） （x1）0， 即（x+） （x1）0， 当1 时，即 a1 时，不等式的解为x1， 当1 时，即1a0，不等式的解为 1x， 当1

27、 时，即 a1 时，不等式的解集为空集， 故当 a1 时，不等式的解集为（，1） ， 当1a1 时，不等式的解为（1，） ， 当 a1 时，不等式的解集为空集 【点评】对 a 正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键 18 （12 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A， 为常数，且 A0，0，0） 的部分图象如图所示 （1）求 A， 的值； （2）设 为锐角，且 f（），求 f（）的值 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）由图象可得 A，最小正周期 T，利用周期公式可求 ，由， 得，kZ，结合范围 0，可求 的值 （ 2 ） 由 已 知 可 求， 由， 结 合 ，

28、可得范围，利用同角三角函数基本关系式 可求 cos（2+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 14 分） 解： （1）由图象，得，（2 分） 最小正周期， ，（4 分） ， 由，得，kZ， ，kZ， 0， （7 分） （2）由，得， ， ， 又， ， 第 16 页（共 21 页） ，（10 分） （14 分） 【点评】本题主要考查了 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，周期公式，同角 三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 19 （12 分）已知数列an的首项为 a11，且 （）证明：数列an+2是等比数

29、列，并求数列an的通项公式； （）设 bnlog2（an+2）log23，求数列的前 n 项和 Ta 【分析】 （）an+12（an+1） ，变形为：an+1+22（an+2） ，利用等比数列的通项公式 即可得出 （）由（）知，利 用错位相减法即可得出 【解答】 （）证明：an+12（an+1） ， an+1+22（an+2） ， 则数列an+2是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列， ，即 （）解：由（）知， ， ， 第 17 页（共 21 页） ， 则 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥

30、PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，AD AP4，ABBC2，M 为 PC 的中点点 N 在线段 AD 上 （1）点 N 为线段 AD 的中点时，求证：直线 PA面 BMN； （2）若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求二面角 CBMN 所成角 的余 弦值 【分析】 （1）连结点 AC，BN，交于点 E，连结 ME，推导出四边形 ABCN 为正方形，由 此能证明直线 PA平面 BMN （2）分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面 PBC 与平面 BMN 所成角 的余弦值 【解答】证明： （1）连结点 AC，BN，交于点 E

31、，连结 ME， 点 N 为线段 AD 的中点，AD4， AN2，ABCBAD90，ABBC2， 四边形 ABCN 为正方形，E 为 AC 的中点， MEPA， PA平面 BMN，直线 PA平面 BMN 解： （）PA平面 ABCD，且 AB，AD平面 ABCD， PAAB，PAAD， 第 18 页（共 21 页） BAD90，PA，AB，AD 两两互相垂直， 分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则由 ADAP4，ABBC2，得： B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，P（0，0，4） ， M 为 PC 的中点，M（1，1，2） ， 设 AN，则 N（0，0）

32、， （04） ，则（1，1，2） ， （0，2，0） ，（2，0，4） ， 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ， 直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，|cos| 解得 1，则 N（0，1，0） ，（2，1，0） ，（1，1，2） ， 设平面 BMN 的法向量 （x，y，z） ， x+y+2z0，2x+y0，令 x2，得 （2，4，1） ， cos 平面 PBC 与平面 BMN 所成角 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题 时要认真审题，注意向量法的合理运用 第 19 页（共 21 页） 21 （12 分）已知以椭圆 C：1

33、（ab0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的 三角形为等腰直角三角形， 直线 x+y+10 与以椭圆 C 的右焦点为圆心， 椭圆的长半轴长 为半径的圆相切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）矩形 ABCD 的两顶点 C、D 在直线 yx+2 上，A、B 在椭圆 C 上，若矩形 ABCD 的 周长为，求直线 AB 的方程 【分析】 （1）由两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，得出 bc， 于是得出，然后利用圆心到直线的距离等于圆的半径列出等式，并代入关 系式可得出 a、b、c 的值，即可得出椭圆 C 的方程； （2）根据矩形对边互相平行，设直线 AB 的方程为 yx+m，并设点

34、A（x1，y1） 、B（x2， y2） ，将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，由0 得出 m 的取值范围，列出韦达定 理，利用弦长公式得出|AB|的表达式，利用两平行直线的距离公式得出直线 AB 和 CD 的 距离，即为|BC|，再由|AB|+|BC|列出有关 m 的方程，即可求出 m 的值，于是可 得出直线 AB 的方程 【解答】解： （1）由题意知，以椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆的方 程为（xc）2+y2a2， 圆心到直线 x+y+10 的距离， 以椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形， 所以，bc，代入式得 bc1， 因此，所求椭圆

35、的方程为； （2）设直线 AB 的方程为 yx+m，代入椭圆 C 的方程，整理得 3x2+4mx+2m220， 由0，得， 设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则， ，易知， 则由知， 第 20 页（共 21 页） 所以，由已知可得，即， 整理得 41m2+30m710，解得 m1 或， 所以，直线 AB 的方程为 yx+1 或 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，考查了弦长公式与距离公 式，考查计算能力，属于中等题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx+1，aR （1）当 a0 时，若函数 f（x）在区间1，3上的最小值为，求 a 的值； （2）讨论函数 g

36、（x）f（x）零点的个数 【分析】 （1）首先求解导函数，然后分类讨论求解实数 a 的值即可； （2）首先求解导函数，然后进行二次求导，结合二阶导函数的解析式讨论函数的零点个 数即可 【解答】解： （1）， 当 0a1 时，f （x）0 在（1，3）上恒成立，这时 f（x）在1，3上为增函数， f（x）minf（1）a1，令 得 （舍去） ， 当 1a3 时，由 f （x）0 得，xa（1，3） ， 若 x（1，a） ，有 f （x）0，f（x）在1，a上为减函数， 若 x（a，3）有 f （x）0，f（x）在a，3上为增函数， f （x）minf（a）lna，令，得 当 a3 时，f （x）

37、0 在（1，3）上恒成立，这时 f（x）在1，3上为减函数， ，令 得 a43ln32（舍去） 综上知， （2）函数 ， 令 g（x）0，得 设， 第 21 页（共 21 页） 当 x（0，1）时，（x）0，此时 （x）在（0，1）上单调递增， 当 x（1，+）时， （x）0，此时 （x）在（1，+）上单调递减， 所以 x1 是 （x）的唯一极值点，且是极大值点，因此 x1 也是（x）的最大值点， （x）的最大值为 又 （0）0，结合 （x）的图象可知： 当 时，函数 g（x）无零点； 当 时，函数 g（x）有且仅有一个零点； 当 时，函数 g（x）有两个零点； a0 时，函数 g（x）有且只有一个零点； 综上所述，当 时，函数 g（x）无零点；当 或 a0 时，函数 g（x）有且仅 有一个零点； 当 时，函数 g（x）有两个零点 【点评】点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的零点个数，分类 讨论的数学思想等知识，属于中等题