2019-2020学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高三（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知全集为 R，集合 AxR|x22x0，集合 Bx|lnx10，则（RA） B（ ） A0，2 B （0，2 C0，e D （0，e 2 （4 分）若点 M（sin，cos）在角 的终边上，则 cos2（ ） A B C D 3 （4 分）已知平面向量（2，1） ，（3t，3） ，若，则|（ ） A2 B20 C D2 4 （4 分）已知函数 f（x），则 f（1+log34）（ ） A144 B C D36 5 （4 分）若先将函数 y2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点 的纵坐标不变横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，则 g（） （ ） A1 B

2、 C D 6 （4 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （4 分）已知 cos（），则 sin（2）（ ） A B C D 8 （4 分）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A 内有一条直线与 垂直 B 内有一条直线与 内两条直线垂直 C 与 均与同一平面垂直 D 与 均与同一直线垂直 9 （4 分）若函数 f（x）sin2xsin+2cos2xcoscos（0）的一个极大值点为， 则 （ ） A0 B C D 10 （4 分）英国数学家泰勒发现了如下公式：cosx1+ +，则下列数值更接近 cos0.4 的是（ ） A0.91 B

3、0.92 C0.93 D0.94 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小给出的四个选项中，有分在每小给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）下列结论正确的是（ ） A若 a2b2，则 B若 x0，则 x+4 C若 ab0，则 lgalgb D若 ab0，a+b1，则4 12 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列直线或平面与平面 ACD1平行的有（ ） A直线 A

4、1B B直线 BB1 C平面 A1DC1 D平面 A1BC1 13 （4 分）若函数 f（x）ex1 与 g（x）ax 的图象恰有一个公共点，则实数 a 可能取 第 3 页（共 21 页） 值为（ ） A2 B1 C0 D1 三、填空题，本大题共三、填空题，本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）声强级 L1（单位：dB）由公式 L110lg（）给出，其中 I 为声强（单位： W/m2） （1）平时常人交谈时的声强约为 10 6W/m2，则其声强级为 dB （2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1W/m2，能听到的最低声为 10 12W/m2

5、，则正 常人听觉的声强级范围为 dB 15 （4 分） 已知等差数列an满足：a2+a3a55， 且 nN*，则数列sin （） 的前 2019 项和等于 16（4 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB， ABC 的面积 S，则 c 的取值范围为 17 （4 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAPBPC 2，则三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径比为 四、解答题共四、解答题共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或

6、演算步骤 18 （12 分）在ABC 中，E，F 分别为线段 BC，AC 上的点，EFAB，AB3，EF2， AE2，BAC （1）求EAC； （2）求 BC 的长度 19 （14 分）如图，在四棱 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 为梯形 ABCD，ABBC，AB2， PAPDCDBC1，平面 PAD平面 ABCD，E 为 AD 的中点 （1）求证：PABD； （2）在线段 AB 上是否存在一点 G，使得直线 BC平面 PEG？若存在，请证明你的结 论；若不存在，请说明理由； 20 （14 分）已知数列an满足：a110，an+1an2，bnlgan，cnlog2bn，nN* 第 4 页

7、（共 21 页） （1）证明：数列bn为等比数列； （2）证明：数列cn为等差数列； （3）若数列的前 n 项和为 Sn，数列cn的前 n 项和为 Tn，数列的前 n 项和为 Wn，证明：WnSn 21 （14 分）图 1 是由菱形 ABCD，平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形， 其中 AB，BEEH1，ABC，ABE，将其 AB，EF 折起使得 CD 与 HG 重合，如图 2 （1）证明：图 2 中的平面 BCE平面 ABEF； （2）求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离； （3）求图 2 中二角 EABC 的余弦值 22 （14 分）已知函数 f（x）alnx

8、x+1（aR） （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 f（x）0，求 a 的值 23 （14 分）已知自变量为 x 的函数 fn（x）n（lnxlnn）+1 的极大值点为 x Pn，nN*，e2.718为自然对数的底数 （1）若 n1，证明：f1（x）有且仅有 2 个零点； （2）若 x1，x2，x3，xn为任意正实数，证明：4 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高三（上）期中学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高三（上）期中 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小

9、题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的、只有一项是符合题目要求的、 1 （4 分）已知全集为 R，集合 AxR|x22x0，集合 Bx|lnx10，则（RA） B（ ） A0，2 B （0，2 C0，e D （0，e 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行补集、并集的运算即可 【解答】解：Ax|x0 或 x2，Bx|lnx1x|0xe， RAx|0x2， （RA）B0，e 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性， 补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题

10、2 （4 分）若点 M（sin，cos）在角 的终边上，则 cos2（ ） A B C D 【分析】 由点 M 的坐标求得点 M 到坐标原点的距离， 再由任意角的三角函数的定义求得 sin，然后利用二倍角公式求 cos2 【解答】解：点 M（sin，cos）（，）在角 的终边上， r|OM|1， sin cos2 故选：B 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式，是 基础题 3 （4 分）已知平面向量（2，1） ，（3t，3） ，若，则|（ ） 第 6 页（共 21 页） A2 B20 C D2 【分析】根据列方程求出 t 的值，再求向量和|的值 【解答】解：

11、平面向量（2，1） ，（3t，3） ， 若，231（3t）0， 解得 t2； 则（4，2） ， 所以|2 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算问题，也考查了向量模长计算问题， 是基础题 4 （4 分）已知函数 f（x），则 f（1+log34）（ ） A144 B C D36 【分析】推导出 f（1+log34）f（2+log34）4（），由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（1+log34）f（2+log34）4（） 4（） 故选：C 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 5 （4 分）若先将函数 y2sin（2x

12、+）的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点 的纵坐标不变横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，则 g（） （ ） A1 B C D 第 7 页（共 21 页） 【分析】利用 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用特殊角的 三角函数值求解即可 【解答】解：将函数 y2sin（2x+）的图象向左平移个单位， 所得图象的解析式为：y2sin2（x+）+2sin（2x+ ） ， 再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到：g（x）2sin（x+） ， 则 g（）2sin（+）2sin 故选：C 【点评】本题主要考查 yAsin（x+）

13、的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题 6 （4 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】先求出函数的定义域，利用 f（0）0，以及极限思想进行排除即可 【解答】解：由得得 x2，即函数的定义域为x|x2， 排除 C， f（0）0，排除 B， 当 x+，f（x）0，排除 D， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域，函数值以及极限思想进行 排除是解决本题的关键，比较基础 第 8 页（共 21 页） 7 （4 分）已知 cos（），则 sin（2）（ ） A B C D 【分析】由已知求得 sin（），再由 sin（2）sin（） cos2（）

14、 ，展开二倍角的余弦得答案 【解答】解：cos（）， sin（）， sin（2）sin（） sin（）cos（）cos2（） 2 故选：D 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是中档题 8 （4 分）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A 内有一条直线与 垂直 B 内有一条直线与 内两条直线垂直 C 与 均与同一平面垂直 D 与 均与同一直线垂直 【分析】由面面垂直的判定定理可知，一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互 垂直垂直，即可得答案 【解答】解：由面面垂直的判定定理可知，一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面 相互垂直垂直， 故选：A 【点评】

15、本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面之间的位置关 系是解决本题的关键 9 （4 分）若函数 f（x）sin2xsin+2cos2xcoscos（0）的一个极大值点为， 则 （ ） A0 B C D 第 9 页（共 21 页） 【分析】利用倍角公式及两角差的余弦把已知函数解析式变形，结合 f（x）的一个极大 值点为，可得2k，kZ再由 的范围求解 【解答】解：f（x）sin2xsin+2cos2xcoscos sin2xsin+（1+cos2x）coscos sin2xsin+cos2xcos cos（2x） f（x）的一个极大值点为，2k，kZ ，kZ， 又 0， 故选：D

16、 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性 质，是基础题 10 （4 分）英国数学家泰勒发现了如下公式：cosx1+ +，则下列数值更接近 cos0.4 的是（ ） A0.91 B0.92 C0.93 D0.94 【分析】根据题意可得展开式，分 n 为奇数和偶数判断即可求出 【解答】解：由题意，cosx1+（1）1+（1）2+（1）3 +（1）n 只需要精确到 0.01 即可， 当 n 为奇数时， 由于 110.080.92， 0， cos0.41+0.92 当n为偶数时，1+0.921， 第 10 页（共 21 页） +0， cos0.41+ +0.9

17、21， 综上所述 cos0.40.92 故选：B 【点评】本题考查了新定义的应用，关键找到规律，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小给出的四个选项中，有分在每小给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）下列结论正确的是（ ） A若 a2b2，则 B若 x0，则 x+4 C若 ab0，则 lgalgb D若 ab0，a+b1，则4 【分析】判断一个命题正误可以举出反例

18、，也可以根据不等式的性质追一加以判断，得 出答案 【解答】解：A 错，当 a3，b1 时，a2b2，但 B 对，当 x0 时，由基本不等式得 （当且仅当 即 x2 时，取 “” ） C 对，ylgx 是增函数，当 ab0，则 lgalgb； D 对，若 ab0，则或， 又a+b1， a0 且 b0， 所以 （） （a+b） 1+12+ （当且仅当， 第 11 页（共 21 页） 即 ab 时，取“” ） 故选：BCD 【点评】本题属于基础题，注意对不等式性质的掌握，以及基本不等式的应用 12 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列直线或平面与平面 ACD1平行的有（ ） A直线

19、A1B B直线 BB1 C平面 A1DC1 D平面 A1BC1 【分析】利用线线、线面、面面平行的判定定理逐项判断即可得解 【解答】解：对于 A，由于 A1BD1C，且 A1B平面 ACD1，可得直线 A1B平面 ACD1； 对于 B，由于 B1BD1D，且 D1D平面 ACD1D1，可得直线 B1B 不平行平面 ACD1； 对于 C，由于 A1DAD1，A1D平面 A1DC1，可得平面 A1DC1不与平面 ACD1平行； 对于 D，由于 A1BD1C，C1BD1A，A1B，C1B平面 A1BC1，可得平面 A1BC1平面 ACD1 故选：AD 【点评】本题考查空间中的线线、线面、面面平行的判

20、定定理的应用，是综合题 13 （4 分）若函数 f（x）ex1 与 g（x）ax 的图象恰有一个公共点，则实数 a 可能取 值为（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求 函数 f（x）ex1 过原点的切线 【解答】解：函数 f（x）ex1 的导数为 f（x）ex； 所以过原点的切线的斜率为 k1； 则过原点的切线的方程为：yx； 所以当 a1 时，函数 f（x）ex1 与 g（x）ax 的图象恰有一个公共点； 故选：BCD 【点评】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题 第 12 页（共 21 页）

21、三、填空题，本大题共三、填空题，本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）声强级 L1（单位：dB）由公式 L110lg（）给出，其中 I 为声强（单位： W/m2） （1）平时常人交谈时的声强约为 10 6W/m2，则其声强级为 606 dB （2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1W/m2，能听到的最低声为 10 12W/m2，则正 常人听觉的声强级范围为 0，1212 dB 【分析】 （1）把 I10 6 代入 L110lg（）计算即可； （2）分别把 I1，I10 12 代入公式计算即可得出答案 【解答】解： （1）把 I10 6 代入

22、 L110lg（）得： L1101lg106606 （2）把 I1 代入公式可得 L1101lg10121212， 把 I10 12 代入公式可得 L1101lg10， 故答案为： （1）606， （2）0，1212 【点评】本题考查了对数运算，属于基础题 15 （4 分） 已知等差数列an满足：a2+a3a55， 且 nN*，则数列sin （） 的前 2019 项和等于 0 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的周期，进一步求出数列的和 【解答】解：设首项为 a1，公差为 d 的等差数列， 由于 a2+a3a55， 所以，解得， 所以 ana1+n1n， 所以 bn， 则 b11，

23、b2sin0，b4sin20， 所以数列的周期为 4， 所以 20195044+3， 所以 S20195040+b1+b2+b30 故答案为：0 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，数 列的和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16（4 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB， ABC 的面积 S，则 c 的取值范围为 2，+） 【分析】由已知利用三角形的面积公式可得 2csinC，由正弦定理化简已知等式

24、可得 a2+b2c2+ab，由余弦定理得 cosC，即可得解 C 的值 【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB，由正弦定理得 a2+b2c2+ab， 由余弦定理得 cosC， 由 C（0，） ，可得 C ABC 的面积 SabsinCab， ab4， 由 c2a2+b2 ab2ababab4， 所以 c2， 故答案为：2，+） 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换 的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 17 （4 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两互相

25、垂直，且 PAPBPC 2，则三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径比为 【分析】设三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径分别 R，r根据勾股定理、三棱锥 的体积计算公式列出方程，解出即可得出 【解答】解：设三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径分别 R，r 则（2R）2322，r（3+）， 解得：R，r 故答案为： 【点评】本题考查了三棱锥的外接球与内切球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公 第 14 页（共 21 页） 式、长方体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 四、解答题共四、解答题共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步

26、骤 18 （12 分）在ABC 中，E，F 分别为线段 BC，AC 上的点，EFAB，AB3，EF2， AE2，BAC （1）求EAC； （2）求 BC 的长度 【分析】 （1）由已知可得EFA，在AEF 中由正弦定理， 可求 sinEAC，进而可求EAC 的值 （2）由（1）及已知可求可得AEFEAC，可求 AF2，利用平行线分线段成 比例可求 FC，进而可求 AC 的值，从而在ABC 中利用余弦定理可求 BC 的值 【解答】解： （1）EFAB，AB3，BAC， EFC，可得EFA， 在AEF 中，AE2，EF2，由正弦定理，可得 ， sinEAC， EAC （2）AEF 中，EAC，EF

27、A，可得AEFEAC， AFEF2， EFAB，可得，解得 FC4，AC6， 又ABC 中，AB3，BAC， 由余弦定理可得 BC2AB2+AC22ABACcosBAC9+36227，可 得 BC3 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查了正弦定理，平行线分线段成比例，余弦定理等知识在解三角形 中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （14 分）如图，在四棱 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 为梯形 ABCD，ABBC，AB2， PAPDCDBC1，平面 PAD平面 ABCD，E 为 AD 的中点 （1）求证：PABD； （2）在线段 AB 上是否存在一点 G

28、，使得直线 BC平面 PEG？若存在，请证明你的结 论；若不存在，请说明理由； 【分析】 （1）取 AB 的中点 F，连接 DF，证明四边形 BCDF 是平行四边形，也为正方形； 再证明平面 PAD平面 ABCD，得出 BD平面 PAD，从而证明所以 PABD； （2）线段 AB 上存在一点 G，满足 AGAB，G 为 AF 的中点，且 BC平面 PEG，证 明即可 【解答】解： （1）取 AB 的中点 F，连接 DF，因为 DCAB 且 DCAB， 所以 DCBF 且 DCBF， 所以四边形 BCDF 是平行四边形； 又 ABBC，BCCD1，所以四边形 BCDF 为正方形； 在 RtAFD

29、 中，因为 DFAF1，所以 AD； 在 RtBCD 中，因为 BCCD1，所以 BD； 因为 AB2，所以 AD2+BD2AB2，所以 BDAD； 因为 BD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，平面 PAD平面 ABCD； 所以 BD平面 PAD； 第 16 页（共 21 页） 又因为 PA平面 PAD，所以 PABD； （2）线段 AB 上存在一点 G，满足 AGAB， 则 G 为 AF 的中点，且 BC平面 PEG； 证明如下：连接 EG，因为 E 为 AD 的中点，G 为 AF 的中点， 所以 GEDF， 又 DFBC，所以 GEBC， 又 GE平面 PFG，BC平面 PE

30、G， 所以 BC平面 PFG 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是 中档题 20 （14 分）已知数列an满足：a110，an+1an2，bnlgan，cnlog2bn，nN* （1）证明：数列bn为等比数列； （2）证明：数列cn为等差数列； （3）若数列的前 n 项和为 Sn，数列cn的前 n 项和为 Tn，数列的前 n 项和为 Wn，证明：WnSn 【分析】 （1）可得 an0，对等式 an+1an2，两边取常用对数，结合等比数列的定义， 即可得证； （2）由对数的运算性质，结合等差数列的定义，即可得证； （3）运用等差数列和等比数列的求和公式，可

31、得 Sn，Tn，再由裂项相消求和可得 Wn， 再分别判断 WnW11，Sn1，即可得证 【解答】证明： （1）a110，an+1an2，可得 an0， 可得 lgan+1lgan22lgan， 由 bnlgan，可得 bn+12bn， 则数列bn为首项为 1，2 为公比的等比数列； 第 17 页（共 21 页） （2）证明：cnlog2bnlog22n 1n1， 由 cn+1cn1，可得数列cn为首项为 0，公差为 1 的等差数列； （3）数列即的前 n 项和 Sn1， 数列cn的前 n 项和为 Tnn（n1） ， 数列即的前 n 项和为 Wn， 由2（） ，可得 Wn2（1+）2（1） ，

32、由 11 恒成立，2（1）为 nN*上的递增数列， 可得 WnW11，则 WnSn 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列 的单调性和不等式的性质的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 21 （14 分）图 1 是由菱形 ABCD，平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形， 其中 AB，BEEH1，ABC，ABE，将其 AB，EF 折起使得 CD 与 HG 重合，如图 2 （1）证明：图 2 中的平面 BCE平面 ABEF； （2）求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离； （3）求图 2 中二角 EABC 的余弦值 【分析】

33、（1）由|BC|2|EC|2+|BE|2，可证 CEBE，又 CEEF，利用线面垂直的判定定 理可证 CE平面 ABEF， 进而根据面面垂直的判定定理即可证明平面 BEC平面 ABEF （2）由（1）利用勾股定理在直角三角形 AEC 中，可求|AE|1，AEBE，利用面面垂 第 18 页（共 21 页） 直的性质可证 AE平面 BCE，又 AF平面 BCE，可得点 F 到平面 BCE 的距离为|AE| 1 （3）以 E 为坐标原点，分别以 EB，EC，EA 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Exyz， 可得平面 ABE 的法向量为 （0，1，0） ，设平面 ABC 的法向量 （x，y，z）

34、 ， 可得（1，0，1） ，（1，1，0） ，由，可求 （1，1，1） ，利 用向量的数量积运算可求二面角 EABC 的余弦值 【解答】解： （1）由题意，在BEC 中，|BC|2|EC|2+|BE|2， CEBE， 又在矩形 EFGH 中，CEEF，且 EFBEE， CE平面 ABEF， 又CE平面 BCE， 平面 BEC平面 ABEF （2）由（1）可知，CEAE，又在菱形 ABCD 中，AC， 在直角三角形 AEC 中，|AE|2|AC|2|CE|21，|AE|1， 在AEB 中，|AB|2|AE|2+|BE|2，AEBE， 又平面 BCE平面 ABEF，且平面 BCE平面 ABEFBE

35、， AE平面 BCE， 又AF平面 BCE， 点 F 到平面 BCE 的距离为|AE|1 （3）以 E 为坐标原点，分别以 EB，EC，EA 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Exyz， 可得 E（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A（0，0，1） ， 由（1）可知平面 ABE 的法向量为 （0，1，0） ， 设平面 ABC 的法向量 （x，y，z） ， （1，0，1） ，（1，1，0） ，由，可得， （1，1，1） ， 第 19 页（共 21 页） 设二面角 EABC 为 ，则 cos，即二面角 EABC 的余弦值 为 【点评】本题考查线面垂直，面面垂直的证明，考查

36、二面角的余弦值的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 22 （14 分）已知函数 f（x）alnxx+1（aR） （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 f（x）0，求 a 的值 【分析】 （1）求出函数的导函数，可知当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上 单调递减，f（x）无极值；当 a0 时，求得导函数的零点，对函数定义域分段，由导函 数在不同区间内的符号可得原函数的单调性，从而求得 f（x）在 xa 时取得极大值 f（a） alnaa+1，f（a）alnaa+1，无极小值； （2）f（x）0 恒成立，由（1）知，当 a0

37、时，f（x）在（0，+）上单调递减，结 合 f（1）0，可得当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，+）时，f（x）0，得到 a0，不存在符合题意的 a 值；若 a0，由（1）知，若 f（x）0 恒成立，只需 f（x） f（a）alnaa+1再由导数求其最小值 g（1）0，可得 a1 【解答】解： （1）由 f（x）alnxx+1，得 f（x）（x0） 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）无极值； 当 a0 时，由 f（x）0，解得 xa 当 x（0，a）时，f（x）0，f（x）在（0，a）上单调递增； 当 x（a，+）时，f（x）0，f（x）在（a，+）上单

38、调递减 f（x）在 xa 时取得极大值 f（a）alnaa+1 第 20 页（共 21 页） 综上，a0 时，f（x）无极值；a0 时，f（x）有极大值 f（a）alnaa+1，无极小值； （2）若 f（x）0 恒成立，由（1）知，当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+） 上单调递减， 又f（1）0，当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，+）时，f（x）0， a0，不存在符合题意的 a 值； 若 a0，由（1）知，若 f（x）0 恒成立，只需 f（x）f（a）alnaa+1 令 g（a）alnaa+1，则 g（a）lna，由 g（a）0，得 a1 当 a（0，1）时，g（a）0，g

39、（a）在（0，1）上单调递减， 当 a（1，+）时，g（a）0，g（a）在（1，+）上单调递增 且 g（1）0，因此 a1 【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化 思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题 23 （14 分）已知自变量为 x 的函数 fn（x）n（lnxlnn）+1 的极大值点为 x Pn，nN*，e2.718为自然对数的底数 （1）若 n1，证明：f1（x）有且仅有 2 个零点； （2）若 x1，x2，x3，xn为任意正实数，证明：4 【分析】 （1）将 n1 代入 fn（x）中得到 f1（x）的解析式，然后判断函数 f1（x）的单调

40、性，在根据其最值证明零点有且仅有 2 个； （2）根据条件可得 Pnn 且，从而得到，进一 步得到，然后求出，即可证明结论 【解答】证明： （1）fn（x）n（lnxlnn）+1， 当 n1 时，（x0） ，则 令 g（x）（x0） ，则 g（x）0， f1（x）在（0，+）上单调递减，又 f1（1）0， 当 0x1 时，f1（x）0；当 x1 时，f1（x）0， 第 21 页（共 21 页） f1（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， f1（x）f1（1）1，又， f1（x）在（0，1）和（1，+）上各有一个零点， f1（x）有且仅有 2 个零点； （2）由题意，知，则 fn（n）0 当 0xn 时，fn（x）0；当 xn 时，fn（x）0， fn（x）在（0，n）上单调递增，在（n，+）上单调递减， Pnn 且， 因此， 记Sn，则， ， 上述两式相减，得 2，4， 4，即4 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在定理和利用错位相减 法求数列的和，考查了函数思想和转化思想，属难题