2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知集合 Ax|log2（x1）0，Bx|x3，则（RA）B（ ） A （，1 B （2，3） C （2，3 D （，12， 3 2 （5 分）下列函数中，在（0，+）是增函数的是（ ） Ayx2+e2 Bycosxex C Dyx24x 3 （5 分）命题“x0，x（x+1）（x1）2”的否定是（ ） Ax0，x（x+1）（x1）2 Bx0，x（x+1）（x1）2 Cx0，x（x+1）（x1）2 Dx0，x（x+1）（x1）2 4 （5 分）已知 sin（x+）m，则 cos（2x）（ ） A12m2 B2m21 Cm D2m1 5 （5 分） “a3b3”是“log7alog7b”的（ ）

2、 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知向量 （+1，1） ， （+2，2） ，若（2 + ）（ 2 ） ，则 （ ） A1 B0 C1 D2 7 （5 分）函数 f（x）在，的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，则下列结论正确的个数是（ ） 第 2 页（共 19 页） g（x）在单调递减 x是 g（x）图象的一条对称轴 是 g（x）图象的一个对称中心 A1 B2 C3 D4 9 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，2Snan+1an，则 S10（

3、） A100 B110 C50 D55 10 （5 分）已知函数的图象的一条对称轴为直线，且 f（x1） f（x2）4，则|x1+x2|的最小值为（ ） A B0 C D 11 （5 分）已知函数，函数 yf（x）a 有四个不同的零点，从 小到大依次为 x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ） A （3，3+e B3，3+e） C （3，+） D3，3+e） 12 （5 分）对任意实数 a，b 定义运算“” ，设 f（x）（|2x2|） （4|x|） ，有下列四个结论： f（x）最大值为 2；f（x）有 3 个单调递减区间；f（x）在是减函数； f（x）图象与直线 ym

4、 有四个交点，则 0m2，其中正确结论有（ ） A ：4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）xcosx+sinx 在点（0，0）处的切线方程为 14 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn，则 a5 15（5分） ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c， 若ABC的面积为， 且C 为钝角，则的取值范围是 16 （5 分） 已知 f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为 f （x） ， 第 3 页（共 19 页） 且当时，f（x）

5、sin2x+2f（x）cos2x0则不等式 f（x）sin2x1 的解集 为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间上的最值 18（12 分） 如图， 在ABC 中， A60， AB2， AC1，2，（R） （1）若4，求 的值； （2）若非零向量 mx，求的最小值 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（a+b） （sinAsinB）（c b）sinC （1）求

6、 A； （2）若，求 sinB 20 （12 分）已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a2+a3a4，S4+2a5； 数列bn满足 b11， （1）求 an和 bn； （2）求数列的前 n 项和 Tn 21 （12 分）水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点（用 t 表示第 t 月份，tN*） ，根据历年数据，某水库的蓄水量 V（单位：亿立方米）与时间 t 的近似函数关系为：当 0t10 时，V（t）（t2+14t40）eat+60；当 10t12 时， V（t）12t2284t+1700；若 2 月份该水库的蓄水量为 33.6 亿立方米

7、第 4 页（共 19 页） （1）求实数 a 的值； （2）求一年内该水库的最大蓄水量 参考数据： 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若对于任意的 mR，x0，都有 f（x）g（x）成立，求正整数 k 的最大值 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合

8、题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|log2（x1）0，Bx|x3，则（RA）B（ ） A （，1 B （2，3） C （2，3 D （，12， 3 【分析】可以求出集合 A，然后进行补集、交集的运算即可 【解答】解：Ax|0x11x|1x2，Bx|x3， RAx|x1 或 x2， （RA）B（，12，3 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集和补集的 运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）下列函数中，在（0，+）是增函数的是（ ） Ayx2+e2 Bycosxex C Dyx24x 【分析】结合二次函数的性质可判断 A 正确 【解答】

9、解：由二次函数的性质可知，yx2+e2在（0，+）是增函数，故 A 正确； 故选：A 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题 3 （5 分）命题“x0，x（x+1）（x1）2”的否定是（ ） Ax0，x（x+1）（x1）2 Bx0，x（x+1）（x1）2 Cx0，x（x+1）（x1）2 Dx0，x（x+1）（x1）2 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题为全称命题，则命题“x0，x（x+1）（x1）2”的否定是：x 0，x（x+1）（x1）2， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 第 6 页（共 19 页） 4 （5

10、分）已知 sin（x+）m，则 cos（2x）（ ） A12m2 B2m21 Cm D2m1 【分析】直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果 【解答】解：已知 sin（x+）m， 所以 cos（）cos（x）m， 则 cos（2x）2m21 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分） “a3b3”是“log7alog7b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据 a3b3推出 ab，但是 a，b 未必是正数，因此

11、 log7alog7b 未必有意义； 反之，log7alog7b 推出 ab0，则必有 a3b3根据充分必要条件的判定，即可得出 结果 【解答】 解： 若 a3b3， 则 ab， 当 ba0 时， 或 a0b 时， 由 “ab” 推不出 “log7a log7b” ； 反之，若“log7alog7b” ，则有“ab” ； 所以， ”a3b3”是”log7alog7b”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查利用对数函数和幂函数性质比较大小问题，以及充分必要条件的判定， 属中档题 6 （5 分）已知向量 （+1，1） ， （+2，2） ，若（2 + ）（ 2 ） ，则 （ ） A1 B0 C

12、1 D2 【 分 析 】 可 以 求 出， 根 据 即可得出3（3+4）+4（+3）0，解出 即可 【解答】解：， 第 7 页（共 19 页） ， 3（3+4）+4（+3）0，解得 0 故选：B 【点评】考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系 7 （5 分）函数 f（x）在，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数 值的符号，从而即可得出正确选项 【解答】解：f（x）f（x） ， f（x）为奇函数，故排除 A，B， 当 x时，f（）0，故排除 D， 故选：C 【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其

13、研究规律一般是先研究单调性与奇偶 性，再研究某些特殊值 8 （5 分）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，则下列结论正确的个数是（ ） g（x）在单调递减 x是 g（x）图象的一条对称轴 是 g（x）图象的一个对称中心 A1 B2 C3 D4 第 8 页（共 19 页） 【分析】根据图象平移得出函数 g（x）的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而 得出正确命题的序号 【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度， 得 f（x）sin2（x）sin（2x）的图象， 所以函数 g（x）sin（2x） ； 对于，g（）sin（2）sin1，所以正确； 对于，x，时，2x， 所

14、以 g（x）在上单调递减，正确； 对于，x时，g（）sin（）1， 所以 x是 g（x）图象的一条对称轴，正确； 对于，x时，g（）sin（）0， 所以不是 g（x）图象的一个对称中心，错误 综上知，正确的命题序号是，共 3 个 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象和性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题， 是基础题 9 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，2Snan+1an，则 S10（ ） A100 B110 C50 D55 【分析】本题先根据题干中的关系式得到 a22，然后代入 n+1 有 2Sn+1an+2an+1两式 相减可发现奇数项和偶数项分别成等差

15、数列，再综合可得数列an是以 1 为首项，1 为公 差的等差数列，即可得到结果 【解答】解：由题意，可知： 当 n1 时，2a12S1a2a1，可得 a22 2Snan+1an， 2Sn+1an+2an+1 两式相减，可得 2（Sn+1Sn）an+1（an+2an） 第 9 页（共 19 页） 即 2an+1an+1（an+2an） an+2an2 数列an的奇数项和偶数项都是以 2 为公差的等差数列 又a11，a22 数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 S10101+155 故选：D 【点评】本题主要考查数列求通项公式的能力，整体代入思想的应用，数学计算能力本 题属中档题 10

16、（5 分）已知函数的图象的一条对称轴为直线，且 f（x1） f（x2）4，则|x1+x2|的最小值为（ ） A B0 C D 【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对 称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果 【解答】解：函数sin（x+） 的图象的一条对称轴为 直线， f（）+，解得 a1 当 a1 时，f（x）sinxcosx2sin（x） ， f（x1） f（x2）4，则 f（x1）和 f（x2）一个为2，另一个为 2， x12k，x22k+，则|x1+x2|4k+|，kZ 故当 k0 时，|x1+x2|取得最小值为 当 a1 时，同理求得

17、，|x1+x2|取得最小值为， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利 用三角函数的最值确定结果，属于中档题 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）已知函数，函数 yf（x）a 有四个不同的零点，从 小到大依次为 x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ） A （3，3+e B3，3+e） C （3，+） D3，3+e） 【分析】画出 f（x）的图象和直线 ya，考虑四个交点的情况，把x1x2与 x3+x4用含有 a 的代数式表示，再由函数的单调性求解 【解答】解：函数 yf（x）a 有四个不同的零点，即两函数 yf

18、（x）与 ya 图象有 四个不同的交点，如图所示， 由图象可知，1ae， x1，x2是方程的两根，即 x2+2x+1lna0 的两根， x1x21lna， x3，x4是方程 x+3a 的两根，即 x2（3+a）x+40 的两个根， x3+x43+a， x1x2+x3+x42+a+lna g（a）2+a+lna 在（1，e上为单调增函数， g（a）（3，e+3 故选：A 【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合思想方法，训练 了利用函数单调性求最值，属于中档题 12 （5 分）对任意实数 a，b 定义运算“” ，设 f（x）（|2x2|） （4|x|） ，有下列四个结论：

19、第 11 页（共 19 页） f（x）最大值为 2；f（x）有 3 个单调递减区间；f（x）在是减函数； f（x）图象与直线 ym 有四个交点，则 0m2，其中正确结论有（ ） A ：4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【分析】分别作出 y4|x|，y|2x2|的图象，可得 f（x）（|2x2|）（4|x|）的 图象，结合图象可得 f（x）的最大值，可判断；以及 f（x）的减区间，可判断；f （x）在（，）递减， （，1）递增，可判断；由图象可得若 f（x）图 象与直线 ym 有四个交点，可得 m0，而 0m2 时，f（x）图象与直线 ym 有六个 交点，可判断 【解答】解：分别作出

20、y4|x|，y|2x2|的图象， 可得 f（x）（|2x2|）（4|x|）的图象，如右： 由图象可得 f（x）的最大值为 2； f（x）的减区间为（2，） ， （0，） ， （2，+） ， 即 f（x）有 3 个单调递减区间； f（x）在（，）递减， （，1）递增； 若 f（x）图象与直线 ym 有四个交点，可得 m0， 而 0m2 时，f（x）图象与直线 ym 有六个交点 综上可得正确；错误 故选：C 【点评】本题考查新定义函数的连接和运用，考查函数的最值、单调性和图象交点问题， 运用数形结合思想是解题的关键，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5

21、 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）xcosx+sinx 在点（0，0）处的切线方程为 2xy0 第 12 页（共 19 页） 【分析】求出原函数的导函数，得到 f（0） ，再由直线方程的点斜式得答案 【解答】解：由 f（x）xcosx+sinx，得 f（x）cosxxsinx+cosx， f（0）cos00sin0+cos02 函数 f（x）xcosx+sinx 在点（0，0）处的切线方程为 y2x，即 2xy0 故答案为：2xy0 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题 14 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn，则 a5 2

22、 【分析】当 n2 时，可得 anan1an+2an故数列an是周 期为 2 的周期数列即可求解 【解答】解：当 n2 时， anan1an+1anan1， an+2an故数列an是周期为 2 的周期数列 ，a12 a52 故答案为：2 【点评】本题考查了数列的性质，属于中档题 15（5分） ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c， 若ABC的面积为， 且C 为钝角，则的取值范围是 （2，+） 【分析】由已知 结合余弦定理及三角形的面积公式可得 sacsinB（a2+c2b2） 2accosB， 可求 tanB， 进而可求 B， 然后由正弦定理可， 展开后利用正切函数的性质可求范

23、围 【解答】解：由余弦定理可得，cosB， a2+c2b22accosB， sacsinB（a2+c2b2）2accosB， 第 13 页（共 19 页） tanB， 0B， B， 由正弦定理可得， C（，） ， tanC， 2，可得（2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中 档试题 16 （5 分） 已知 f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为 f （x） ， 且当时，f（x）sin2x+2f（x）cos2x0则不等式 f（x）sin2x1 的解集 为 （，） 【分析】构造新函数令，由已知条件判断函数单调性， 利用函

24、数的单调性判断函数自变量的范围可得答案 【解答】 解： 已知f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为f （x） ， 令，且当时，f（x）sin2x+2f（x）cos2x 0 则， 所以 F （x） f （x） sin2x 在上为单调递增， 且， 所以，解得， 由 f（x）是定义在上的奇函数得，F（x）f（x）sin2x 在为 偶函数， 第 14 页（共 19 页） 所以不等式 f（x）sin2x1 的解集为：， 故答案为： 【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及利用函数单调性求解自变量的范 围，考查计算能力属于中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 7

25、0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间上的最值 【分析】 （1）展开两角差的正弦，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由 周期公式求周期； （2）由 x 的范围求得相位的范围，则函数 f（x）在区间上的最值可求 【解答】解： （1）由已知得， ，即 f（x）的最小正周期为 ； （2）， 当 2x，即 x时，f（x）取得最大值，最大值为； 当 2x，即 x时，f（x）取得最小值，最小值为 函数上的最大值为，最小值为1 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应

26、用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性 质，是中档题 18（12 分） 如图， 在ABC 中， A60， AB2， AC1，2，（R） （1）若4，求 的值； （2）若非零向量 mx，求的最小值 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （1）由图表示出，则，再结合条件即 可求出 ； （2），配方，利用二次函数最值求解即可 【解答】解： （1）， ， 24， 2； （2）4x2+2xy+y2， ， 当即 y4x 时，取得最小值，最小值为 【点评】本题考查平面向量基本定理及平面向量数量积的运算，涉及二次函数最值问题， 属于中档题 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a

27、，b，c，且（a+b） （sinAsinB）（c b）sinC （1）求 A； （2）若，求 sinB 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得 b2+c2a2bc，利用余弦定理可求 cosA，结 合范围 A（0，） ，可求 A 的值； （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB2sinB，利用同角 三角函数基本关系式可求 sinB 的值 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意，利用正弦定理可得： （a+b） （ab）（cb）c， b2+c2a2bc， ， A（0，） ， （2）由题知：， ， ， cosB2sinB， 又 sin2B+cos2B1，

28、 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化 思想，属于基础题 20 （12 分）已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a2+a3a4，S4+2a5； 数列bn满足 b11， （1）求 an和 bn； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设等比数列an的公比为 q（q0） ，运用等比数列的通项公式和求和公式， 解方程可得公比和首项， 进而得到所求 an； 由 b11， 将 n 换为 n1，相减可得 bn； （2）设，运用数列的裂项相消求和，化 简可得所求和 【解答】解： （1）设等比数列an的公比为 q（q0） ， 由， 第

29、 17 页（共 19 页） 解得 q2 或 q1（舍） ， 又 S4+2a5， ，解得 a12， ； ， 当 n2 时， 相减可得， 整理得， 又 b11，则数列是首项为 1 的常数列， ，； （2）设， Tnc1+c2+cn 【点评】本题考等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式的运用，以 及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 21 （12 分）水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点（用 t 表示第 t 月份，tN*） ，根据历年数据，某水库的蓄水量 V（单位：亿立方米）与时间 t 的近似函数关系为：当 0t10 时，V（t）（t

30、2+14t40）eat+60；当 10t12 时， V（t）12t2284t+1700；若 2 月份该水库的蓄水量为 33.6 亿立方米 （1）求实数 a 的值； （2）求一年内该水库的最大蓄水量 参考数据： 第 18 页（共 19 页） 【分析】 （1）根据 V（2）33.6 计算 a； （2）利用导数求出 V（t）在（0，10上的单调性，再结合 V（11） ，V（12）的值得出 V （t）的最大值 【解答】解： （1）V（2）（22+14240）e2a+6016e2a+6033.6， ，又 ， 2a，即 （2）当， V（t）（2t+14）e+（t2+14t40）ee（t+2） （t8） ，

31、 当 t（0，8时，V（t）0，当 t（8，10时，V（t）0， 当 t8 时，V（t）maxV（8）119.12 又 V（11）28，V（12）20， V（t）的最大值为 119.12 故一年内该水库的最大蓄水量为 119.12 亿立方米 【点评】本题考查了函数的单调性与函数值的计算，属于中档题 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若对于任意的 mR，x0，都有 f（x）g（x）成立，求正整数 k 的最大值 【分析】 （1）求导后分类讨论判断其单调性； （2）转化可得 m22（ex+lnx）m+2e2x+2ln2xk20（x0）恒成立，利用导数研究即 可 【解答

32、】解： （1）f（x）2e2xmex3m2（2ex3m） （ex+m） ， m0 时，f（x）2e2x0 恒成立， f（x）在 R 上单调递增， 当 m0 时，2ex3m0，令 f（x）0，解得 xln（m） ， 当 xln（m）时，f（x）0，函数 f（x）在（ln（m） ，+）上单调递增， 当 xln（m）时，f（x）0，函数 f（x）在（，ln（m） ）上单调递减， 当 m0 时，ex+m0，令 f（x）0，解得， 第 19 页（共 19 页） 当，函数上单调递增， 当，函数上单调递减， （2）对任意的 mR，x0，f（x）g（x）成立， 即 成立， 即 m22（ex+lnx）m+2e2x+2ln2xk20（x0）恒成立， 4（ex+lnx）24（2e2x+2ln2xk2）0， 即 （exlnx）2k2， 令， 令， h（x）在（0，+）上单调递增， 又， h（x）在（0，+）上有唯一零点 x0， 且， 当 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）为减函数， 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）为增函数， ， ， exlnx0， exlnxk 恒成立， kh（x0） ，且 k 是正整数， k1 或 k2， k 的最大值为 2 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查 分类讨论思想，转化思想及运算求解能力，属于中档题