2019-2020学年山东省烟台一中高三（上）第一次月考数学试卷（含详细解答）

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1、若复数 z 满足（1+2i）z34i，则 z 的实部为（ ） A1 B1 C2 D2 3 （5 分）命题“”的否定是（ ） A B Cx2，x2x Dx2，x2x 4 （5 分）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型 号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果 相互之间没有影响，则三家企业中恰有 1 家购买该机床设备的概率是（ ） A B C D 5 （5 分）如图，双曲线的右顶点为 A，右焦点为 F，点 B 在双 曲线的右支上，矩形 OFBD 与矩形 AEGF 相似，且矩形 OFBD 与矩形 AEGF 的面积之比 为 2：1，则该双曲线

2、的离心率为（ ） A B C D 6 （5 分）若（1ax+x2）4的展开式中 x5的系数为56，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C3 D4 7 （5 分）函数的部分图象如图所示， 若把 h （t） 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 f （t） 和图象， 则 f （2019） （ ） 第 2 页（共 27 页） A B C1 D 8 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，且 ADDM，N 是线段 BD 上 的动点，过点 N 作 AM 的垂线，垂足为 H，当最小时，（ ） A+ B+ C+ D+ 9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别

3、为 a，b，c已知bsinAacosB 2bc，则 A（ ） A B C D 10 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体 的体积为（ ） A B C16 D 11 （5 分）已知圆1 和焦点为 F 的抛物线 C2：y28x，N 是 C1上一点，M 在 C2上，当点 M 在 M1时，|MF|+|MN|取得最小值，当点 M 在 M2时，|MF| |MN|取得最大值，则|M1M2|（ ） A B C D 第 3 页（共 27 页） 12 （5 分）已知方程|x|a（x3+3x2）0 有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （0，+

4、） D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数是奇函数，则实数 a 的值 14 （5 分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消 费结构越完善，生活水平越高某学校社会调查小组得到如下数据： 年个人消费支 出总额 x/万元 1 1.5 2 2.5 3 恩格尔系数 y 0.9 0.8 0.5 0.2 0.1 若 y 与 x 之间有线性相关关系， 老张年个人消费支出总额为 2.8 万元， 据此估计其恩格尔 系数为 参考数据： 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，

5、 （xn，yn） ，其回归直线的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 15 （5 分）国家的精准扶贫极大地激发了农村贫困村民的生产积极性新春伊始，某村计 划利用2019年国家专项扶贫款120万元兴建两个扶贫产业： 毛驴养殖和蔬菜温室大棚 建 一个养殖场的费用是 9 万元，建一个温室大棚的费用是 12 万元根据村民意愿，养殖场 至少要建 3 个，温室大棚至少要建 2 个，并且由于建设用地的限制，养殖场的数量不能 超过温室大棚数量的 2 倍，则建养殖场和温室大棚个数之和的最大值为 16 （5 分）已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点 的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成

6、球形，该球的半径最大为 1，设这两个圆锥的高 分别为 h1，h2，则 h1+h2的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 第 4 页（共 27 页） 17 （12 分）已知数列an满足 an0 且 3an3an+1anan+1，等比数列bn中，b2a1，b4 3，b69 （1）证明：数列为等差数列，并

7、求数列an的通项公式； （2）求数列anan+1的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图所示的几何体中，ACB45， ADBC，BC2AD （1）求证：AE平面 ABCD； （2） 若ABE60， 点 F 在 EC 上， 且满足 EF2FC， 求二面角 FADC 的余弦值 19 （12 分） 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗， 为确保疫苗质量， 定期进行质量检验 某 次检验中，从产品中随机抽取 100 件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据 测量结果得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2） 技术分析人员认为， 本次测量的该产品的质量指标值 X 服从正态

8、分布 N （， 12.22） ， 若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算 ，并计算测量数据落在（187.8， 212.2）内的概率； （3）设生产成本为 y 元，质量指标值为 x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系 y 假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生 产该疫苗的平均成本山东中学联盟 参考数据：XN（，2） ，P（X+）0.6727，P（2X+2） 0.9545 第 5 页（共 27 页） 20（12 分） 已知椭圆的左、 右焦点分别为 F1， F2， 离心率为， 直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 AF1BF1 （1）求椭圆 C 的方程 （2）不经过点 F1

9、和 F2的直线 l：ykx+m（k0，m0）被圆 x2+y24 截得的弦长与 椭圆 C 的长轴长相等，且直线 l 与椭圆 C 交于 D，E 两点，试判断F2DE 的周长是否为 定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2，aR （I）当 a1 时，求过点（0，1）且和曲线 yf（x）相切的直线方程； （2）若函数 f（x）在（0，+）上有两个不同的零点，求实致 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修

10、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 曲线 C2的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，且 A（2，1） ，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|x2|x+a| （1）若不等式 f（x）2 的解集为x|x，求实数 a 的值； （2）若 a3，1，求证：对任意的实数 x，y，2+f（y）f（x）2+f（y） 第 6 页（共 27 页） 2019-2020 学年山东省烟台一中高

11、三（上）第一次月考数学试卷学年山东省烟台一中高三（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x23x100，Bx|xm，若 m2，则（ ） A B CAB DABR 【分析】求出集合 A，B，由此能判断两个集合的包含关系 【解答】解：集合 Ax|x23x100x|2x5， Bx|xm，m2， 故选：A 【点评】本题考查集合的求法，考查元素与集

12、合的关系、子集定义等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z34i，则 z 的实部为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1+2i）z34i， 得 z， z 的实部为1 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）命题“”的否定是（ ） A B Cx2，x2x Dx2，x2x 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“” 第 7 页（共 27 页） 的否定是：x2，

13、x2x 故选：D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 4 （5 分）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型 号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果 相互之间没有影响，则三家企业中恰有 1 家购买该机床设备的概率是（ ） A B C D 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解 【解答】解：甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备， 他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影 响， 则三家企业中恰有 1 家购买该机床设备的概率： p+（1）+（1）（1） 故选

14、：C 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 5 （5 分）如图，双曲线的右顶点为 A，右焦点为 F，点 B 在双 曲线的右支上，矩形 OFBD 与矩形 AEGF 相似，且矩形 OFBD 与矩形 AEGF 的面积之比 为 2：1，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】设 A（a，0） ，F（c，0）和 B（c，） ，E（a，|m|） ，由矩形的面积公式和矩 形相似的性质：对应边成比例，结合离心率公式，化简即可得到所求值 第 8 页（共 27 页） 【解答】解：双曲线的右顶点为 A（a，0） ，右焦点为 F（c， 0） ，

15、令 xc可得 yb，设 B（c，） ，E（a，|m|） ， 矩形 OFBD 与矩形 AEGF 的面积之比为 2：1， 即为2，可得|m|， 又矩形 OFBD 与矩形 AEGF 相似，可得， 则|m|， 即有，即 c22（ca）2， 可得 ca， 则 e2+， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及矩形的面积和四边形相似的性质，考查化 简运算能力，属于中档题 6 （5 分）若（1ax+x2）4的展开式中 x5的系数为56，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C3 D4 【分析】求出二项展开式的通项，进而求得展开式中 x5的系数，结合已知条件，建立方 程，由此得解 【解答】解：（1a

16、x+x2）41+（x2ax）4， 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ，其中 r0，1，2，3，4 且 k0，1，2，r， 依题意，2rk5， ， 展开式中 x5的系数为， 第 9 页（共 27 页） 12a4a356，解得 a2 故选：B 【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，属于基础题 7 （5 分）函数的部分图象如图所示， 若把 h （t） 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 f （t） 和图象， 则 f （2019） （ ） A B C1 D 【分析】首先根据函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的值 【解答】解：函数的部分图象如图 所示，所以 A2， 所以

17、 T3，故 ，当 t2 时，（kZ） ，整理得k， 所以 k（kZ） ， 当 k1 时， 故 h（t）2sin（） ， 所以把 h（t）的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 f（t） 所以 f（2019）2sin（）2 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，且 ADDM，N 是线段 BD 上 的动点，过点 N 作 AM 的垂线，垂足为 H，当最小时，（ ） 第 10 页（共 27 页） A+ B+ C+ D+ 【

18、分析】关键是得出点 N 与点 D 重合时，的模最大，即最小，进而得解 【解答】解：，由图易知，向量所成的 角为钝角，所以， NHAM， ，当最小时，的模最大，数形结合易知点 N 与点 D 重 合时，的模最大，即最小， ADDM，DHAM， H 是 AM 的中点， 则 故选：C 【点评】本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力， 属于基础题 9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinAacosB 2bc，则 A（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果 【解答】解：在ABC 中，内角

19、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinAacosB 2bc， 利 用 正 弦 定 理 得 ：， 整 理 得 ， 由于 sinB0，所以，即， 所以 sin（A+）1， 第 11 页（共 27 页） 由于 0A，解得， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体 的体积为（ ） A B C16 D 【分析】直接利用三视图和几何体之间的转换，进一步利用几何体的体积公式的应用求 出结果 【解答】解：根据

20、几何体的三视图，该几何体为三棱锥 CABD，如图所示 过点 C 作 CFDE 于 F，解得：， 利用CDE 面积相等，解得 CF， 所以： 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 第 12 页（共 27 页） 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 11 （5 分）已知圆1 和焦点为 F 的抛物线 C2：y28x，N 是 C1上一点，M 在 C2上，当点 M 在 M1时，|MF|+|MN|取得最小值，当点 M 在 M2时，|MF| |MN|取得最大值，则|M1M2|（ ） A B C D 【分析】求得圆的圆心和半径、抛物线的焦

21、点和准线方程，由 C1向准线 x2 作垂线， 交抛物线于 M1（1，2） ，由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可得|MF|+|MN|取得 最小值；连接 FC1，并延长交抛物线于 M2，可得|MF|MN|取得最大值，由直线 C1F 的 方程与抛物线方程联立，可得 M2（4，4） ，运用两点的距离公式可得所求值 【解答】解：圆1 的圆心 C1（3，2） ，半径为 r1， 抛物线 C2：y28x 的焦点为 F（2，0） ， 由 C1向准线 x2 作垂线，交抛物线于 M1（1，2） ； 可得|M1F|+|M1N|取得最小值 3（2）14， 连接 FC1，并延长交抛物线于 M2， 可得|M2F|M2N

22、|取得最大值|FC1|+1+14， 由直线 C1F 的方程 y2（x2） ，联立抛物线 C2：y28x，可得 x25x+40， 解得 x4（1 舍去） ，即有 M2（4，4） ， 可得|M1M2|， 故选：D 第 13 页（共 27 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点， 考查数形结合思想和三点共线取得最值的性质，属于中档题 12 （5 分）已知方程|x|a（x3+3x2）0 有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （0，+） D 【分析】先判断 a0 时不成立，当 a0 时，有一个根 x0，故只要 y|x|（x+3）的图

23、象与 y只有三个交点，根据图象求出的范围，得到 a 的范围 【解答】解：当 a0 时，|x|0，只有一个根，故 a0， 当 x0 时，不论 a 为何值，方程都成立，故 x0 是一个根， 当 a0，x0 时，|x|a（x3+3x2）0 可化为：， 只需 y|x|（x+3）的图象与 y只有三个交点， 如图，x0 时，函数 yx（x+3）有最大值 f（）， 当 x0 时，函数单调递增， 故 0时，有三个交点， 综上，a（，+） ， 故选：A 第 14 页（共 27 页） 【点评】考查方程的根的个数和函数的交点的关系，通过函数图象的分析判断，求出参 数的范围，中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题

24、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数是奇函数，则实数 a 的值 【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 奇 函 数 的 定 义 可 得 f （ x ） +f （ x ） 0 ， 即 有 +a+a0，变形分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数是奇函数， 则 f（x）+f（x）0，即有+a+a0， 变形可得：+2a1， 解可得：a； 故答案为： 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于 基础题 14 （5 分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消 费结构越完善，生活水平越高某

25、学校社会调查小组得到如下数据： 年个人消费支 出总额 x/万元 1 1.5 2 2.5 3 恩格尔系数 y 0.9 0.8 0.5 0.2 0.1 第 15 页（共 27 页） 若 y 与 x 之间有线性相关关系， 老张年个人消费支出总额为 2.8 万元， 据此估计其恩格尔 系数为 0.148 参考数据： 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 【分析】由已知求得 与 ，进一步得到 与 的值，则线性回归方程可求，取 x2.8 求 解 y 得答案 【解答】解：， 又， ，则 y 关于 x 的线性回归方程为 y0

26、.44x+1.38 取 x2.8，得 y0.442.8+1.380.148 故答案为：0.148 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 15 （5 分）国家的精准扶贫极大地激发了农村贫困村民的生产积极性新春伊始，某村计 划利用2019年国家专项扶贫款120万元兴建两个扶贫产业： 毛驴养殖和蔬菜温室大棚 建 一个养殖场的费用是 9 万元，建一个温室大棚的费用是 12 万元根据村民意愿，养殖场 至少要建 3 个，温室大棚至少要建 2 个，并且由于建设用地的限制，养殖场的数量不能 超过温室大棚数量的 2 倍，则建养殖场和温室大棚个数之和的最大值为 12 【分析】设建养殖场 x

27、个，温室大棚 y 个，列出约束条件，求出目标函数 zx+y 的最大 值即可 【解答】解：设建养殖场 x 个，温室大棚 y 个，则约束条件为，其中 x、 第 16 页（共 27 页） yN； 求目标函数 zx+y 的最大值即可； 画出约束条件表示的平面区域，如图所示； 由图形知，目标函数 zx+y 过点 A 时，z 取得最大值； 由解得，所以 A（8，4） ； 所以建养殖场和温室大棚个数之和的最大值为 8+412 故答案为：12 【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础 题 16 （5 分）已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点

28、的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为 1，设这两个圆锥的高 分别为 h1，h2，则 h1+h2的最小值为 【分析】由题意画出图形，圆 O 为内切球的轴截面，E、F、G、H 分别为切点，由题意 可知，ABBC，ADDC，ACh1+h2，再由等面积法可得 AB+BCABBC，然后利用 基本不等式求最值，得到 ABBC4，当且仅当 ABBC 时“”成立，则 ，由此可得 h1+h2的最小值 【解答】解：由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成组合体的内切 球， 内切球的半径 R1，如图为这个组合体的轴截面的示意图， 圆 O 为内切球的轴截面，E、F、G、H 分别为切点

29、， 第 17 页（共 27 页） 连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH， 由题意可知，ABBC，ADDC，ACh1+h2， ROEOFOGOH1，则 S四边形ABCDSAOB+SBOC+SCOD+SAOD， 即 ABBC R （AB+BC） ， AB+BCABBC， 由基本不等式可得：，则 ABBC4， 当且仅当 ABBC 时“”成立 当且仅当 ABBC 时“”成立，故 h1+h2的最小值为 故答案为 【点评】本题考查旋转体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等面积 法求解最值问题，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

30、骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an满足 an0 且 3an3an+1anan+1，等比数列bn中，b2a1，b4 3，b69 （1）证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式； （2）求数列anan+1的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由 an0 且 3an3an+1anan+1，可得，运用等差数列的定 义和等比数列的中项性质，可得首项和公差

31、，即可得到所求； 第 18 页（共 27 页） （2）求得 anan+19（） ，由数列的裂项相消求和，化简可 得所求和 【解答】解： （1）证明：数列an满足 an0 且 3an3an+1anan+1， 可得， 由等比数列bn中，b2a1，b43，b69， 可得 b42b2b6，即 99a1，则 a11， 可得数列为首项为 1，公差为的等差数列， 则1+（n1）， 即 an； （2）anan+19（） ， 则前 n 项和 Sn9（+） 9（） 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的中项性质，考查数列的裂项 相消求和，化简运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图所示的几何体中

32、，ACB45， ADBC，BC2AD （1）求证：AE平面 ABCD； （2） 若ABE60， 点 F 在 EC 上， 且满足 EF2FC， 求二面角 FADC 的余弦值 【分析】 （1）证明 ABBC结合 BEBC，推出 BC平面 ABE得到 BCAE，结合 EAAC，即可证明 AE平面 ABCD （2）以 B 为原点，BE，BC 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系 Bxyz，求出 第 19 页（共 27 页） 平面 ADF 的法向量，平面 ABCD 的一个法向量设二面角 FADC 的平面角为 ，利 用空间向量的数量积求解即可 【解答】 （1）证明：在ABC 中， 由余弦定理可得

33、AB2BC2+AC22BCACcos454，所以 AB2 所以 AC2AB2+BC2，所以ABC 是直角三角形，ABBC 又 BEBC，ABBEB，所以 BC平面 ABE 因为 AE平面 ABE，所以 BCAE，因为 EAAC，ACBCC， 所以 AE平面 ABCD （2）解：由（1）知，BC平面 ABE，所以平面 BEC平面 AEB，在平面 ABE 中， 过点 B 作 BzBE，则 Bz平面 BEC，如图， 以 B 为原点，BE，BC 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系 Bxyz， 则， 因为 EF2FC，所以，易知， 设平面 ADF 的法向量为 （x，y，z） ， 则即 所以为平

34、面 ADF 的一个法向量， 由（1）知 EA平面 ABCD，所以为平面 ABCD 的一个法向量 设二面角 FADC 的平面角为 ， 由图易知 为锐角，则， 所以二面角 FADC 的余弦值为 第 20 页（共 27 页） 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转 化为向量夹角问题，是解答的关键是中档题 19 （12 分） 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗， 为确保疫苗质量， 定期进行质量检验 某 次检验中，从产品中随机抽取 100 件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据 测量结果得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2） 技

35、术分析人员认为， 本次测量的该产品的质量指标值 X 服从正态分布 N （， 12.22） ， 若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算 ，并计算测量数据落在（187.8， 212.2）内的概率； （3）设生产成本为 y 元，质量指标值为 x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系 y 假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生 产该疫苗的平均成本山东中学联盟 参考数据：XN（，2） ，P（X+）0.6727，P（2X+2） 0.9545 【分析】 （1）直接由频率和为 1 列式求解； （2）由题意求出平均数 ，可知 X 服从正态分布 N（200，12.22） ，再由 P（187.

36、8X 212.2）P（20012.2X200+12.2）求解； （3）直接由分段函数列式求解生产该疫苗的平均成本 【解答】解： （1）由 10（a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a）1， 解得 a0.002； （2）依题意，1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+230 0.02200， 故 X 服从正态分布 N（200，12.22） ， 第 21 页（共 27 页） P（187.8X212.2）P（20012.2X200+12.2）0.6827 故测量数据落在（187.8，212.2）内的概率约为 0.68

37、27； （3）根据题意得 y0.41700.02+0.41800.09+0.41900.22+0.42000.33 +（0.8210100）0.24+（0.8220100）0.08+（0.8230100）0.0275.04 故生产该疫苗的平均成本为 75.04 【点评】本题考查频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正 确理解题意是关键，是中档题 20（12 分） 已知椭圆的左、 右焦点分别为 F1， F2， 离心率为， 直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 AF1BF1 （1）求椭圆 C 的方程 （2）不经过点 F1和 F2的直线 l：ykx+m（k0，m0）被圆 x2+

38、y24 截得的弦长与 椭圆 C 的长轴长相等，且直线 l 与椭圆 C 交于 D，E 两点，试判断F2DE 的周长是否为 定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 【分析】 （1）由题意离心率及 a，b，c 之间的关系将椭圆换成只有一个参数的方程，然 后由直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 AF1BF1，用数量积为零得出 a，b，c 的值， 写出椭圆 C 的方程； （2）由（1）得直线 l：ykx+m（k0，m0）被圆 x2+y24 截得的弦长与椭圆 C 的长 轴长相等，可得 k，m 之间的关系，再与椭圆联立，设而不求的方法求出弦长 DE，DF2， EF2，3 个值相加得到与参数无关，即周长

39、为定值 【解答】解（1）因为，所以，则，所以椭圆 C 的方程可化为 x2+3y23b2， 由得，不妨令 ， 易知 第 22 页（共 27 页） ， 因为 AF1BF1，所以，即， 又 a2c2+b2，a23b2，所以 b21，a23， 所以椭圆 C 的方程为； （2）由（1）知椭圆 C 的长轴长为，因为直线 l：ykx+m（k0，m0）被圆 x2+y2 4 截得的弦长为椭圆 C 的长轴相等， 所以圆 x2+y24 的圆心 O（O 为坐标原点）到直线 l 的距离，所以 ，即 m21+k2； 设 D（x1，y1） ，E（x2，y2） ，联立方程，得整理得（3k2+1）x2+6kmx+3 （m21）

40、0， 36k2m2 12 （ 3k2+1 ）（ m2 1 ） 12 （ 3k2 m2+1 ） 24k2 0 ， ， 所以，又 m21+k2， 所 以， 易 知 ， 同理， 所以， 所以F2DE 的周长是 所以F2DE 的周长为定值，为 第 23 页（共 27 页） 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2，aR （I）当 a1 时，求过点（0，1）且和曲线 yf（x）相切的直线方程； （2）若函数 f（x）在（0，+）上有两个不同的零点，求实致 a 的取值范围 【分析】 （1）直接将 a1 代入，求导，当 x0 时是切点和不是切点（不是切点时设切

41、 点坐标，求出在切点处的斜率，再与过（0，1）和切点两点式得的斜率相等得出切线方 程）两种情况讨论得过（0，1）点的切线方程； （2）零点转化为两个函数的交点问题，求右边函数的单调性及值域，进而求 出 a 的取值范围 【解答】解（1）当 a1 时，f（x）exx2，f（x）ex2x， 当点（0，1）为切点时，所求直线的斜率为 f（0）1，则过点（0，1）且和曲线 yf （x）相切的直线方程为 xy+10， 当点（0，1）不是切点时，设切点坐标为， 则 所 求 直 线 的 斜 率 为， 所 以， 易 知 ， 由可得 即， 设 g（x）exx1，则 g（x）ex1， 所以当 x0 时，g（x）0，

42、当 x0 时，g（x）0， 所以 g（x）exx1 在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减， 又 g（0）e0010， 所以 g（x）exx1 有唯一的零点 x0， 因为 x00，所以方程的根为 x01，即切点坐标为（1，e1） ， 故所求切线的斜率为 f（1）e2，则过点（0，1）且和曲线 yf（x）相切的直线方程 为（e2）xy+10， 第 24 页（共 27 页） 综上，所求直线的方程为 xy+10 或（e2）xy+10， （2）解法一、， 因为 ex0，所以函数 f（x）的零点就是函数 h（x）的零点， 当 a0 时，h（x）0，h（x）没有零点，所以 f（x）没有零点 当 a0

43、 时，当 x（0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时， h（x）0， 所以 h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， 故是函数 h（x）在（0，+）上的最小值， 当上没有零点，即 f（x）在（0，+）上没 有零点； 当上只有一个零点，即 f（x）在（0，+）上 只有一个零点； 易知对任意的 xR，都有 exx，即，所以，即，令 x27a， 则，所以， 故 h（x）在（2，27a）上有一个零点， 因此 h（x）在（0，+）上有两个不同的零点，即 f（x）在（0，+）上有两个不同的 零点； 综上， 若函数 f （x） 在 （0， +） 上有两个不同的零点， 则实数 a 的取值范

44、围是 解法二、由， 令， 则函数 f（x）在（0，+）上有两个不同的零点，即直线与函数 k（x）的图象在（0， +）上有两个不同的交点） ， 第 25 页（共 27 页） ， 当 x（0，2）时，k（x）0，当 x（2，+）时，k（x）0，所以 k（x）在（0，2） 上单调递增，在（2，+）上单调递减， 所以 k（x）在（0，+）上的最大值为， 因为 k（0）0，并且当 x2 时， 所以当时，k（x）在（0，+）上的图象与直线有两个不同的交点， 即当时，函数 f（x）在（0，+）上有两个不同的零点 所以， 若函数 f （x） 在 （0， +） 上有两个不同的零点， 则实数 a 的取值范围是 【

45、点评】考查函数的零点问题转化为函数的交点问题及用导数研究函数的单调性，属于 难题 （二）选考题（二）选考题：共：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 曲线 C2的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，且 A（2，1） ，求的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）因为曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 所以其普通方程为（x2）2+y24，即 x