【精品】六年级奥数培优教程讲义第28讲-“牛吃草”问题(教师版）

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1、第第 2828 讲讲- -“牛吃草”问题“牛吃草”问题 明确牛吃草问题中，必须把草的生长与牛吃的草问题，分开来分析解决，避免复杂错乱。 能够了解问题中的基本不变量并会求出，清楚牛吃草中等量的关系，能够利用求出的不变 量来求解变化的问题。 一、专题引入一、专题引入 英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片 草可供 10 头牛吃 22 天，或者供 16 头牛吃 10 天，如果供 22 头牛可吃几天？这道题就是有名 的牛吃草问题，也叫牛顿问题。 解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变 化。 二、知识清单二、知识清单 1

2、、牛吃草问题中不变基本量：草的原有量、草的生长速度 2、牛吃草问题中可变量:牛的数量、天数 3、等量关系：草的总量与牛吃的草的总量一致 草的总量=原有草量+草的生长速度天数 （或者草的总量=原有草量-草的减少速度天数） ， 牛吃的草量=牛头数1天数（一般设 1 头牛 1 天吃“1”份草）。 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天 数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 考点一：求时间考点一：求时间 例例 1 1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 27 头牛吃 6 周，或者可供 23 头牛吃 9 周。问： 可供 21 头牛吃

3、几周? 【解析】1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。我们可以设 1 头牛 1 周吃草 1 份，27 头牛 6 典例分析 教学目标 知识梳理 周吃 276=162 份，23 头牛 9 周吃草 239=207 份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？ 思 考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。9 周比 6 周的草多长了（207-162=45 份）， 所以每周长出的草量为（453=15 份），那么原来草量为 162-156=72（份）。 2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下 21 头牛，我们可以把它分为 2 部分，15 头牛去吃 新草，剩下的

4、6 头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完，整个牧场的草也就吃完了。 解：设 1 头牛 1 周吃的草为 1 份 每周长出的草量为：（239-276）（9-6）=15（份） 草场原有的草量为：276156 = 72（份） 21 头牛可以吃的周数：72（2115）= 12（周） 答：这片草地可供 21 头牛吃 12 周。 考点二考点二: :求牛数求牛数 例例 1 1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？ 【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1”，每周草的生长速度为(23 9276)(96)15 ，原有草量为 (27 15

5、) 672，可供 7218 15 19 18 1 （头）牛吃 18 周 考点三：草量匀速减少考点三：草量匀速减少 例例 1 1： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可 供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃 10 天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为： 20 5 15 66510 ，原有 草 量为：20 105150 ；10 天吃完需要牛的头数是：150 10 10 5 10 1 (头) 考点四：牛羊同吃考点四：牛羊同吃 例例 1 1：（2008年希望杯六年级二试试

6、题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃 完，70 只羊 16 天也可将草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。那么，17 头牛和 20 只 羊多少天可将草吃完? 【解析】“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为 1，那么 1 头牛 30 天吃了144 301680 单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16701120单位草量，所以草场在 每天内 增加了(1680 1120)(30 16)40草量，原来的草量为112040 16480草量，所以如果安排 17 头牛 和 20 只羊，即每天食草 88 草

7、量，经过480(8840)10天，可将草吃完。 考点五：牛数变化考点五：牛数变化 例例 1 1：有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 17 30 19 2430249，原有草 量为：17930240现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完， 如果 不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加428才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数 24088940

8、 (头) 考点六：牛吃草问题变化考点六：牛吃草问题变化 例例 1 1：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量。而单位 时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船 内已有的水量）也是不变的量. 对于这个问题我们换一个角度进行分析。 每个人每小时的淘水量为“1 个单位”.则船内原有水量与 3 小时内漏水总量之和 等于每人每小时淘水量 时间人数，即 131030.船内原有

9、水量与 8 小时漏水量之和为 158=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差时间差，即（40-30）（8-3）=2（即每小时漏进水量 为 2 个单位，相当于每小时 2 人的淘水量）。 船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.3 小时漏进水量相当于 32=6 人 1 小时淘 水量.所以船内原有水量为 30- （23） =24。 如果这些水 （24 个单位） 要 2 小时淘完， 则需 24212 （人） ， 但与此同时，每小时 的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需 12+214（人）。 课堂狙击 1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知 70 头

10、牛 24 天把草吃完，30 头牛 60 天把草吃完，则多少头牛 96 天可以把草吃完 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为 10 306070246024 3 ，牧场 原 有草量为 10 30601600 3 ，要吃 96 天，需要 10 16009620 3 (头)牛 2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果要 4 周吃 光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(21 1223 9)(129)15，原有的野 果 为(23

11、15) 972，如果要 4 周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃 3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天，那么可供 10 头牛吃多少天？ 【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (25 4 16 6)(64)2 原来牧场有草(252)4108 可供 10 头牛吃的天数是：108(102)9(天)。 4、一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么

12、12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22 头牛的吃草量， 所以草的生长速度为(15 2420 12)(24 12)10， 原有草量为(20 10) 12120， 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃120(1222 10)5（天） 实战演练 5、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。供 25 头牛可吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了1020200份；15 头牛吃 10 天

13、共吃了 15 10150 份第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这 50 份草是牧场的草201010天生长出来的， 所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100 供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完， 即它可供 25 头牛吃 5 天 6、有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃 20 天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么251015天生长的草量为122524 1060，所以每天 生 长的草量为60154；原有草量

14、为：2441020020 天里，草场共提供草200420280， 可以 让2802014头牛吃 20 天 7、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或 可供 16 头牛吃 6 天那么，可供 11 头牛吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为20 5 1664 ，原有草量为： 2045120 若有 11 头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供 11 头牛吃120158(天) 8、：一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起

15、 吃，还可以再吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 4 405 3040301 ，原有草量 为：5 130120如果 4 头牛吃 30 天，那么将会吃去 120 的草量，此时原有草量还剩 12030 112030 ，而牛的头数变为 6，现在就相当于：“原有草量 30，每天生长草量 1，那么 6 头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：306 16(天) 课后反击 1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天吃完。那么可供 19 头牛 吃几天？ 【解析】 6 天时共有草：24 6144 10 天时共有草：20 1

16、0200 草每天生长的速度为：（200144） （106）14 原有草量：1446 1460 可供 19 头牛： 60 （1914）12（天） 2、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口, 需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放 2 个检票口时,只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了 。 求增加人 数的速度还有原来的人数？ 【解析】这是一道是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。 因为第一块草地 5 亩面积原有草量5 亩面积 30 天长的草1030300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300560 份 因为

17、第二块草地 15 亩面积原有草量15 亩面积 45 天长的草28451260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 12601584 份 所以 453015 天，每亩面积长 846024 份 所以，每亩面积每天长 24151.6 份 所以，每亩原有草量 60301.612 份 第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.62438.4 份，原有草就有 2412288 份 新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此 288803.6 头牛 所以，一共需要 38.43.642 头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天

18、的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10 30/5=60； 每亩 45 天的总草量为： 28 45/15=84 那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有 草量为 60-1.6 30=12，那么 24 亩原有草量为 12 24=288，24 亩 80 天新长草量为 24 1.6 80=3072， 24 亩 80 天共有草量 3072+288=3360，所有 3360/80=42(头) 解法二： 10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头牛 45 天吃 15 亩，可以推出 15 亩每天 新长草量 (2845-30

19、30)/(45-30)=24；15 亩原 有草量： 1260-2445=180；15 亩 80 天 所需 牛 180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24) (24/15)=42 头 3、有三块草地，面积分别为 5，6，和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 【解析】为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即 5，6，8最小公倍数为 120 这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，120 5=24，变为 120 公顷草地可供 11

20、24=264（头）牛吃 10 天 第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天，120 6=20，变为 120 公顷草地可供 12 20=240（头）牛吃 14 天。 120 8=15。问题变成：120 公顷草地可供 19 15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为： 一块草地匀速生长，可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天， 那么可供 285 头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240 14-264 10） （14-10）=180（份） 草地原有草：（264-180） 10=840（份） 可供 285 头牛吃的时间：840 （285-18

21、0）=8（天） 答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。 4、 一片草地， 每天都匀速长出青草， 如果可供 24 头牛吃 6 天， 或 20 头牛吃 10 天那么可供 18 头牛吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。 则每天新生的草量是（20 10-24 6） (10-6)=14 份， 原来的草量是（24-14） 6=60 份。 可供 18 头牛吃 60 （18-14）=15 1、（2008年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完， 70 只羊 16 天也可将草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。那么

22、，17 头牛和 20 只羊多 少天可将草吃完? 【解析】“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为 1，那么 1 头 牛 30 天吃了144 301680 单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内 增加了(1680 1120)(30 16)40草量，原来的草量为112040 16480草量，所以如果安排 17 头牛 和 20 只羊，即每天食草 88 草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。 直击赛场 1、专题特点：关于一块地的牛吃草问题， 2、解题方法：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： 设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”； 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度 3、注意事项 牛吃草问题是草地的草在不断的增长，时间不同，草地里草的总量也不同。 本节课我学到 我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验