【精品】六年级奥数培优教程讲义第24讲环形线路(教师版）

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1、第第 24 讲讲 环形线路环形线路 掌握流水行船的基本概念； 能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系。 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及 的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一 个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间 速度和 路程差=追及时间 速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是 同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同

2、一出发点 直径两端 同向：路程差 nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S 例例 1、一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走 66 米，麻雀每分钟 走 59 米经过几分钟才能相遇? 【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即 500(6659)500 1254（分钟） 例例 2、上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒 教学目标 典例分析 知识梳理 钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人

3、各跑了多少圈？ 【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150秒，小亚跑了6 150900（米）。 小胖跑了4 150600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4 圈，小亚跑6圈。 例例 3、小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800 米，他 们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据Sv t 差差 ，可知小新第一次超过正南需要： 80025021020（）(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800325

4、021060 （）(分钟) 例例 4、在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背向而 跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【解析】同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间 的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离又逐渐缩 小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和 速度和相遇时间同向而行 2 分 30 秒相遇，2 分 30 秒150 秒，两个人的速度和为：300150=2（米/ 秒），背向而跑则半分钟即

5、30 秒相遇，所以两个人的速度差为：30030=10（米/秒）.两人的速度分别为： 10224（）(米/秒)， 1046(米/秒) 例例 5、周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。已知林 荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发 点。 【解析】两人每共走 1 圈相遇 1 次，用时 480 (55+60)=4(分)，到第 10 次相遇共用 40 分钟，王老师共走了。 55 40=2200（米），要走到出发点还需走，480 5-2200=200（米） 例例 6、甲、乙二人在操场的 4

6、00 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后 6 分甲第一 次超过乙，22 分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面多少米？ 【解析】150 米。提示：甲超过乙一圈（400 米）需 22616（分）。 例例 7、有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同 向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道上同一处? 【解析】由题意知道：甲走完一周需要时间为 300 120= 5 2 （分）；乙走完一周需要时间为 300 100=3（分）

7、 丙 走 完 一 周 需 要 时 间 为 300 700= 30 7 ， 那 么 三 个 人 想 再 次 相 聚 在 跑 道 同 一 处 需 要 时 间 为 ： 5,30,3 5 3030 ,330 272,7,11 分 例例 8、林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，那么 她的后一半路程跑了多少秒？ 【解析】设总时间为 X，则前一半的时间为 X/2，后一半时间同样为 X/2 X/2*5+X/2*4=450 X=100 总共跑了 100 秒 前 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250 米 后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200 米 后

8、一半的路程为 450 2=225 米 后一半的路程用的时间为（250-225） 5+50=55 秒 例例 9、甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？ 【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙 共走完 1+ 1 2 3 2 圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相遇时乙行走 的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100 3=300 米有甲、乙第二次相遇时

9、，共行走(1 圈 60)+300，为 3 2 圈，所以此圆形场地的周长为 480 米 课堂狙击课堂狙击 1.周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。已知林荫道 周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发 点。 【解析】几分钟相遇一次：480 （5565）=4（分钟） 10 次相遇共用：4 10=40（分钟） 王老师 40 分钟行了：55 40=2200（米） 2200 480=4（圈）280（米） 所以正好走了 4 圈还多 280 米，480280=200（米） 2.小张和小王各以一定速

10、度，在周长为500米的环形跑道上跑步小王的速度是200米/分小张和小王同 时从同一地点出发， 反向跑步，1分钟后两人第一次相遇， 小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点 出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【解析】两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是5001200300 （米/分） 在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间 是：500(300200)5（分）30055003（圈） 3.思考乐小学有一条 200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑 6 米，晶晶每秒钟 跑 4 米，问冬冬第一

11、次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 【解析】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一 次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是， 实战演练 根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：20064100（）(秒) 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100600(米) 晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100400(米) 冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：60022006（）(圈) 晶晶第 2 次被追上时所跑

12、的圈数：40022004（）(圈) 4.在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相 遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【解析】甲乙的速度和为：4004010(米/秒)，甲乙的速度差为：4002002(米/秒)，甲的速度为： 10226（）(米/秒)，乙的速度为：10224（）(米/秒) 5.在周长为 200 米的圆形跑道条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/秒，5 米/秒的骑车速度同时同向出 发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【解析】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是 200 2 100(

13、米)所需要的时间是 100 11 (秒)以后，两 人每隔 200 2 (秒)相遇一次因为 100 60 16 11 1 200 11 53.3， 16 分钟内二人相遇 53 次. 6.在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发， 按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。 那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【解析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25 （秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经

14、休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际 跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。 7.如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是 0.5 千米，A、B、C 三位运动员同时从交点 O 出发，分别 沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时 4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米。问：从出发到三人第 一次相遇，他们共跑了多少千米？ O C B A 【解析】三个运动员走完一圈的时间分别为 1 8小时、 1 16小时、 1 12小时，他们三人相遇地点只能是O点，所 以三人相遇时间是 1 8 小时、 1 16 小时、 1 12 小时的公倍数，即 1 4 小时，分别跑了

15、2 圈、4 圈、3 圈，共计 4.5 千米。 8.某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，则他后一 半路程跑了多少秒？ 【解析】44 9.如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇， C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长. 【解析】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈从出发开始算， 两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程 的 3 倍 ，

16、那 么 从A到D的 距 离 ， 应 该 是 从A到C距 离 的 3 倍 ， 即A到D是803240 (米)24060180(米)1802360(米) 课后反击课后反击 1.小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是 400 米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们比比看谁 跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果 10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快 了， 小明的速度是每分钟跑 140 米， 那么如果小明第3次从背后追上小刚时， 小刚一共跑了 米 【解析】140 104001000米，100033000米。 2.在环形跑道上， 两人在一处背靠背站好， 然后开始跑， 每隔 4

17、分钟相遇一次； 如果两人从同处同向同时跑， 每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是多少？ 【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔 4 分钟相遇一次，即两人 4 分钟共跑完一圈；当两人同向跑步 时，每 20 分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20 分钟两人速度和为：16004400(米 /分)，两人速度差为：16002080(米/分)，所以两人速度分别为：400802240（）(米/分)， 400240160(米/分) 3.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如 果在出发后 45

18、 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【解析】甲行走 45 分钟，再行走 7045=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分钟，乙行走 45 分钟也能走完 一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程 甲行走一圈需70分钟， 所以乙需70 25 45=126 分钟即乙走一圈的时间是 126 分钟 4.A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第 二次相遇已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？ 【解析】340 5.一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑

19、 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地同向出发， 经过多少分钟两人相遇？ 【解析】4004502502（）(分钟) 6.如图 1，有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑 5 米， 乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了 圈。 【解析】(10+6) (5-4.5)=32 秒，甲跑了 5 32 32=5 圈 7.一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多少分钟两人 相遇？ 【解析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 8

20、.甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多 走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【解析】176 9.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆 时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 【解析】由题意可知，两人的速度和为 1 4 ，速度差为 1 12 可得两人速度分别为 111 2 4126 和 111 2 41212 所以两人跑一圈分别需要 6 分钟和 12 分钟 10.如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端

21、A与C同时出发，绕圆周相 向而行它们第一次相遇在 离A点 8 厘米处的B点，第二次相遇在离C点处 6 厘米的D点，问，这个圆周的长是多少? 第一次第一次 相遇相遇 第二次第二次 相遇相遇 D C B A 【解析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了 8 厘米，第二 次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了 1 个半圆周，其中从A点出发的应爬行 8 324(厘米)，比半个圆周多 6 厘米，半个圆周长为83618(厘米)，一个圆周长就是： (8 36)236 (厘米) 行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相 遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段 图进行分析。 本节课我学到本节课我学到 我需我需要努力的地方是要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验