【精品】六年级奥数培优教程讲义第17讲最大最小问题(教师版)
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1、第第 1717 讲讲 最大最小问题最大最小问题 学会在题目中判断出限制条件; 学会分数知识的综合运用; 从题目限制条件中分析最大最小问题。 在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最 少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为: 在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法: 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较; 2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩 短解题过程。 人们碰到的
2、各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段 的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各 种知识。 考点一:简单最大最小问题考点一:简单最大最小问题 例例 1、把 1、2、3、16 分别填进图中 16 个三角形里,使每边上 7 个小三角形内数的和相等。问这个和 最大值是多少? 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处 D 中填的数和三条边 上的和没有关系,因此,应填最小的数 1。而三个角上的 a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次,所以要 尽可能填大数,即填 111
3、6。然后根据“三角形三边上 7 个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计 算出这个和的最大值了。 (23416111213141516)3=72 例例 2、有 8 个西瓜,它们的重量分别是 2 千克、3 千克、4 千克、4 千克、5 千克、6 千克、8.5 千克、10 千 克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克? 【解析】3 堆西瓜的总重量是 42.5 千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。 根据 42.53=14 千克0.5 千克可知: 最重的一堆是 140.5=14.5 千克, 即由 6 千克和 8.5 千克组成,另外两堆分别是 1
4、4 千克。 例例 3、一次数学考试满分 100 分,6 位同学平均分为 91 分,且 6 人分数互不相同,其中得分最少的同学仅 得 65 分,那么排第三名的同学至少得多少分?(分数取整数) 【解析】除得 65 分的同学外,其余 5 位同学的总分是 91665=481 分。 根据第三名同学得分要至少,也就说其他四人得分要尽量高,第一、第二名分别得 100 分和 99 分,而 接近的三个不同分是 93、94、95。所以,第三名至少得 95 分。 例例 4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。 现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不
5、割好、捆好,不准运输),这两组从开工到 完工最少经过多少小时? 【解析】 先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来: 大豆 7+5=12 小时, 谷子 3+6=9 小时, 高梁 5+1=6 小时,小米 5+9=14 小时。平均每个小组用(12+9+6+14)2=20.5 小时,但实际做不到。因此,根据各类 庄稼所需时间相加,使其最接近 20.5 小时。 12+9=21 小时是最少经过的时间。 例例 5、A、B、C 是三个风景点,从 A 出发经过 B 到达 C 要走 18 千米,从 A 经过 C 到 B 要走 16 千米,从 B 经 过 A 到 C 要走 24 千米。相距最近的是哪两个风景点
6、?它们之间相距多少千米? 【解析】根据题意可知,AB+BC=18 千米,AC+BC=16 千米,AB+AC=24 千米,用(18+16+24)2 就能算出 AB+BC+AC=29 千米。 因此,AC=29-18=11 千米,AB=29-16=13 千米,BC=29-24=5 千米。 B、C 两个风景点的距离最近,只相距 5 千米。 考点二:数论中的极端思想考点二:数论中的极端思想 例例 1、18 这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数 各是多少? 【解析】8531 和 7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是 8,7,百位分别是 6,5
7、。 两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是 85,另一个数的前两位是 76。 同理可确定十位和个位数。 例例 2、有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如 257,1459 等等,这类数中最大的自然数是多少? 【解析】要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故 10112358 满足条件如 果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取 1 与 0。 例例 3、某国家的货币中有 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元五种,为了能支付 1 元、2 元100 元的钱数(整
8、数元),那么至少需要准备货币多少张? 【解析】为了使货币越少越好,那么 9 元的货币应该尽量多才行。当有 10 张 9 元时,容易看出 1、1、3、5 这四张加上后就可以满足条件。当 9 元的货币超过 11 张时,找不到比 14 张更少的方案。当 9 元的货币少 于 10 张时,至少有 19 元需要由 5 元以下的货币构成,且 1 元的货币至少 2 张,这样也找不到比 14 张更少 的方案。综上分析可以知道,最少需要 10 张 9 元的、2 张 1 元的、1 张 3 元的、1 张 5 元的,共 14 张货币。 例例 4、a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数,求ab a+b 的最大值。
9、 【解析】根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以 b=1;由 b=1 可知,分母比分子大 2,也就 是说,所有的分数再添两个分数单位就等于 1,可见应使所求分数的分数单位尽可能小,因此 a=99 ab a+b 的最大值是991 99+1 =49 50 答:ab a+b 的最大值是49 50 例例 5、有甲、乙两个两位数,甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少? 【解析】甲数:乙数=2 3 : 2 7 =7:3,甲数的 7 份,乙数的 3 份。由甲是两位数可知,每份的数量最大是 14, 甲数与乙数相差 4 份,所以,甲、乙两数的差是 14(7-3)=56。 例例
10、6、将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个 192 位数:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去 100 个数字,那么剩下的 92 位数最大是多少?最小是多少? 【解析】要得到最大的数,左边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码,其中有 6 个 9,要想左边 保留 6 个 9,必须划掉 159 中的 109-6103(个)数码,剩下的数码只有 192103=89(个),不合题意, 所以左边只能保留 5 个 9,即保留 149 中的 5 个 9,划掉 149 中其余的 84 个数码。然后,在后面再划 掉16个数码,尽量保留大数(见下图):
11、 所求最大数是 999997859606199100。 同理,要得到最小的数,左边第一个数是 1,之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码,其中有 5 个 0,划 掉其余 90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉 15 个数码,尽量保留小数(见下图): ;所求最小数是 10000012340616299100。 考点三:智巧趣题的极端思想考点三:智巧趣题的极端思想 例例 1、99 个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一 个苹果问:这群小朋友最多有几位? 【解析】1+2+3+13=9199,1+2+3+14=10599,说明若 13 位各分得
12、 1,2,3,13 个苹果,未 分完 99 个,若 14 位各分得 1,2,3,14 个苹果,则超出 99 个因 91+8=99,在 13 位上述分法中若把 剩下的 8 个苹果分别加到后 8 位人上,就可得合题意的一个分法:13 人依次分 1,2,3,4,5,7,8,9, 10,11,12,13,14 个。所以最多有 13 位小朋友。(注:13 人的分法不唯一) 例例 2、某学校,星期一有 15 名学生迟到,星期二有 12 名学生迟到,星期三有 9 名学生迟到,如果有 22 名 学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人? 【解析】三天都迟到的要尽量多,则将迟到的 22 人
13、次分为仅迟到一次和三天都迟到的。可求出三天都迟到 的学生最多有: (15+12+9-22) 2=7(人)。 例例 3、如图,司机开车按顺序到五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车。第一站上了一批学生,以后 每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时,车上最少有多少学生? 【解析】因为每个站都有学生上车,所以第五站至少有 1 个学生上车假如第五站只 有一个学生上车,那么第四、三、二、一站上车的人数分别是 2,4,8,16 个因此 五个站上车的人数共有 1+2+4+8+16=31(人),很明显,如果第五站有不止一个学生上 车,那么上车的总人数一定多于 31 个。所以,最少有 31 个学生
14、。 例例 4、若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和 老师共有 22 人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多 2 人,至少有 1 名男老师,那么在这 22 人中,爸爸有多少人? 【解析】家长比老师多,所以老师少于 22 2=11 人,即不超过 10 人;相应的,家长就不少于 12 人。在至 少 12 个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于 12 2=6 人,即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人, 所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个,并且还至少有 1 个男老师,所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师,共 10
15、个。那么,在 12 个家长中,就有 7 个是妈妈。所以,爸爸有 12-7=5 人。 例例 5、三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求所有这样的 6 个三位数中的最小 的三位数。 【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以,2886222 能得到三个数字的和。 设三个数字为 a、b、c,那么 6 个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba (a+b+c)1002+(a+b+c)1002+(a+b+c)1002 (a+b+c)222 2886 即 a+b+c288622213 答:所有这样的 6 个三位数中,最小的三
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