【精品】六年级奥数培优教程讲义第11讲-周期工程问题（教师版）

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1、 第第 1111 讲讲 周期工程问题周期工程问题 了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； （1 1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； （2 2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；的统一和转换； （3 3） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题

2、目中工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用的应用 考点一：考点一：周期性工程问题 例例 1 1、一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙顺序 交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？ 【解析】甲1小时完成整个工程的 1 6 ，乙1小时完成整个工程的 1 10 ，交替干活时两个小时完成 整个工程的 114 61015 ，甲、乙各干3小时后完成整个工程的 44 3 155 ，还剩下 1 5 ，甲再干1小 时完成整个工程的 1 6 ，还剩下 1 30 ，乙花 1 3 小时即20分钟即可完成所以需要7小时20分钟来 完成整个工程 例例 2 2

3、、一项工程，乙单独做要17天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那 么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做 法多用半天完工问：甲单独做需要几天？ 【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于 典例分析 知识梳理 教学目标 甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的那 么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的如果设甲、乙工作效率分别为 1 V 和 2 V，那么 121 1 2 VVV，所以 12 2VV，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲

4、单独做需要1728.5天 例例 3 3、蓄水池有一条进水管和一条排水管要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水， 单开排水管需3小时现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各 开1小时问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟) 【解析】法一： 1小时排水比1小时进水多 112 3515 ， 121 3 21510 ，说明排水开了3小时后（实际 加上进水 3 小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的 1 10 ， 再过1小时，水池里的水为一池子水的 113 10510 ， 把这些水排完需要 319 10310 小时，不到 1 小时， 所以共需要 99 617 1010

5、 小时7小时54分 法二： 1小时排水比1小时进水多 112 3515 ， 211 4 15230 ， 说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的 1 30 ， 排一池子需要3小时，排一池子水的 1 30 需要 11 3 3010 小时， 所以实际需要 19 87 1010 小时7小时54分 考点二：考点二：水管问题 例例 1 1、一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满；乙、丙两管同时开，4 小时灌满现在先开 乙管 6 小时， 还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？ 【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管 6 小时，还需甲、 丙

6、两管同时开 2 小时灌满”，我们可以把乙管的 6 小时分成 3 个 2 小时，第一个 2 小时和甲同 时开，第二个 2 小时和丙同时开，第三个 2 小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开 2 小 时，乙、丙同时开 2 小时，乙单独开 2 小时，正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水的工作 量为 111 122 5410 ， 所以乙的工作效率为：1 1 (622) 1020 ， 所以整池水由乙管单独灌水， 需要 1 120 20 （小时） 例例 2 2、一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空， 如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开

7、 13 个水龙头，问要多少时间才能把 水放空？ 【解析】 先计算 1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比 1小时半多60分钟， 多流入水 4 60= 240 （立方米） .时间都用分钟作单位， 1 个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90） = 8（立方米），8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90，其中 90 分钟内流入水 量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）.打开 13 个 水龙头每分钟可以放出水 813， 除去每分钟流入 4， 其余将放出原存的水， 放空原存的 5400， 需要 5400 （8 13- 4）=54（

8、分钟）.所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟.水池中 的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存 有的水.这在题目中却是隐含着的. 考点三：考点三：比例法及工资分配问题 例例 1 1、有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短 来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20 天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如 果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工 _天.需要支付

9、速度最快的队伍_元. 【解析】甲乙丙的工效和为 1117 2 10122060 ，所以甲的工效为 711 602015 ，乙的工效为 711 601230 ， 丙的工效为 711 601060 ， 所以从时间上考虑， 应该选择甲， 会比丙早完工601545 天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是 180001200015000 ()21825 102012 （元），所以甲的 每日费用为18256001225（元） ， 乙的费用为18251250575（元） ， 丙的费用为1825180025 （元），所以需要支付速度最快的队伍1225 1518375（元） 例例 2 2、一项工程，甲 15 天

10、做了 1 4 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 1 4 ，这时丙也加入进甲、 乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比为 3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比 为 2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天? 【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：；且易知甲的工作效率为 1 . 60 又乙、 丙工作的天数之比为(+)：=2：1，所以有阶段和阶段所需的时间相等即甲、乙合 作完成的 1 4 的工程与甲、乙、丙合作完成 111 1 442 的工程所需的时间相等所以对于工作效 率有： (甲+乙)2=(甲+乙+丙)， 甲+乙=丙， 那么有丙-乙= 1 . 60 又有乙、 丙的工作效率的比为 3： 5

11、易知乙的工作效率为 3 , 120 丙的工作效率为： 5 . 120 那么这种情形下完成整个工程所需的时间 为： 113118 15()()156627 460120260120 天. 方法二：显然甲的工作效率为 1 60， 设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x所 以有乙工作的天数为 1111 (3 )(8 ), 460260 xx丙工作的天数为 11 (8 ). 260 x且有 111111 (3 )(8 )2(8 ). 460260260 xxx即 1111 (3 )(8 ), 460260 xx解得 1 . 120 x 所以 乙的工作效率为 3 , 120 丙的工作效率为高 5

12、. 120 那么这种情形下完成整个工程所需的时间 为： 113118 15()()156627 460120260120 天. 课堂狙击 1.一项工程，甲单独完成需 l2 小时，乙单独完成需 15 小时。甲乙合做 1 小时后，由甲单独做 1 小时，再由乙单独做 1 小时，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用_小时。 【解析】甲乙合做 1 小时后，还剩下： 1117 1 151220 ，甲乙单独做 2 小时，共做 113 151220 ， 还需要做 2 5=10 小时，还剩下 1 10 ，需要甲做 1 小时，还有 111 101260 ，乙还需要做 111 60154 小时，一共需要 1+10+

13、1+ 0.25=12.25 小时 2.规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做 1 个小时，第二个人接着做一个小时，然后再 由第一个人做 1 个小时，然后又由第二个人做 1 个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮 流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程 需要多少小时？ 【解析】 根据题意， 有： 10.8 10.6 甲乙甲乙甲小时乙小时 乙甲乙甲乙 小时 甲小时 ， 可知， 甲做10.60.4小时与乙做10.80.2 小时的工作量相等，故甲工作 2 小时，相当于乙 1 小时的工作量，所以，乙单独工作需要 9.85527.3小时 3.蓄水池有甲、

14、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开 丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有 1 6 的 水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始 溢出水池？ 【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水： 11117 345660 ，循环5次后水池还空： 实战演练 171 15 6604 ， 1 4 的工作量由甲管注水需要： 113 434 (小时)，所以经过 33 4520 44 小时后 水开始溢出水池 4.某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需 12 小时注满，单开乙管需 24 小时注满，若

15、要求 10 小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时 【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时 间最小所以，乙开放的时间为 11 1104 1224 (小时)，即甲、乙最少要同时开放 4 小时 5.一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入 18 吨水时，水 箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲 管每分钟注水量的 2 倍则该水箱最多可容纳多少吨水？ 【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍那么甲管注入 18 吨水的时间是 乙管注

16、入18236吨水的时间，则甲管注入 18 吨水的时间与乙管注入 27 吨水的时间比是 36:274:3那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多 注入27189吨水，则甲管注入 18 吨水时，丙管注入水9(43)436吨 所以该水箱最多可容纳水183654吨 6.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资按两队原计划的工作效率，乙队 应获 5040 元实际上从第 5 天开始，甲队的工作效率提高了 1 倍，这样甲队最终可比原计划 多获得 960 元那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 【解析】开始时甲队拿到840050403360元，甲、乙的工资比等于

17、甲、乙的工效比，即为 3360:50402:3；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17设 甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天才能完成任务有 (2 44 ):(3 43 )18:17xx， 化 简 为2 1 65 41 3 66 8xx， 解 得 40 7 x 工 程 总 量 为 40 54760 7 ，所以原计划60(23)12天完成 7.某工地用3种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比 为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7工程开

18、始时，乙、 丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一 共干了25天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以 它们运送1次所需的时间之比为 15 14 1457 14 : 689249 ，相同时间内它们运送的次数比为： 249 : 5 7 14 在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7由于三种 卡车载重量之比为10:7:6，所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42那么三种卡车在前10天 内的工作量之比为： 24

19、9 50: 35: 4220:20:27 5714 在后15天，由于甲车全部投入使用， 所以在后15天里的工作量之比为40:20:27所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为： 20 1040 1532 202027104020271579 ()() 8.一项工程，甲、乙两队合干需 2 2 5 天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需 3 3 4 天，需支 付工程款2400元；甲、丙两队合干需 6 2 7 天，需支付工程款2400元如果要求总工程款尽量少， 应选择哪个工程队？ 【解析】甲、乙一天完成工程的 25 12 512 ；乙、丙一天完成工程的 34 13 415 ；甲、丙一天完

20、成工程的 67 12 720 所以，甲的工效为 5741 ()2 1220154 ；乙的工效为 511 1246 ；丙的工效 为 711 20410 甲、 乙一天需工程款 2 22082920 5 (元)； 乙、 丙一天需工程款 3 24003640 4 (元)； 甲 、 丙 一 天 需 工 程 款 6 24002840 7 ( 元 ) 所 以 ， 甲 一 天 的 工 程 款 为 (920840640)2560(元)；乙一天的工程款为920560360(元)丙一天的工程款为 840560280(元)单独完成整个工程，甲队需工程款56042240(元)；乙队需工程 款36062160(元)；丙队

21、需工程款280 102800(元)所以应该选择乙队 课后反击 1、一项工程，甲单独做要 12 小时完成，乙单独做要 18 小时完成若甲先做 1 小时，然后 乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时，两人如此交替工作，请问：完成任务 时，共用了多少小时？ 【解析】 若甲、乙两人合作共需多少小时？ 1151 117 1 21 83 65 （小时） 甲、乙两人各单独做 7 小时后，还剩多少？ 113 51 171 1 21 83 63 6 余下的 1 36 由甲独做需要多少小时？ 111 3 61 23 （小时） 共用了多少小时？ 11 7214 33 （小时） 2、一项工程，甲、乙合作 3

22、12 5 小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流 做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要 多 1 3 小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做 法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多 1 3 小时，与题意不符所以第一种做法的最 后一小时是甲做的，第二种做法中最后 1 3 小时是甲做的，而这 1 3 小时之前的一小时是乙做的， 所以乙 1 3 甲甲，得乙 2 3 甲甲、乙工作效率之和为： 35 1 12 563 ，甲的工作效率为： 5

23、231 (1) 6336321 ， 所以甲单独做的时间为 1 121 21 (小时) 3、一项工程，甲队单独完成需 40 天。若乙队先做 10 天，余下的工程由甲、乙两队合作，又 需 20 天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需_天。 【解析】甲每天完成 1 40 ，甲乙合作中，甲一共完成 201 402 ，所以乙也一共完成 1 2 ，乙每天完成 1 60 ，乙单独做要 60 天. 4、 有一项工程， 甲单独做需要 36 天完成， 乙单独做需要 30 天完成， 丙单独做需要 48 天完成 现 在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后 完成这项工程也用了

24、整数天那么丙休息了 天 【解析】 设甲、 乙工作了x天， 丙工作了y天， 则有： 111 1 363048 xy ， 化简得4415720xy 由 于15y和 720 都是 15 的倍数，所以x也是 15 的倍数，而7204417x ，所以15x ，4y ， 所以丙休息了15411天 5、一个蓄水池装有 9 根水管，其中 1 根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。开始进水管以 均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内 的水再全部排光。如果把 8 根出水管全部打开，需要 3 小时可将池内的水排光；而若仅打开 3 根出水管，则需要 18 小时。问如果想要

25、在 8 小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出 水管？ 【解析】设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(3 188 3)(183)2 ，原有水量为 (82) 318 ，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18824.25根出水管， 每根出水管 1 小时排水 1 份，又出水管的根数是整数，故最少要打开 5 根出水管。 6、某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标三家公司的竞标条件如 下： 公司名称 单独完成工程所需天数 每天工资/万元 甲 10 5.6 乙 15 3.8 丙 30 1.7 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？ 如果想尽量降低

26、工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？ 【解析】如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司 由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为 1 10 、 1 15 、 1 30 ，所以应 该选择甲、乙这两家公司合作 甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为 11 1()6 1015 天； 如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司 由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.6 1056万元、 3.8 1557万元、1.73051万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作 甲、丙两公司合作需要 11 1()7.5 1030 天

27、才能完成工程，完工时要付的工资为： (5.6 1.7) 10000 7.5547500元 7、一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做此 项工程需6个月完成，每月耗资5万元 请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ 现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务， 又最大限度节省资金 【解析】甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的 1 4 、 1 6 ，那么甲、乙合作所需 时间为： 11 1()2.4 46 个月；甲、乙合作2.4个月所耗资金为：(95)2.433.6(万元) 甲工程队完成全部工作要耗资9436万元

28、，乙工程队完成全部工作要耗资5630 万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无 法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程所以， 在五个月内完成的最好方案为：乙工程做5个月，甲工程队做 512 (1) 643 个月，即： 甲、乙两工程队合作 2 3 个月后，乙工程队再单独做 13 3 个月 解题过程中，我们会发现，解答解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效 率可以通过工作时间得到，而有些则要根据率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄进程变化规律得到。在解题时，我们要弄 清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量工作量=工作效率工作效率 工作时间工作时间 工作时间工作时间=工作量工作量 工作效率工作效率 工作效率工作效率=工作量工作量 工作时间工作时间 名师点拨 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是