【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第09讲-比的应用(教师版)
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1、 第第 0909 讲讲 比的应用比的应用 教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题; 进一步体会比的意义,感受比在生活中的广泛应用,提高解决问题的能力。 在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行
2、分配的问题,也为以后学习“比例比例”“”“比比 例尺例尺”奠定了基础。奠定了基础。 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。 考点一:简单的数比的应用考点一:简单的数比的应用 我们已经学过比的知识, 都知道比和分数、 除法其实是一回事, 所有比与分数能互相转化。 运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。 例例 1
3、 1、甲数是乙数的 2/3,乙数是丙数的 4/5,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。 【解析】甲、乙两数的比 : 2:3 乙、丙两数的比 : 4:5 甲、乙、丙三数的比 8:12:15 答:甲、乙、丙三数的比是 8:12:15。 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 2 2、光明小学将五年级的 140 名学生,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小 组人数的比是 2:3,第二小组和第三小组人数的比是 4:5。这三个小组各有多少人? 【解析】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比 2:3 二、三两组人数的比 4:5 一、二、三组人数的比 8:12:
4、15 总份数:8+12+1535 第一组:1408/3532(人) 第二组:14012/3548(人) 第三组:14015/3560(人) 答:第一小组有 32 人,第二小组有 48 人,第三小组有 60 人。 例例 3 3、甲、乙两校原有图书本数的比是 7:5,如果甲校给乙校 650 本,甲、乙两校图书本数的 比就是 3:4。原来甲校有图书多少本? 【解析】由甲、乙两校原有图书本数的比是 7:5 可知,原来甲校图书的本数是两校图书总数 的 57 7 ,由于甲校给了乙校 650 本,这时甲校的图书占两校图书总数的 43 3 ,甲校给乙校的 650 本图书,相当于两校图书总数的 57 7 43
5、3 84 13 。即: 650( 57 7 43 3 ) 57 7 2450(本) 答:原来甲校有图书 2450 本。 例例 4 4、从前有个农民,临死前留下遗言,要把 17 头牛分给三个儿子,其中大儿子分得 1/2,二 儿子分得 1/3,小儿子分得 1/9,但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不 好分。后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗? 【解析】因为 1/2+1/3+1/917/18,17/181,就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们 求出三个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比:1/2:1/3:1/99:6:2 总份
6、数:9+6+217 三个儿子各分得牛的头数:179/179(头)176/176(头)172/172 (头) 答:大儿子分得 9 头,二儿子分得 6 头,小儿子分得 2 头。 例例 5 5、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3:1,另一个瓶中酒精 与水的体积之比是 4:1。若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少? 【解析】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 3/(1+3) 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 4/(1+4) 4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比: 3/4+4/5
7、31/20 水占一个瓶子容积的比: 231/20 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20:9/2031:9 答:混合液中酒精与水的比是 31:9。 考点二:用比解应用题考点二:用比解应用题 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍 数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 例例 1 1、甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走 1/5 的路,而乙走的时间比甲少 1/11,求甲、 乙两人速度的比。 【解析】因为 速度路程时间,所以,甲、乙速度的比 甲时间 甲路程 : 乙时间 乙路程 (1)甲、乙路程的比:(1+1/5):16:5 (2)甲、乙时间的比:1:(1
8、1/11)11:10 (3)甲、乙速度的比:6/11:5/10=12:11 答:甲、乙速度的比是 12:11。 例例 2 2、制造一个零件,甲需 6 分钟,乙需 5 分钟,丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个零件的制造 任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件? 【解析】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作效率的比进行解 答。 甲、乙、丙工作效率的比: 1/6:1/5:1/1.515:18:20 总份数:15+18+2053 甲 :159015/53450(个) 乙:159018/53540(个) 丙:159020/53600(个) 答
9、:甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、540 个、600 个。 例例 3 3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6:5,两厂西服价格的比是 11:10。已知两厂 这个月内总产值为 6960 万元。两厂的产值各是多少万元? 【解析】因为产值价格产量,所以 甲产值:乙产值(甲价格甲产量):(乙价格乙产量) 两厂的产值比为:(116):(105)66:50 甲厂产值为:696066/(66+50)3960(元) 乙厂产值为:696050/(66+50)3000(元) 答:两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元。 例例 4 4、A、B 两种商品的价格比是 7:3。如果它们的价格分别
10、上涨 70 元,它们的价格比就是 7: 4,这两种商品原来的价格各是多少元? 【解析】解法一:因为 A、B 两种商品涨价的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由 于价格差不变, 所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比7:321:9 现价格比7:428:16 【这样前后项的差都是 12,价格涨了(2821)7 份,是 70 元】 70(2821)10 元 A:1021210(元) B:10990(元) 解法二:由于两种商品的价格不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 (1)原来 A 商品的几个是价格差的几倍 7(73)7/4 (2)后来 A 商品的价格是价格差的几倍 7(74)7
11、/3 (3)A、B 两种商品的价格差是 70(7/37/4)120(元) (4)原来 A 商品的价格是 120(73)7210(元) (5) 原来 B 商品的价格是 120(73)390(元) 答:A、B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元。 例例 5 5、如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是 1:2。 王刚以每小时 4 千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时 10 千米的速度从乙地骑自 行车去丙地,他比王刚早 1 小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米? 【解析】解法一:根据路程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时间,
12、再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比 1/4:2/105:4 王刚所用的时间 1(54)55(小时) 甲地到丙地的路程 4520(千米) 甲、乙两地的路程 20(1+2)60(千米) 解法二:如果李华每小时行 428 千米,他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时 多行 1082 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了 101 10 千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间 10 1(1042)5(小时) 甲、乙两地的路程 45(1+2)60(千米) 解法三:如果王刚每小时行 1035 千米,就能和李华同时到达。由此可见,王刚 走完甲地到丙
13、地的路程,用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比,所用的时间相差 1 小时。再根据 1 千米的路程,两种速度所用的时间相差 1/41/5 1/20 小时。最后求出甲 地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程 1(1/41/(102)20(千米) 甲、乙两地的路程 20(1+2)60(千米) 答:甲、乙两地相距 60 千米。 课堂狙击课堂狙击 1、甲数是乙数的 4/5,乙数是丙数的 5/8,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。 【解析】因为甲数:乙数=4:5, 乙数:丙数=5:8; 所以甲:乙:丙=4:5:8; 故答案为:4:5:8 实战演练 2、某农场把 61600 公亩耕地划
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