【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第04讲-分数裂项求和(教师版)
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1、第第 04 讲讲 分数裂项求和分数裂项求和 会找通项,并能利用通项来裂项; 在通项不易找到时,会观察、改造、运用公式来做适当变形或先进行一部分运算使新的 通项易于找到,从而进一步裂项。 一、一、“裂差裂差”型运算型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分裂项分为分 数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂数字单位的和或差。遇到裂 项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分
2、母之间具有的相同的关系,项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系, 找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找 到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数, 即对于分母可以写作两个因数乘积的分数, 即 1 ab 形式的, 这里我们把较小的数写在前面,形式的, 这里我们把较小的数写在前面, 即即ab,那么有,那么有 1111 () abba ab (
3、2)对于分母上为对于分母上为 3 个或个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即:个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2)nnn , 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的,我们有:形式的,我们有: 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 二、二、“裂和裂和”型运算型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式:常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) 11abab abababba (2) 2222 ababab a ba ba bba 裂和型运算与裂差型运算的对比:裂和型运算与裂差型
4、运算的对比: 教学目标 知识梳理 裂差型运算的核心环节是裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有,裂和型运算的题目不仅有“两两抵两两抵 消消”型的,同时还有转化为型的,同时还有转化为“分数凑整分数凑整”型的,以达到简化目的。型的,以达到简化目的。 例例 1、 11111 1 223344556 。 【解析】原式 111111115 122356166 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为: 1111 1 33 55779 ,计算过程就要 变为: 1111111 1 33 55779192 例例 2、 1111 11212312100
5、【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要 从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和 运算公式的代入有 112 (1 1) 1 11 2 2 , 112 (12)2 122 3 2 , 原式 2222120099 2(1)1 1 22334100 101101101101 例例 3、 111111 1 3610152128 【解析】原式 1111 1 1212312341234567 222 1 233478 1111111 2 2233478 1 21 8 7 4 例例 4、计算: 11111 123420
6、261220420 【解析】原式 11111 12320 261220420 11111 210 1 2233 4452021 1111111 2101 223342021 典例分析 120 2101210 2121 例例 5、 111 1 2323478 9 【解析】首先分析出 111111 11211211 nn nnnnnnnnnn 原式 111111111 21 22 32 33 4677 87 88 9 111 21 28 9 35 144 例例 6、 9998971 1 2323434599 100 101 【解析】 99 1 23 1001 1 23 100 1 23 1 23
7、100 1 23 1 23 98 234 1002 234 100 234 2 234 100 234 1 34 97 345 1003 345 100 345 3 345 100 345 1 45 1 99 100 101 10099 99 100 101 100 99 100 101 99 99 100 101 100 99 100 101 1 100 101 原式 100100100100111 .(.) 1 2323434599 100 1012334100 101 1111151 100()()24 22101002101101 例例 7、计算:、计算: 34512 1 24523
8、56346710 11 13 14 【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是 5 个连续自然数的乘积, 所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即: 原式 2222 34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母 的对称性,可以用平方差公式: 2 31 54 , 2 4264, 2 53 74 原式 2222 34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 1 542643 7410 144 1 2
9、345234563456710 11 12 13 14 1111 23434545611 12 13 4444 1 2345234563456710 11 12 13 14 1111111 22334344511 1212 13 111111 1 23423452345345610 11 12 1311 12 13 14 11111 22312 131 23411 12 13 14 1111 122 12 132411 12 13 14 1771 811 12 13 14 11 82 11 14 1175 8308616 例例 8、计算: 22222222 2222 13243598100 2
10、13141991 【解析】 22 2 1310 213 , 22 2 2420 318 , 22 2 3534 4115 ,由于 104 2 33 , 204 2 88 , 344 2 1515 , 可见原式 2222 4444 2222 213141991 1111 2984 1 3243 598 100 11111111 19641 23243598100 111 19621 299100 199 19632 9900 4751 198 4950 例例 9、计算:计算: 111111 234598 99515299 【解析】原式 111111111 24983599515299 11111
11、1111 2 245 0354 95 25 49 8 111111111 245 0354 92 62 74 9 1111111111 2 242 4352 52 62 84 85 0 1111111111 242 4352 51 31 42 45 0 11111111111 2 241 2351 11 41 62 45 02 5 11111111111 241 2351 1781 25 02 5 1111111111 2 2463581 01 25 02 5 1111111111 246354565 02 5 114 9 1 5 02 55 0 课堂狙击课堂狙击 1、 111 10 1111
12、 125960 【解析】原式 111111111 ()()() 101111125960106012 2、计算:计算: 11111111 () 128 8244880120168224288 【解析】原式 1111 128 24466 816 18 () 1111111 128 224461618 () 11 64 218 () 4 28 9 3、计算:计算: 1111 1 3 53 575792001 20032005 【解析】原式 1111111 41 33 53 55 72001 20032003 2005 实战演练 1111004003 41 32003200512048045 4、计
13、算:计算: 1511192997019899 2612203097029900 【解析】原式 1111 1111 26129900 111 99 1 22399 100 11111 991 22399100 1 991 100 1 98100 5、 123456 1 21 231 23 41 23 451 23 4561 23 4567 【解析】原式 13 141516171 1 21 231 23 41 23 451 23 4561 23 4567 111111 1 21 21 231 231 2341 234567 111 1 21 21 23 4567 1 1 5040 5039 504
14、0 6、计算:计算: 283411 1222222 1 33 55 717 191 3 53 5 717 1921 【解析】 341199 222224422 1 3 53 5 717 19211 33 53 55 717 191921 89 22422 1 33 55 717 1919 21 所以原式 889 12222422 1 33 517 191 33 55 717 191921 9 215 1 21 3 33 7 9 1 92 1133 9 93 9 9 7、计算:计算: 2399 3!4!100! . 【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然
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