江苏省盐城市二校联考2020年6月高三第二次调研考试数学试题及附加题（含答案解析）

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1、一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题纸相应的位置上 ） 1已知集合1 20Ax xx，集合BZ，则AB _. 2若i是虚数单位，复数 1 2zaii是纯虚数，则实数a的值为_. 3在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们 成绩的方差等于_. 4若 1,0,1,2a ，则方程 2 20xxa有实根的概率为_. 5如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_ 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45，且过点 3,1，则双曲线的焦距等 于_. 7已知等差数列 n a

2、的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN.若 1 a与 5 a的等差中项为 8，则 pq_. 8如果命题 0px ： ， 4 957xm x 为真命题，则实数 m 的取值范围是_ 9函数 2sinf x xax在0, 2 上的单调递减，则实数a的取值范围为_. 10边长为 2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中 B，D 分别为 AC，CE 的中点，N 为 GD与 CF 的交点，则AN EG _ 11已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为_. 12定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ，若函数 x f xg xe，则满足不等 式 2 33f aa

3、f a 的实数a的取值范围是_ 13在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :1O xy， 2 2 1: 44Oxy，动点P在直线 30xyb上，过P点分别作圆 1 ,O O的切线，切点分别为,A B，若满足 2PBPA的点P有且只有 两个，则实数b的取值范围是_ 第 2 页 14 已知函数 2222 11 ( )2 (cos)sincos(sin) 22 f， 若集合 ( )aR fm ， 则实数m的取值范围为_. 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，

4、PC 平面ABCD，AB/ /CD，CDAC，过CD的平面分别 与,PA PB交于点,E F （1）求证：CD平面PAC； （2）求证：/ /ABEF 16 （本小题满分 14 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2 sincosbCaCcoscA， 2 3 B ， 3c . （1）求角C； （2）若点E满足 2AEEC ，求BE的长. 17 （本小题满分 14 分） 第 3 页 已知椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 3 e ，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点  （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l过椭

5、圆的右焦点 F，且2AFFB，求直线 l方程 18 （本小题满分 16 分） 如图所示，某区有一块空地OAB，其中4OAkm，4 3OBkm， AOB90 .当地区政府规 划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中,M N都在边AB上，且 30MON，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地 带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN的周围安装防护网. （1）当2AMkm时，求防护网的总长度； （2） 若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍， 试确定AOM的大小； （3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方 案，可

6、使OMN的面积最小？最小面积是多少？ 19 （本小题满分 16 分） 第 4 页 设函数 12 xx f xxeaee， (1)当0a时，求函数( )f x图象在1x 处的切线方程； （2）求 f x的单调区间； （3）若不等式 0f x 对2,x恒成立，求整数a的最大值. 20 （本小题满分 16 分） 对于 *, nN 若数列 n x满足 1 1, nn xx 则称这个数列为“K数列”. （1）已知数列 1, 2 1,mm是“K数列”,求实数m的取值范围; （2）是否存在首项为1的等差数列 n a为“K数列”,且其前n项和 n S使得 2 1 2 n Snn恒成立?若存 在,求出 n a的

7、通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列 n a是“K数列”,数列 1 2 n a 不是“K数列”,若 1 , 1 n n a b n 试 判断数列 n b是否为“K数列”,并说明理由. 第 5 页 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研考试 数学试题    20206 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 10 02 A ， 12 06 B ，求矩阵 1 A B . B选修 44：坐标

8、系与参数方程 在极坐标系中， 已知圆:2 2cosC和直线:() 4 l R相交于,A B两点， 求线段AB的长. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 22（本小题满分 10 分） 设 2 012 ()n rn rn qxaa xa xa xa x,其中 * ,qR nN. （1）当1q 时,化简: 0 1 n r r a r ; （2）当q n 时,记 01 0 , 2 n nnr r n aa ABa ,试比较 n A与 n B的大小. 第 6 页 23.（本小题满分 10 分） 一种新的验血技术可以提高血液检测

9、效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本，其中只有 1 份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中( 3)n 份血液样本分别取样，然后再混合在一起进 行检测，若检测结果为阴性，则对另外 3 份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳 性，测对这( 3)n 份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止. （1）若6n，求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若8n ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X， 求X的概率分布； 求()E X. 第 7 页 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研考试 数学试题参考答案 第

10、I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题纸相应的位置上 ） 1已知集合1 20Ax xx，集合BZ，则AB _. 【答案】0,1 【解析】因为120Ax xx12xx ,BZ,所以0,1AB , 2若i是虚数单位，复数 1 2zaii是纯虚数，则实数a的值为_. 【答案】2 【解析】复数1 2zaii 2 22aiaii 221aai 因为z为纯虚数，所以20a,210a ，所以2a. 3在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们 成绩的方差等于_. 【答案】38 【

11、解析】5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为 80， 78 8582 695 80a ，解得：86a， 222222 1(78 80)(8580)(8680)(8280)(6980) 38 5 s，则他们成绩的方差等于 38. 4若 1,0,1,2a ，则方程 2 20xxa有实根的概率为_. 【答案】 3 4 【解析】方程 2 20xxa有实根， 2 240a ，解得1a 1,0,1a 时满足要求， 则方程 2 20xxa有实根的概率为 3 4 . 5如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_ 【答案】10 【解析】第一步：1i ，0 1 1S ； 第一步：2i ，1

12、 23S ； 第一步：3i ，3 36S ； 第一步：4i ，6410S ；故输出的结果为10 第 8 页 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45，且过点 3,1，则双曲线的焦距等 于_. 【答案】8 【解析】双曲线的渐近线方程为 b yx a ，由题意可得1 b a ，ba ，所以，双曲线的标准方程为 22 22 1 xy aa ，将点 3,1的坐标代入双曲线的标准方程得 22 91 1 aa ，得 2 2ab ， 因此，双曲线的焦距为 22 22 48ab . 7已知等差数列 n a的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN.若 1

13、a与 5 a的等差中项为 8，则 pq_. 【答案】2 【解析】由等差数列 n a的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN ， 由等差数列的性质可得0q ，又 1 a与 5 a的等差中项为 8，即 15 16aa， 即 15 5 () 5 40 2 aa S ，即25 1040p ，即2p ，即202pq， 8如果命题 0px ： ， 4 957xm x 为真命题，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】|1m m 【解析】命题 p 为真命题，即当0x时，不等式 4 957xm x 恒成立， 又当0x时， 44 92912xx xx ，当且仅当 4 9x x ，即 2 3 x 时，

14、 4 9x x 取得最小值 12， 故5712m ，解得1.m 9函数 2sinf x xax在0, 2 上的单调递减，则实数a的取值范围为_. 【答案】2,) 【解析】因为 2sinf xxax，0, 2 x ，所以 2cosfxxa ， 因为函数 2sinf xxax在0, 2 上的单调递减， 第 9 页 所以 2cos0fxxa 在0, 2 上恒成立，即2cosax在0, 2 x 上恒成立， 因为 2cosg xx在0, 2 x 上单调递减，所以 max 02cos02g xg所以2a，即 2,a 10边长为 2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中 B，D 分别为 AC，CE 的中

15、点，N 为 GD与 CF 的交点，则AN EG _ 【答案】 7 2 【解析】由已知得 1 22 2 ANABCNABAH， 3EGDEDGABCHABAHACABAH ，所以 22 111 2( 3)6| 222 AN EGABAHABAHABAB AHAH 因为等边三角形的边长 为 2，所以 22 1117 6 11 22 2222 AN EG 11已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为_. 【答案】 3 8 3 r 【解析】 设圆锥的高为h， 底面半径为R， 在截面图中，SCh，OCODr，BCR， 根据圆锥与球相切可知，D、C均为球O与外切圆锥的切点，则 2 SCBSDO 又

16、OSDBSC，SODSBC， BCSC ODSD ，即 22 () Rh r hrr ， 222 ()2 hrhr R hrrhhr ， 圆锥体积为 22 2 1 ( ) 33(2 ) r h V hR h hr ， 2 2 (4 ) ( ) 3(2 ) r h hr V h hr ，令( )0V h 可得4hr，则 04hr时， ( )0V h ；4hr时，( )0V h ， ( )V h 在(0,4 ) r单调递减，在(4 ,)r 单调递增，  则 3 min 8 ( )(4 ) 3 V hVrr. 第 10 页 12 定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ，

17、若函数 x f xg xe， 则满足不等式 2 33f aaf a 的实数a的取值范围是_ 【答案】3,1 【解析】由函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ，得 ,0 0,0 ,0 x x ex f xx ex ， 根据指数的性质可得函数 f x在R上是增函数， 又由 2 33f aaf a ，则 2 33aaa，解得31a 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等 式 2 33aaa是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据 函数的单调性和奇偶性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，即可求解 13

18、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :1O xy， 2 2 1: 44Oxy，动点P在直线 30xyb上，过P点分别作圆 1 ,O O的切线，切点分别为,A B，若满足 2PBPA的点P有且只有 两个，则实数b的取值范围是_ 【答案】 20 (,4) 3 . 【解析】由题意 O(0,0),O1(4,0).设 P(x,y)，则PB=2PA， 2 222 4421xyxy ， (x4)2+y2=4(x2+y2)，x2+y2+ 816 33 x=0，圆心坐标为 4 ,0 3 ,半径为 8 3 ， 动点 P 在直线 x+ 3yb=0上， 满足 PB=2PA的点 P有且只有两个， 直线与圆 x 2+

19、y2+8 16 33 x=0 相交， 圆心到直线的距离 4 83 31 3 b d ， 416416 3333 b ，即实数b的取值范围是 20 ,4 3 . 14 已知函数 2222 11 ( )2 (cos)sincos(sin) 22 f， 若集合 ( )aR fm ， 则实数m的取值范围为_. 【答案】 17 2 m 第 11 页 【解析】 2 222 1 2 (cos)sin54coscos2sin 2 ， 设cos ,sinP，2,0Q ， 1 0, 2 S 则 2 222 1 ( )cos2sincos(sin) 2 fPQPB，如图， PQPBQB，当且仅当,P Q B三点共线

20、且B在,P Q之间时等号成立， 又 117 4 42 QB ，故 f的最大值为 17 2 . 因为集合( )aR fm ，故 max 17 2 mf，故 17 2 m . 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，AB/ /CD，CDAC，过CD的平面分别 与,PA PB交于点,E F （1）求证：CD平面PAC； （2）求证：/ /ABEF 【解析】 （1）证明:在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，CD 平面ABCD， CDPC，C

21、DAC，PCACC，CD平面PAC. （2）/ABCD， 过CD的平面分别与,PA PB交于点,E F，故平面CDEF平面PABEF 又CD平面PAB，AB平面PAB， /CD平面PAB，而CD 平面CDEF， /CDEF/ /ABEF  16 （本小题满分 14 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2 sincosbCaCcoscA， 2 3 B ， 3c . （1）求角C； （2）若点E满足 2AEEC ，求BE的长. 【解析】 （1） 【解法一】由题设及正弦定理得2sin sinsin cossin cosBCACCA， 又sin cossin cossi

22、nsinsinACCAA CBB，所以2sin sinsinBCB. 第 12 页 由于 3 sin0 2 B ，则 1 sin 2 C .又因为0 3 C ，所以 6 C . 【解法二】由题设及余弦定理可得 222222 2 sin 22 abcbca bCac abbc ，化简得2 sinbCb. 因为0b，所以 1 sin 2 C .又因为0 3 C ，所以 6 C . 【解法三】由题设2 sincoscosbCaCcA，结合射影定理coscosbaCcA，化简可得2 sinbCb. 因为0b.所以 1 sin 2 C .又因为0 3 C ，所以 6 C . （2） 【解法 1】由正弦定

23、理易知2 3 sinsin bc BC ，解得3b. 又因为 2AEEC ，所以 22 33 AEACb，即2AE . 在ABC中，因为 2 3 B， 6 C ，所以 6 A ， 所以在ABE中， 6 A ， 3AB ，2AE 由余弦定理得 22 3 2cos342321 62 BEABAEAB AE ，所以1BE . 【解法 2】在ABC中，因为 2 3 B， 6 C ，所以 6 A ， 3ac . 由余弦定理得 22 2 33233 cos3 3 b .因为2AEEC，所以 1 1 3 ECAC. 在BCE中， 6 C ， 3BC ，1CE 由余弦定理得 22 3 2cos3 1 23 1

24、1 62 BEBCECBC EC 所以1BE . 【解法 3】在ABC中，因为 2 3 B， 6 C ，所以 6 A ， 3ac . 因为 2AEEC ，所以 12 33 BEBABC. 则 2 222 1111 |2|44|34334 31 9992 BEBABCBABA BCBC 所以1BE . 17 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 3 e ，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点  （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 13 页 （2）若直线 l过椭圆的右焦点 F，且2AFFB，求直线 l方程 【解析】 （

25、1）设椭圆的焦距为2c，则由221cc ，则 1 32 3 c ab a ， 22 :1 32 xy C； （2）当直线 l为0y 时，31,3 1AFacBFac，不满足2AFFB； 所以设直线 l：1xty，联立 22 22 1 23440 236 xty tyty xy ， 设 1122 ,A x yB xy，则 1212 22 44 , 2323 t yyyy tt ， 又 2 2 2 12 112 22112 2 4 5123 2 4 22 23 t yyyyy t yyyy y t , 2 11 22 tt ，故直线 l： 1 1 2 xy ，即220xy 18 （本小题满分 16

26、 分） 如图所示，某区有一块空地OAB，其中4OAkm，4 3OBkm， AOB90 .当地区政府规 划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中,M N都在边AB上，且 30MON，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地 带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN的周围安装防护网. （1）当2AMkm时，求防护网的总长度； （2） 若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍， 试确定AOM的大小； （3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方 案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？ 【解析】（1） 在OAB中，4O

27、A，4 3OB ，90AOB，60OAB 在AOM中，4,2,60OAAMOAM，由余弦定理，得2 3OM ， 222 OMAMOA，即OMAN，30AOM， OAN为正三角形，所以OAN的周长为12，即防护网的总长度为12km. 第 14 页 （2）设(060 )AOM，3 OMNOAM SS ， 11 sin303sin 22 ON OMOA OM ，即 8 3sinON ， 在OAN中，由 0 4 sin60cossin 1806030 ONOA ，得 2 3 cos ON ， 从而 2 3 8 3sin cos ，即 1 sin2 2 ，由02120， 得230，15 ，即AOM15.

28、 （3）设(060 )AOM，由（2）知 2 3 cos ON ， 又在AOM中，由 sin60sin60 OMOA ，得 2 3 sin60 OM ， 1 sin30 2sin60cos 3 OMN SOM ON 133 sin2cos2 22 6 2 6 3 sin 260 2 ， 当且仅当2 6090，即15时， OMN的面积取最小值为24 12 3 2 km. 19 （本小题满分 16 分） 设函数 12 xx f xxeaee ， (1)当0a时，求函数( )f x图象在1x 处的切线方程； （2）求 f x的单调区间； （3）若不等式 0f x 对2,x恒成立，求整数a的最大值.

29、【解析】 （1）当0a时， 1 x f xxe， x fxxe，所以 10f， 1fe 所以所求切线方程为(1)ye x （2） xxx fxxeaexa e.令 0fx，则xa.当,xa 时， 0fx； 当,xa时， 0fx ；所以 f x的单调递增区间是, a ，单调递减区间是,a. （3）当2,x时，120 xx xeaee 恒成立，等价于当2,x时， 1 2 x x xe a ee 恒成 第 15 页 立； 即 min 1 2 x x xe a ee 对2,x恒成立.令 1 2 x x xe g x ee ，2,x ，   2 2 2 xx x eeex gx ee ， 令

30、2 x h xeex，2,x， 20 x h xee， 所以 2 x h xeex在2,上单调递增. 又因为 2 240hee， 3 360hee， 所以 g x 在2,3上有唯一零点 0 x，且 0 0 2 x eex， 0 2,3x ， 所以 g x在 0 2,x.上单调递减，在 0, x 上单调递增， 所以 0 0 000 00 min 0 11 2 2,3 222 x x xexex g xg xx eeexe ，所以 0 2,3ax， 故整数a的最大值为2. 20 （本小题满分 16 分） 对于 *, nN 若数列 n x满足 1 1, nn xx 则称这个数列为“K数列”. （1）

31、已知数列 1, 2 1,mm是“K数列”,求实数m的取值范围; （2）是否存在首项为1的等差数列 n a为“K数列”,且其前n项和 n S使得 2 1 2 n Snn恒成立?若存 在,求出 n a的通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列 n a是“K数列”,数列 1 2 n a 不是“K数列”,若 1 , 1 n n a b n 试 判断数列 n b是否为“K数列”,并说明理由. 【解析】 （1）由题意得11 1,m 2 11,mm解得2,m 所以实数m的取值范围是2.m （2）假设存在等差数列 n a符合要求,设公差为,d则1,d 由 1 1,a 得 1 , 2

32、 n n n Snd 由题意,得 2 11 22 n n ndnn 对 * nN均成立,即 1.ndn 当1n 时,;dR 第 16 页 当1n 时, 1 n d n 因为 1 11, 11 n nn 所以1,d 与1d 矛盾, 所以这样的等差数列不存在. （3）设数列 n a的公比为 , q 则 1 1 , n n aa q 因为 n a的每一项均为正整数,且 1 110, nnnnn aaa qaaq 所以在 1nn aa 中,“ 21 aa”为最小项.同理, 1 11 22 nn aa 中,“ 21 11 22 aa”为最小项. 由 n a为“K数列”,只需 21 1,aa即 1 11,

33、a q 又因为 1 2 n a 不是“K数列”,且 21 11 22 aa为最小项, 所以 21 11 1, 22 aa即 1 12a q, 由数列 n a的每一项均为正整数,可得 1 12,a q 所以 1 1,3aq或 1 2,2.aq 当 1 1,3aq时, 1 3, n n a 则 3 , 1 n n b n 令 * 1 , nnn cbbnN 则 1 3321 3, 2112 nn n n n c nnnn 又 1 2321 33 2312 nn nn nnnn 2 3486 0, 213 n nn nnn 所以 n c为递增数列,即 121,nnn cccc 所以 21 33 31

34、, 22 bb 所以对于任意的 *, nN都有 1 1, nn bb 即数列 n b为“K数列”. 当 1 2,2aq时,2 , n n a 则 1 2 . 1 n n b n 因为 21 2 1, 3 bb所以数列 n b不是“K数列”. 综上:当 1 1,3aq时,数列 n b为“K数列”, 第 17 页 当 1 2,2aq时,2 , n n a 数列 n b不是“K数列”. 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 10 02 A ， 12 06 B

35、 ，求矩阵 1 A B . 【解析】设矩阵A的逆矩阵为 ab A cd .则 1010 0201 ab cd .即 1010 220101 ab cd . 故 a1，b0，c0，d 1 2 .从而A的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A . 所以 1 10 1212 1 06030 2 A B . B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知圆:2 2cosC和直线:() 4 l R相交于,A B两点， 求线段AB的长. 【答案】2 【解析】圆C：2 2cos直角坐标方程为 22 2 20xyx，即 2 2 22xy 直线l： 4 R 的直角坐标方程为y x 圆心C到直线l的距离 20

36、1 2 d 所以AB 2 2212 , 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 22（本小题满分 10 分） 设 2 012 ()n rn rn qxaa xa xa xa x,其中 * ,qR nN. （1）当1q 时,化简: 0 1 n r r a r ; （2）当q n 时,记 01 0 , 2 n nnr r n aa ABa ,试比较 n A与 n B的大小. 【解析】 （1）当1q 时, r rn aC 第 18 页 1! 11!()!(1)!() r n Cnn rrr nrrnr 1 1 1(1)!1 1

37、 (1)!()!1 r n n C nrnrn ,其中0,1,2,rn,  原式 1 1231 1111 121 11 n n nnnn CCCC nn （2）当q n 时, rn r rn aC n 01 , nn anan, 1n n An 令1x ,得(1)n n Bn 当1,2n 时, 1 (1) nn nn ; 当3n时, 1 (1) nn nn , 即(1) nn n nn,可得: (1)11 1+ nn n n nn n nnn 下面用数学归纳法证明:当3n时, 1 1+ n n n () 当3n时, 3 164 31 327 , ()成立 假设3nk时,()式成立,即

38、 1 1 k k k 则1nk时, ()式右边 1 111 111 111 kk kkk 111 1111 111 k k kkk kkkk 故当1nk时,()式也成立 综上知,当3n时, 1 1+ n n n 当1,2n 时, nn AB;当3n时, nn AB. 23.（本小题满分 10 分） 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本，其中只有 1 份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中( 3)n 份血液样本分别取样，然后再混合在一起进 第 19 页 行检测，若检测结果为阴性，则对另外 3 份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检

39、测结果呈阳 性，测对这( 3)n 份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止. （1）若6n，求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若8n ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X， 求X的概率分布； 求()E X. 【解析】 （1）在6n时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性， 并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性. 32111 52121 32111 63132 2 2 3 CC CC C P CC CC C （2）在8n时， 3311 1111 3131 33 2 (2) n nn n nnn CCCC P X CCCCn 213111111 111412121 31111311 323234 3 (3) nnn nnnn CCCCCC CC C P X CC CC CCCCn 321 141 321 35 1 (4) nn nnn CCC P X CCCn 同理，当44kn时， 321 141 321 3(3) (2) 1 () k nn k nnnk CCC P Xk CCCn 341 141 341 31 2 (3)2 n nn n nn CCC P Xk CCC