【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第21讲周期问题（教师版）

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1、第第 21 讲讲 周期问题周期问题 学会对一个周期问题进行分析、推理； 利用我们的规律来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、周期问题一、周期问题 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季 节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问 题一般要利用余数的知识来解答。 二、解题策略二、解题策略 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的 固定数，然后利用除法算式求出余

2、数，最后根据余数得出正确的结果。 考点一：一般周期问题考点一：一般周期问题 例 1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的的规律排列（如下图）， 请你算一算，第 32 个珠子是什么颜色？ 【解析】 从上图可以看出， 珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列， 即 6 个珠子为一周期。 32 6=5 （组） 2 （个） ， 32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个， 所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子， 应为红色。 例例 2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第 20 个图形分别是什么。 （1） （2） 知识梳

3、理 典例分析 教学目标 【解析】第（1）题排列规律是“”两个图形重复出现，20 2=10，即“”重复出现 10 次，所以第 20 个 图形是。第（2）题的排列规律是“”三个图形重复出现，203=62，即“”重复出现 6 次后又 出现了两个图形“”，所以第 20 个图形是。 例例 3、100 个 3 相乘，积的个位数字是几？ 【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 个 3.积的个位是 3；2 个 3 相乘积的个位数字是 9； 3 个 3 相乘积的个位数字是 7；4 个 3 相乘积的个位数字是 1；5 个 3 相乘积的个位数字是 3可以发现， 积的个位数字分别以 3、9、7、1 不断重

4、复出现，即每 4 个 3 积的个位数字为一周期。100 4=25（个），因 此 100 个 3 相乘积的个位数字是第 25 个周期中的最后一个，即是 1。 例 4、有一列数按“432791864327918643279186”排列，那么前 54 个数字之和是多少？ 【解析】上面一列数中，从第 1 个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是 8。要求出这列数字的 和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。 54 8=6（组）6（个） 因此，前 6 组数字和是（43279186） 6=240，余下 6 个数字之和是 43279 1=26。所以，这列数中前 54 个数字之和

5、是 24026=266。 例 5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有 3 页插图，也就是说 3 页插图前后各有 1 页文字。如果这本 书有 128 页，而第 1 页是文字，这本童话书共有插图多少页？ 【解析】已知这本童话书 3 页插图前后各有 1 页文字，也就是说这本书是按“1 页文字 3 页插图“的规律重复 排列的，把“1 页文字 3 页插图”看作一周期，128 页中含有 128 （13）=32 个周期，所以这本童话书共有 插图 3 32=96 页。 考点二：较复杂周期问题考点二：较复杂周期问题 例例 1、有一列数，按 5、6、2、4、5、6、2、4排列。 （1）第 129 个数是多少？（

6、2）这 129 个数相加的和是多少？ 【解析】（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环 就是 4 个数，则 1294=321，可知有 32 个“5、6、4、2”还剩一个。所以第 129 个数是 5。（2）每组四个 数之和是 5+6+4+2=17，所以，这 129 个数相加的和是 17 325=549。 例例 2、假设所有的自然数排列起来，如下所示 39 应该排在哪个字母下面？88 应该排在哪个字母下面？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大 4 个数一个循环，我们可以根据这些数

7、除以 4 所 得的余数来分析。 394=93 884=22 所以，39 应排在第 10 个循环的第三个字母 C 下面，88 应排在第 22 个循环的第四个字母 D 下面。 例例 3、1991 年 1 月 1 日是星期二，（1）该月的 22 日是星期几？该月 28 日是星期几？（2）1994 年 1 月 1 日是星期几？ 【解析】（1）一个星期是 7 天，因此，7 天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的 方法。（221） 7=3，没有余数，该月 22 日仍是星期二；（281）7=36，从星期三开始（包括星期 三）往后数 6 天，28 日是星期一。 （2） 1991年、 199

8、3年是平年， 1992年是闰年， 从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天， 10967=1564， 从星期三开始往后数 4 天，1994 年 1 月 1 日是星期六。 例例 4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号，例 如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年。如果公元 1 年属鸡年，那么公元 2001 年属 什么年？ 【解析】一共有 12 种动物，因此 12 为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、 蛇、 马、 羊、 猴、 鸡”看作一个循环， 从公元2年到公元2001年共经历了2000年 （算

9、头不算尾） ， 200012=1668， 从狗年开始往后数 8 年，公元 2001 年是蛇年。 课堂狙击课堂狙击 1、“数学趣味题数学趣味题”依次重复排列，第 2010 个字是什么？ 【解析】2010 5=402 所以第 2010 个字是第 402 循环周期的最后一个字，是“题”。 2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一第 2001 个字是什么字？ 【解析】2001 8=250.1 所以第 2001 个字是“盼”。 3、2001 年 8 月 1 日是星期三，8 月 28 日是星期几？ 【解析】28-1 等于 27 天，27 除以 7 等于 3 个星期余六天 那么往后退六天正好是星

10、期二，所以是星期二。 4、100 个 2 相乘，积的个位数字是几？ 【解析】5 个 2 相乘等于 32，那么 5 个 32 相乘个位数也是 2 因此 25 个 2 相乘个位数是 2。因此以 25 为一份，100 个 2 相乘可以分为 4 份，每份 25 个 2 相乘 100 个 2 相乘，个位数相当于 2*2*2*2，因此个位数是 6 5、有一列数按“9453672945367294”排列，那么前 50 个数字之和是多少？ 【解析】“9453672945367294” 9 4 5 3 6 7 2 这 7 个数字循环 50/7=71 9 +4 +5 +3 +6 +7+ 2=36 前 50 个数字

11、之和是 36 7+9=261 6、同学们做早操，36 个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多 少人？ 【解析】每 3 个人循环一次，依次按照女生，男生，男生的顺序循环排列，36 3=12， 所以 36 人一共有 12 个循环周期；一共有男生：12 2=24（人）。 实战演练 7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号。 （1）如果公元 3 年属猪年，那么公元 2000 年属什么年？ （2）如果公元 6 年属虎年，那么公元 21 世纪的第一个虎年是哪一年？ （3）公元 2001 年属蛇年，公元 2 年属什么年？

12、 【解析】（1）龙年；（2）2000 是龙年，第一个虎年是 2010 年；（3）狗年。 8、有 a、b、c 三条直线，从 a 线开始，从 1 起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001 各在哪一 条线上？ 【解析】用 22,59,2001,分别除 3,22 除 3 余 1,所以和 1 在一条线上,59 余 2 所以和 2 在一条线上,2001 刚好除 尽,所以和 3 在一条线上,所以是 a，b，c。 课后反击 1、把 38 面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？ 【解析】27+2=29。 2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第 63 只灯泡是什么颜色？第 112

13、 只呢？ 【解析】9 个一组，一共 7 组。所以第 63 个是蓝色的。 3、2001 年 6 月 1 日是星期五，9 月 1 日是星期几？ 【解析】2001 年 6 月 1 日到 9 月 1 日有 92 天，92 除以 7 余数是 1，9 月 1 日是星期六。 4、50 个 7 相乘，积的个位数字是几？ 【解析】7 的一次方尾数是 7，二次方尾数是 9，三次方尾数是 3，四次方是 1，五次方是 7，然后再是 9， 依次循环 50 个 7 相乘，应该是 7 的 50 次方，个位数字应该是 9 5、有一列数“7231652316523165”，请问从左起第 2 个数字到第 25 个数字之间（含第

14、2 个与第 25 个数 字）所有数字的和是多少？ 【解析】7 23165 23165 23165，2+3+1+6+5=17，17 5=85 从左起第 2 个数字到第 25 个数字之间所有数字的 和是 85-5=80。第二个数是 2，第 25 个数是 6。 6、一个圆形花辅周围长 30 米，沿周围每隔 3 米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插 了多少面黄旗？ 【解析】30 3 2=10 2=20（面）。 7、河岸上种了 100 棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直这样排 列。问：第 100 棵是什么桃树？三种树各有多少棵？ 【解析】1+2+3=6

15、,每 6 棵一轮回,96 共可有 16 个回次,100-96=4,余下的是 1+2+1,就是 1 棵蟠桃,2 棵水蜜桃,1 棵大青桃,16+1=17，16 2+2=34，16 3+1=49，有 17 棵蟠桃,34 棵水蜜桃,49 棵大青桃,第 100 棵是大青桃 8、2001 个学生按下列方法编号排成五列： 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 问：最后一个学生应该排在第几列？ 【解析】根据给出的排列方式找出一下规律：1.奇数行的最后一个数字是（该奇数*4+1）得到；2.偶数行的 第一个数字是（该偶数*4+1）得到；而 2001

16、=500*4+1。500 为偶数,根据规律就可以得到 2001 是在第 500 行的第一列 1、表示实心圆，表示空心圆，若干个实心圆与空心圆排成一行如下： 在前 200 个圆中有 _个实心圆。 【解析】2009=222，22 6+1=133（个），在前 200 个圆中有 133 个实心圆 2、今天（2010 年 4 月 11 日）是星期日，则 2010 年的六一儿童节是星期 。 【解析】4 月 11 日到 4 月 30 日经过了：30-11=19（天）； 5 月份有 31 天，那么一共经过了：19+31+1=51（天）； 51 7=7（周）2（天）；余数是 2，那么 6 月 1 日就是星期二 （1）能够发现周期问题的规律； （2）利用我们的规律来解决的问题； 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循 环的固定数 （2）然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 学霸经验 名师点拨 重点回顾 直击赛场 本节课我学到了 我需要努力的地方是