【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第15讲-平均数问题（教师版）

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1、第第 15 讲讲 平均数问题平均数问题 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用 题 一、基本公式一、基本公式 平均数平均数 总份数总份数=总数量总数量 总数量总数量 总份数总份数=平均数平均数 总数量总数量 平均数平均数=总份数总份数 二、平均数问题二、平均数问题 日常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样 多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就 是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。 求平均数问题的基本数量关系是：

2、总数量 总份数=平均数。 解答平均数问题的关键是要求出 总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一个 基数，用“基数+各数与基数的差之和 份数=平均数”公式求平均数。 考点一考点一：用基本关系式求平均数：用基本关系式求平均数 例例 1、用 4 个同样的杯子装水，水面的高度分别是 8 厘米、5 厘米、4 厘米、3 厘米。这 4 个杯 子里水面的平均高度是多少厘米？ 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量 总份数=平均数。根据已知条件，求出 4 个杯子里水的总高度，然后除以杯子的个数，即可求出平均数。 （8+5+4+3）

3、4=5(厘米） 答：这 4 个杯子里水面的平均高度是 5 厘米。 解：（800+150） 19=50（秒） 答：全车通过长 800 米的大桥，需要 50 秒。 例例 2、数学测试中，一组学生中的最高分为 98 分，最低分为 86 分，其余 5 名学生的平均分为 92 分。这一组学生的平均分是多少分？ 【解析】 利用平均数问题的基本数量关系是： 总数量 总份数=平均数。 总数量=98+86+92 5=644 （分），总份数=1+5+1=7（人），平均数=644 7=92（分），故这一组学生的平均分是 92 分。 例例 3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是 91 分，英语成绩公布后，他的平

4、均分提 高了 2 分。明明英语考了多少分? 【解析】利用基本式：三门课总分数=91 3=273，四门课总分数=（91+2） 4=372。英语分数 =372-273=99（分）。 另一种思维方式：平均分提高了 2 分，也就是说，英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了 4 个 2 分，即 2 4=8 分，那么英语成绩=91+8=99（分） 考点二：利用基数法求平均数考点二：利用基数法求平均数 例例 1、求下列 20 个数的平均数：401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399， 396，398，398，405，401，400，402，403，400。 【解析】

5、 解法一：先求出这 20 个数的和，即总数量，再用 20 个数的和除以总份数 20，求出 平均数。 因为这 20 个数据比较大，这种解法计算量很大，容易出错。 解法二：仔细观察这 20 个数据都接近 400，有的比 400 大，有的比 400 小，我们可以借鉴移 多补少的思想，以 400 作为基准，把这 20 个数都看作 400，求出它们比 400 多出或不足的部 分，多出 1 记作“+1”，不足 2 记作“-2”，计算时多出和不足的部分让它们互相抵消，可得这 20 个数据共多出： +1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1 -4-2-2+5+1+0+2+3+0=10，再把多出 10 平均

6、分给这 20 个数据，所以这 20 个数的平均数是： 400+10 20=400.5。对于求多个比较接近的大 数的平均数，直接计算很麻烦，我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数，运用上面的方 法解答，计算就简单多了。 例例 2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米，一个同学身高 152 厘米，有两个同学身高 149 厘米，还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的 平均身高。 【解析】这道题可以按照一般思路解，即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方 法，容易发现身高都在 150 厘米左右，可以假设平均身高为 150 厘米，把它当做基数，用

7、“基 数+各数与基数的差之和 份数=平均数”公式求解。即有 150+（3 2+2-1 2-3 2） （2+1+2+2） =150（厘米） 考点二：航行中的平均数问题考点二：航行中的平均数问题 例例 1、两地相距 360 千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要 10 小时，已知这条河的水流速度为 每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？ 【解析】航行中的速度关系：顺水速度=船的静水速度+水流速度 逆水速度=船的静水速度- 水流速度，速度=路程 时间 用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。 显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度 =3

8、60 10=36 千米/小时，船的静水速度=36-6=30 千米/小时。所以船的逆水速度=30-6=24 千米/ 小时。逆水行全程时所用的时间=360 24=15（小时） 解:逆水速度 360 10-6-6=24（千米/小时） 逆水走完全程的时间 360 24=15（小时） 平均速度=总路程 总时间=（360+360） （10+15）=28.8 千米/小时 答：往返两地的平均速度是每小时 28.8 千米。 例例 2、张师傅开汽车从 A 到 B 为平地（见下图），车速是 36 千米时；从 B 到 C 为上山路， 车速是 28 千米时；从 C 到 D 为下山路，车速是 42 千米时.已知下山路是上

9、山路的 2 倍， 从 A 到 D 全程为 72 千米，张师傅开车从 A 到 D 共需要多少时间？ 【解析】本题给出 BC 段与 CD 段的路程关系，因此可以先求出 BD 段的平均速度，设 BC 段 的路程为 84 份，CD 段则为 168 份，则 BD 段的平均速度=（84+168） （ 84168 2842 ）=36（千 米/时），与平路的平均速度恰好相同，所以共需时间 72 36=2（小时） 考点四：改动中的平均数考点四：改动中的平均数 例例 1、有五个数，平均数是 9。如果把其中一个数改为 1，那么这五个数的平均数为 8，这个改 动的数原来是多少？ 【解析】 改动前五个数的和为：9 5=

10、45； 改动后五个数的和为：8 5=40； 改动后总和比改动前减少了：45-40=5； 所以被改动的数减少了 5，这个数原来是：1+5=6 例例 2、五一班同学数学考试平均成绩 91.5 分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的 98 分误 作 89 分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是 91.7 分，五一班有多少名同学？ 【解析】 98 分比 89 分多 9 分。 多算 9 分就能使全班平均每人的成绩上升 91.791.5=0.2 （分） 。 9 里面包含有 45 个 0.2、五一班就有 45 名同学。 例例 3、有 4 个数，这 4 个数的平均数是 21，其中前 2 个数的平均数是 15，

11、后 3 个数的平均数 是 26.那么第二个数是多少？ 【解析】根据“4 个数的平均数是 21”，可以得出 4 个数的总和就是 21 4=84，又根据“前 2 个 数的平均数是 15，后 3 个数的平均数是 26”，可以得出他们的总和为 15 2+26 3=108，其中第 二个数被重复算了一次，所以总和多出来的了 108-84=24，就是第二个数。 课堂狙击课堂狙击 实战演练 1、有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36 个，苹果和 桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1 箱苹果1 箱梨1 箱橘子=42 3=126（个）； （2）1 箱桃

12、1 箱梨1 箱橘子=36 3=108（个） （3）1 箱苹果1 箱桃=37 2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18（个），再根据等式（3） 就可以算出：1 箱桃有（7418） 2=28（个），1 箱苹果有 2818=46（个）。 解:1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个：37 2=74（个） 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个：42 336=18（个） 1 箱苹果有多少个：2818=46（个） 2、小英 4 次数学测验的平均成绩是 92 分，5 次数学测验的平均成绩比 4 次数学测验的平均成 绩提高了 1 分。小英第 5 次数学测验得了多少分？ 【解

13、析】5 次比 4 次测验的平均分提高了 1，那么第五次测验的成绩比 4 次测验的平均数多出 了 5 个 1 分，所以第五次测验的成绩=92+1 5=97（分） 3、一辆小轿车，装有 4 个轮胎，还有 2 只备用轮胎，司机适当地轮换这 6 只轮胎，使每只轮 胎行程相同。小车共行驶了 360 千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？ 【解析】小轿车在任何时候都是 4 个轮胎同时行驶，小车行驶 360 千米，即所有 6 只轮胎共行 驶 4 个 360 千米：360 4=1440（千米）。 平均每只轮胎的行驶路程为：1440 6=240（千米）。 4、A、B、C、D 四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数

14、求平均数,这样计算了 4 次,得到下 面 4 个数 23, 26, 30, 33。 A、B、C、D 4 个数的平均数是多少？ 【解析】A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3 （23+26+30+33） 3（A+B+C+D）=3（23+26+30+33） A+B+C+D=112 A、B、C、D 4 个数的平均数是 28 5、五个数排一排，平均数是 9。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是 10，那么 第一个数和第五个数的平均数是多少？ 【解析】前四个数平均数是 7，前四个数的和是 7 4=28，第五个数是 45-28=17；后四个数平 均数是 10，后四个数的和是 10 4=

15、40，第一个数是 45-40=5；第一个数和第五个数的平均数是 （17+5） 2=11 6、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出 来 【解析】根据六门成绩的平均成绩为 83 分，则能求出总成绩为 83 6=498 分，减去另外四门的 成绩就是数学语文的总成绩，然后根据数学成绩的个位数字，推出语文成绩，即可得出结论。 解：语文与数学成绩之和 83 6-（80+75+90+85）=168（分） 因为数学成绩的个位数为 5，则语文成绩的个位数一定是 8-5=3，故语文成绩是 83，数学成绩 是 85 分 答：王华的语文数学成绩分别是 83 分，85 分。 课

16、堂反击课堂反击 1、小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考到 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分。问这是他第几次测验？ 【解析】100 分比 86 分多 14 分，这 14 分必须填补到前几次的平均分 84 分中去，使其平均分 成为 86 分。每次填补 86-84=2（分），14 分里面有 7 个 2，所以前面已经测验了 7 次，这是 第 8 次测验。 2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为 75 千米，顺水每小时航行 25 千米，逆水每小时航行 20 千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？ 【解析】求总时间，然后求出平均速度 解: 逆水走完全程的时间 75 20=

17、3.75 小时 顺水走完全程的时间=75 25=3 小时 平均速度=总路程 总时间=（75+75） （3.75+3）22.22 千米/小时 答：往返两地的平均速度是每小时 22.22 千米。 3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄分数时，把 自己的分错抄成了 87 分，因此，算得四人的平均分是 88 分。求甲在这次考试中得了多少分？ 【解析】算错平均分为 88 分，比 90 分少 2 分，故甲的分数算少了 4 个 2 分，所以甲的分数 =87+4 2=95（分） 4 、 第 三 小 队 11 位 少 先 队 员 参 加 跳 绳 比 赛 ， 他 们 每 分

18、 钟 跳 绳 的 个 数 分 别 是 92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？ 【解析】 可以采用假设平均数的方法， 容易发现个数都在 90 左右， 可以假设平均个数为 90 个， 把它当做基数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求解。即有 90+ （2-4+2-3+4+1-2-1+2-1） （2+1+2+2）=90（个） 1、 （2007 年 4 月“希望杯“四年级 2 试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路， 然后上山，最 后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小

19、时行 6 千米，在每 天锻炼中，他共行走多少千米？ 【解析】 因为上山和下山是同一段路程， 所以可以很快求出上山与下山的平均数度 （千米/时） ， 这两段路程的 平均速度与平路上的平均速度相同，所以，三段路的平均速度为 4（千米/时），而赵爷爷每天 行走 3 小时，所 以共 3 4=12 千米 【答案】12 千米 1、用基本关系式求平均数 2、利用基数法求平均数 3、航行中的平均数问题 4、改动中的平均数 1、求平均数问题的基本数量关系是：总数量 总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求 出总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。 直击赛场 重点回顾 名师点拨 本节课我学到 我需要努力的地方是 学霸经验