【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第11讲-巧妙求和（教师版）

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1、第第 11 讲讲 巧妙求和巧妙求和 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等； 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。 一、数列的概念一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后 一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 二、等差数列与公差二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列， 其中相邻两项的差叫做公差。 三、常用公式

2、三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等 于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数 考点一：等差数列的基本认识考点一：等差数列的基本认识 教学目标 知识梳理 典例分析 例例 1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 6，10，14，18，22，98； 1，2，1，2，3，4，5，6

3、； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2； 3，3，3，3，3，3，3，3； 1，0，1，0，l，0，1，0； 【考点】等差数列的基本认识 【解析】是，公差 d=4. 不是，因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项. 不是，因为 4-22-1. 是，公差 d=l. 是，公差 d=0. 不是，因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项。 例例 2、把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项数为 21

4、.则 101+（21-1） 2=141 例例 3、已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191 答案：191 例例 4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是 320，求它们 中最小的一个 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自

5、然数 的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564，因相邻偶数相差 2， 故这五个偶数依次是 60、62、64、66、68，其中最小的是 60 例例 5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第 201 项是多少？65 是其中的第 几项？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项第n项首项公差1n（），所以，第 201 项53201 1605 （），对于数列 5，8，11，65，一共有：6553121n （），即 65 是 第 21 项 答案：无限多项；第201项是605；65是第21项 考点二：等差数列求和考点二：等差数列求和 例例

6、 1、一个等差数列 2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】 根据中项定理， 这个数列一共有 7 项， 各项的和等于中间项乘以项数， 即为：8756 答案：56 例例 2、15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】由中项定理，中间的数即第 8 个数为：1995 15133，所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是：1332158147（） 答案：147 例例 3、小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数的和时，他少算 了其中的一个数，但他仍按 200

7、6 个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎 求和时漏掉的数是。 【考点】等差数列的求和 【解析】少的这个数应该给每一个数都补上 1，才能使结果正确，共要补上 2006，因此这个漏 掉的数是 2006。 例例 4、下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？ 1112131920 1213142021 1314152122 2021222829 【考点】数阵中的等差数列 【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的 和相加（比 较慢，这里不再写具体过程） 方法二： 每一行或者每一列的和均构成一个等差数列， 利用等差数列和中间项项数 先看行，

8、因为是偶数行没有中间项， 首项11 12201120102155（）， 末项2021292029102245（）或者15510110245（）这 100 个数之和1552451022000（）按列算同上 方法三：从右上到左下的对角线上的数都是 20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之 和都是 40， 所以这 100 个数的平均数是 20， 这 100 个数之和20 1002000 答案：2000 考点三：等差数列的应用考点三：等差数列的应用 例例 1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，问 2009 是这个数列的第多少项？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5

9、、7， 奇数项的排列规律是：2、4、6、8， 方法一：可以看出两个数列都是等差数列由于 2009 是奇 数，所以在偶数项数列中，它的项数是：2009121005（），所以在整个数列中，2009 的项数是100522010，所以 2009 是这个数列的第 2010 项 方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数1，偶数的项数是该数 2，所以 2009 是这个数列的第200912010 项 答案：2010 例例 2、在 1145 这 35 个数中，所有不被 3 整除的数的和是多少？ 【解析】先求被 3 整除的数的和；1145 中能被 3 整除的数有 12，15，45，和为： 12154

10、2451245122342（）；于是，满足要求的数的和为： 1145342980342638（） 例例 3、如图 2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当 N=5 时，按这种方式 摆下去，当 N=5 时，共需要火柴棍 根。 【考点】找规律计算 【解析】找规律 3，3+6，3+6+9,N=5 时，需要火柴棍 3+6+9+12+15=45 答案：45 例例 4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有 6 个小圈，第 2 个图形 中有 10 个小圈，第 3 个图形中有 16 个小圈，第 4 个图形中有 24 个小圈，依此规律，第 6 个图形有_个小圈。 【考点】找

11、规律计算 2010 年，第 8 届，希望杯，4 年级，1 试 【解析】除周围 4 个小圆外，中间小圆的规律是 1 2，2 3，3 4， 第 6 个图有 6 7446 个小圆。 答案：46 课堂狙击课堂狙击 1、在数列 3、6、9，201 中，共有多少数？如果继续写下去，第 201 个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 实战演练 项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1） 解：项数=（201-3）3+1=67 末项=3+3（201-1）=603 答：共有 67 个数，第 201 个数是 60

12、3 2、全部三位数的和是多少？ 【解析】所有的三位数就是从 100999 共 900 个数，观察 100、101、102、998、999 这一数列， 发现这是一个公差为 1 的等差数列。 要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）9002 =10999002 =494550 答：全部三位数的和是 494550。 3、求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98； 50、51、52、53、98、99。 【解析】这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出

13、每一横行（或竖 行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解：每一横行数列之和： 第一行：（1+50）502=1275 第二行：（2+51）502=1325 第三行：（3+51）502=1375 第四十九行：（49+98）502=3675 第五十行：（50+99）502=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+3675+3725 =（1275+3725）502 =125000 4、若干人围成 16 圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少 6 人，如果共有 912 人，问最外圈 有多少人？最内圈有多少人？ 5、【解析】从已知条件 912 人围成 16 圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减

14、少 6 人，也就是 告诉我们这个等差数列的和是 912，项数是 16，公差是 6。题目要求是的等差数列末项=d (n-1)=6 (16-1)=90(人) 解：an+a1=S2n=912216=114（人） 外圈人数=（90+114）2=102（人） 内圈人数=（114-90）2=12（人） 答：最外圈有 102 人，最内圈有 12 人。 5、有一串数，已知第一个数是 6，而后面的每一个数都比它前面的数大 4，这串数中第 2003 个数是。 【解析】6+4（2003-1） =6+42002 =8014 6、一个剧院共有 25 排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多 2 个座位，第 25 排有

15、70 个 座位，这个剧院共有多少个座位。 【解析】首项=70-（25-1）2=22 总和=（22+70）252=1150 7、 一个五层书架共放了 600 本书， 已知下面一层都比上面一层多 10 本书。 最上面一层放本书， 最下面一层放本书。 【解析】100、140 中间一层本数：6005=120（本） 最上面一层：12-102=100（本） 最下面一层：120+12=140（本 8、有 10 只盒子，54 个乒乓球，能不能把 54 个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不 相等？ 【解析】题中要求办不到。 9、 有一堆粗细均匀的圆木， 堆成如下图的形状， 最上面一层有 7 根园木， 每面

16、下层增加 1 根， 最下面一层有 95 根，问：这堆圆木一共有多少根？ 【解析】7+95=102（根） 95-7+1=89（层） 102892=4539（根） 10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第 三层每边有三个点这个六边形点阵共 100 层，问，这个点阵共有多少个点？ 【解析】第 100 层有点：6+（99-1）6 =6+986 =699 =594（个） 点阵只有点： 1+（6+594）992 =1+600992 =29701（个） 答：这个点阵共有点 29701 个。 课堂反击课堂反击 1、观察右面的五个数：19、37、55、a、91 排列的

17、规律，推知 a =_ 。 【解析】19+18=37，37+18=55，所以 a=55+18=73 答案：73 2、2，5，8，11，14是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1） 3=62 答案：62 3、在等差数列 6，13，20，27，中，从左向右数，第 _个数是 1994 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】 每个数比前一个数大 7， 根据求通项 1 (1) n aand的公式得 1 ()1 n naad， 列式得： (19946)7284 2841285 即第 285 个数是

18、 1994 4、有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3这 20 个数相加，和是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】末项是：9201366（），和是：966202750（） 答案：750 5、把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5， 那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】由题可知：由 210 拆成的 7 个数一定构成等差数列，则中间一个数为210730，所 以，这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40. 答案

19、：40 6、已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第 2000 个数是多少？第 2003 个 数是多少？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8， 偶数项的排列规律是：3、6、9、12， 可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项 数：第 2000 个数在偶数项等差数列中是第200021000个数，第 2003 个数在奇数项 等差数列中是第2003121002（）个数，所以第 2000 个数是31000133000（），第 2003 个数是21002122004（） 答案：2004 7、把 248 分成 8

20、个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】 平均数： 248 8=31， 第 4 个数： 31-1=30。 第 1 个数： 30-6=24， 末项： 24+ （8-1） 2=38。 即：最大的数为 38。 答案：38 8、观察下列四个算式：20 1 =20，20 2 =10，10 4 =5 2 ， 5 2 8 = 5 16 。从中找出规律，写出第五个算 式：。 【考点】找规律计算，2009 年，希望杯，第七届，六年级，二试 【解析】发现规律，第 5 个算式为 5 16 16= 5 256 。 9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相

21、减得出一个差（大 数减小数），如对于 a，差为 7-5=2，所有差的总和为。 【考点】数阵中的等差数列 【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为 0，和为 0 第二行第一个圈为 1，第二个圈为 0，和为 1 第三行第一个圈为 2，第二个圈为 1，第三个圈为 0 和为123 第四行第一个圈为 3，第二个圈为 2，第三个圈为 1，第四个圈为 0，和为1+2+3=6 所以这些差有 7 个 1，6 个 2，5 个 3，4 个 4，3 个 5，2 个 6，1 个 7 和为7 1+62+5 3+44+3 5+26+1 7 =7+12+15+16+15+12+7 =84 答案：84 1、（第 3

22、届，希望杯，4 年级，1 试）从 1 开始的奇数：1，3，5，7，其中第 100 个奇数 是_。 【考点】等差数列的基本认识 【解析】199 2、（第 4 届，希望杯，4 年级，1 试）观察下列算式： 2462 3， 246123 4 2468204 5 然后计算：246100。 直击赛场 【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100 以内的偶数有 50 个，所以 24 610050 512550 答案：2550 3、（第 3 届，走美杯，5 年级，决赛）从正整数 1N 中去掉一个数，剩下的(N 一 1)个数的 平均值是 15.9，去掉的数是_。 【考点】等差数列的公式运用 【解析

23、】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是 159”，所以(N-1)是 10 的倍数，且 N 在 159 2 318 左右，推知 N=31.去掉的数是 (1+2+3+31)-15.9 30496-47719。 答案：19 一、等差数列的定义一、等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列 我们称它为等差数列 首项：一个数列的第一项，通常用 1 a表示 末项：一个数列的最后一项，通常用 n a表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和：一个数列的前n项的和，常用 n S来表示 二、等差数列的相关公式二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差， 1 1 n aand（） 递减数列：末项首项(项数1)公差， 1 1 n aand（） 项数公式：项数(末项首项)公差+1 求和公式：和=(首项末项)项数 2 重点回顾 （2）中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数 本节课我学到 我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验