【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第05讲-最优化问题(教师版)
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1、第第 0505 讲讲 最优化问题最优化问题 学习了解最优化问题; 能解决常见的最优化问题; 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、最优化问题一、最优化问题 在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做 到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、 “面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小) 值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题” 二、时间最优问题策略二、时间最优问题策略 在进行最佳安排时,
2、要考虑以下几个问题: (1)要做哪几件事; (2)做每件事需要的时间; (3)要弄清所做事的程序,即先做什么,后做什么,哪些事可以同时做。 在学习、生产和工作中,只有尽可能地节省时间、人力和物力,才能发挥出更大的效率。 考点一:烧水问题考点一:烧水问题 例例 1 1、明明早晨起来要完成以下几件事情:洗水壶 1 分钟,烧开水 12 分钟,把水灌入水瓶要 2 分钟,吃早点要 8 分钟,整理书包 2 分钟。应该怎样安排时间最少?最少要几分钟? 【解析】经验表明:能同时做的事尽量要同时去做,这样节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,因而洗水壶不能和烧开水同时进行;而吃早点和整理书包可以和 烧开水同时进行。
3、这一过程可用方框图表示: 教学目标 知识梳理 典例分析 从图上可以看出,洗水壶要 1 分钟,接着烧开水要 12 分钟,在等水开的同时吃早点、整 理书包,水开了就灌入水瓶,共需 15 分钟。 例例 2 2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要 1 分钟,烧开水需要 15 分钟,洗茶壶需要 1 分钟,洗茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟? 【解析】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用 1 分钟,接着烧开水用 15 分
4、钟,同时洗茶 壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要 16 分钟。 考点二:煎饼问题考点二:煎饼问题 例例 1 1、贴烧饼的时候,第一面需要烘 3 分钟,第二面需要烘 2 分钟,而贴烧饼的架子上一次最 多只能放 2 个烧饼。要贴 3 个烧饼至少需要几分钟? 【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面,过 3 分钟后,拿下第一个,并把第二个翻过去,并 放上第三个烧饼;过 2 分钟拿下第二个,并放第一个烧饼,过 1 分钟把第三个烧饼翻过来;再 过 1 分钟取下第一个烧饼,再过 1 分钟三个烧饼全贴完了,只用了 8 分钟。32111=8 分钟 例例 2 2、用一个平底锅烙饼,锅上只能同时放两个饼。烙第一
5、面需要 2 分钟,烙第二面需要 1 分 钟。现在在烙三个饼,最少需要多少分钟? 【解析】一共需要 5 分钟。第一次:同时放两张大饼烙 2 分钟;第二次:将其中的一张反过来 再烙 1 分钟,把另外一张取出,把第三张放入烙 1 分钟;第三次:将烙熟的一张拿出,把取出 的那张放入另外一面烙 1 分钟, 第三张也烙 1 分钟: 第四次: 将第三张的另外一面再烙 1 分钟。 考点三:收割问题考点三:收割问题 例例 1 1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地,他们同时用一台收割机进行收割,甲的麦地需要收 割 4 小时,乙的麦地需要收割 1 小时,丙的麦地需要收割 3 小时,丁的麦地需要收割 2 小时。 怎样安
6、排四人的顺序,他们花的总时间最少?最少时间是多少? 【解析】 所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和, 因为各自收割的时间不变, 所以在安排收割的顺序时,应该使等的时间尽可能少,即应该安排收割时间少的人先用,顺序 是:乙、丁、丙、甲,过程可用下表表示: 从表中可以看出,四人收割的时间为:1234=10 小时,三人等的时间为:1322 3=10 小时,所以,最少时间为 1010=20 小时。 例例 2 2、五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针 需要 5 分钟,孙勇包纱布需要 3 分钟,李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一位校医,校医 如何安
7、排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短? 【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生 室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳 1 分钟,赵 1+3=4 分钟, 赵明 1+3+5=9 分钟。时间总和是 1+4+9=14 分钟。 考点四:过河问题考点四:过河问题 例例 1 1、 小明骑在马背上赶马过河,共有甲、乙、丙、丁四匹马,甲马过河需 2 分钟,乙马过 河需 3 分钟,丙马过河需 6 分钟,丁马过河需 7 分钟。每次只赶两匹马过河,要把 4 匹马都赶 到对岸去,最少要几分钟? 【解析】要使过河时间最少,应抓住以
8、下两点: (1)同时过河的两匹马相差时间尽可能小些,才能使花时间少的马在过河时少浪费时间; (2)过河后应骑时间少的那匹马回来。 因此,赶马的顺序是:小明先骑甲马赶乙马一起过河,再骑甲马返回,共需 32=5 分钟;然 后骑丙马赶丁马一起过河后,再骑乙马返回,73=10 分钟;最后骑在甲马背上赶乙马一起过 河,不再回来,共需 3 分钟。所以,4 匹马都赶到对岸去最少时间是 5103=18 分钟。 例例 2 2、明明骑在牛背上赶牛过河,共有甲、乙、丙、丁 4 头牛,甲牛过河需 1 分钟,乙牛过河 需 2 分钟,丙牛过河需 5 分钟,丁牛过河需 6 分钟。每次只能赶两头过河,要把 4 头占都赶到 对
9、岸去,最少要多少分钟? 【解析】此题较复杂,应抓住每次时间接近的两头牛过河,同时回来尽量骑时间短的牛返回这 两个关键,进而分析解答即可先骑 1 分钟的,带着 2 分钟的过去,用时 2 分;然后骑一分钟 的回来,用时 1 分;然后骑 5 分钟的带着 6 分钟的过去,用时 6 分;然后骑 2 分钟的回来,用 时 2 分;最后骑着 1 分钟带着 2 分钟的过去,用时 2 分;一共 13 分钟 考点五:其他最优问题考点五:其他最优问题 例例 1 1、在一条公路上每隔 50 千米有一个粮库,共 4 个粮库。甲粮库存有 10 吨粮食,乙粮库存 有 20 吨粮食,丁粮库存有 50 吨粮食,还有一个粮库是空的
10、。现在想把所存的粮食集中放在一 个粮库中,如果每吨粮食运 1 千米要 1 元的运费,那么最少要花多少运费才行? 【解析】这种运输问题,运的货物越重路程越远,花费就越多。反之,如果移动的货物重量小 路程近,花费的费用就少。在本题中,各粮库之间的距离相等都是 50 千米,一般原则是“少 往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约,甲、乙两仓库粮食合起来是 30 吨,还不如 丁粮库的粮食多, 所以应将甲、 乙粮库的粮食集中放在丁粮库。 甲粮库需用 110503=1500 元,乙粮库需要 1205020=2000 元,共用 15002000=3500 元。 例例 2 2、用 18 厘米长的铁丝围成各种
11、长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形 的面积最大是多少? 【解析】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是 182=9 厘米。显然,当长与宽的 差越小, 围成的长方形的面积越大。 又已知长和宽的长度都是整厘米数, 因此, 当长是 5 厘米, 宽是 4 厘米时,围成的长方形的面积最大:54=20 平方厘米。 例例 3 3、用 36 这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。 【解析】解决这个问题应考虑两点: (1)尽可能把大数放在高位; (2)尽可能使两个数的差最小。所以应把 6 和 5 这两个数字放在十位,4 和 3 放在个位。根 据 “两个因数的差越小, 积越
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