【精品】五年级奥数培优教程讲义第25讲等量代换（教师版）

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1、第第 25 讲讲 等量代换等量代换 学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系； 掌握置换问题的解题思路与方法。 置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量， 从而帮助我们找到解题方法的一类典 型的应用题。“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。解答置换问题一般用转换和假设这两种数 学思维方法。 解答置换问题应注意下面两点： 1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； 2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。 例例 1、20 千克苹果与 30 千克梨共计 132 元，2 千克苹果的价钱与 2.5 千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单 价。【解析】2

2、 千克苹果的价钱与 2.5 千克梨的价钱相等，则 20 千克苹果相当于 25 千克梨，这样就把两种 数量转化为一种数量了， 先计算梨的单价是：132（2530）2.4（元） 苹果的单价：（132-2.430）20=3（元） 例例 2 2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1 只小花猫等于 3 只鸭的重量，1 只狗重9千克，1只猫与1只鸭 各重多少千克？ 【解析】抓住突破口，利用倒推逐步推理3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克， 933（千克），所以1只猫就等于3千克1只猫等于3只鸭的重量，1只猫重3千克，3只鸭也就重3千 克331（千克），所以1只鸭等于1千克 例例 3

3、3、一只小猴重 4 千克，一只小猴的重量等于两只小兔的重量，两只小兔的重量等于 4 只小猫的重量一 典例分析 知识梳理 教学目标 只小兔和一只小猫的重量共多少千克？ 【解析】一只小猴的重量等于两只兔子的重量，这样可以求出一只兔子的重量而两只兔子的重量等于 4 只小猫的重量，可以求出一只小猫的重量最后一只小兔和一只小猫的总重量就求出来了 一只兔子的重量：422(千克）， 一只小猫的重量：441(千克)， 一只小兔和一只小猫的总重量：213 (千克) 例例 4 4、某菜站运来西红柿和黄瓜共重 1660 千克，已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的 3 倍少 60 千克，菜 站运来的西红柿和黄瓜各多少千

4、克？ 【解析】由题意可知：西红柿的重量=3黄瓜的重量-60kg 西红柿的重量+黄瓜的重量=1660kg 3黄瓜的重量+黄瓜的重量=1660kg+60kg 因此：黄瓜的重量=17204=430kg；西红柿的重量=1660-430=1230kg。 例例 5 5、一件工作，甲做 5 小时以后由乙来做，3 小时可以完成；乙做 9 小时以后由甲来做，也是 3 小时可以 完成。那么甲做 1 小时以后由乙来做几小时可以完成？ 【解析】甲 5 小时+乙 3 小时=甲 3 小时+乙 9 小时 可得出甲 2 小时=乙 6 小时 即甲 1 小时=乙 3 小时 所以甲做 1 小时后,乙需要时间：23+9=15 小时

5、例例 6 6、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买 8 支笔和 4 块橡皮，或买 6 支笔和 12 块橡皮。结果 他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？ 【解析】根据等量代换少买了 2 支笔多买了 8 块橡皮,一支笔的钱可以买四块橡皮, 故有：8 支笔+4 块橡皮=6 支笔+12 块橡皮 因此：2 支笔=8 块橡皮， 所以：全部买笔：8+482=9（支） 例例 7 7、5 辆玩具汽车与 3 架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比汽车玩具贵 8 元。这两种玩具的单价各是 多少元？ 【解析】一架飞机玩具比一辆玩具汽车贵 8 元， 所以 5 架飞机玩具比 5 辆玩具汽车贵 85=40（元） 5

6、辆玩具汽车与 3 架飞机玩具价钱一样 所以 2 架飞机玩具的价钱是 40 元， 1 架飞机玩具的价钱是 402=20（元） 玩具汽车的价钱是 20-8=12（元） 例例 8 8、小华要称1粒米的重量，天平自带的砝码只有1克，2克，4克，8克，16克，32克，64克各一个 1粒米远远没有1克，小华该怎么办? 小华要称100克的米，天平应放哪几个砝码? 【解析】小华可以用1克的砝码去称1克米，天平平衡的时候，再去数一数有几粒米，就可以说多少粒米 是1克如果数出有10粒米这10粒米就是1克的米，也就是1克，一粒米就是0.1克 使用大的砝码64克，再考虑加哪几个?100=64+32+4，应放64克，3

7、2克，4克的砝码 例例 9 9、一段上好的绸布可做 24 件同样的上衣和 12 条同样的裙子，或者做 18 件同样的上衣和 20 条同样的裙 子。那么全做上衣能做多少件？ 【解析】由题意可知：24 件上衣+12 条裙子=18 件上衣+20 条裙子 因此：6 件上衣=8 条裙子 故全做上衣：24+1286=33（件） 实战演练 课堂狙击课堂狙击 1、一个苹果和一个犁共重 250 克，一个苹果和一个桔子共重 180 克，一个梨和一个桔子共重 230 克，算一 算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？ 【解析】梨和桔子重 230g + 一个苹果和一个梨共重 250g =2 梨和 1 苹果 1 桔子

8、=480g 因为苹果和桔子共重 180g 所以 梨=（480-180）2=150g 因为一个苹果和一个梨共重 250g 所以苹果=250-150=100g 因为苹果和桔子共重 180g 所以桔子=180-100=80g 因此：梨 150g,苹果 100g,桔子 80g. 2、6 只鸡和 8 只羊共重 78 千克，已知 5 只鸡的重量和 2 只羊的重量相等。求每只鸡和每只羊的重量。 【解析】由题意知：6 只鸡+8 只羊=78kg 5 只鸡=2 只羊 所以：8 只羊=20 只鸡，因此：每只鸡=3kg，每只羊=7.5kg 3、一辆卡车最多能载 40 袋大米和 40 袋面粉，或者载 10 袋大米和 1

9、00 袋面粉。现在卡车上已载有 20 袋大 米，最多还能载多少袋面粉？ 【解析】由题意可知：40 袋大米+40 袋面粉=10 袋大米+100 袋面粉 所以：30 袋大米=60 袋面粉 即：1 袋大米=2 袋面粉 一辆卡车最多能载 102+100=120 面粉 现在卡车上已载有 20 袋大米,最多还能载：120-202=80 袋面粉 4、 李老师第一次买回 5 个篮球和 3 个排球， 用去 318 元 第二次又买回 7 个篮球和 6 个排球， 用去 510 元 问： 一个篮球和一个排球的价格各是多少元？ 【解析】可引导学生读题、审题，找出此题与例 7 的不同之处,并转化成例 7 的模型此题有篮球

10、单价与排 球单价两个未知数量，而从题里所给条件分析，两次购买篮球与排球的数量各不相同，不能直接用消去法 消去哪一个未知数，所以解题关键是使篮球或排球中的某一对未知数变换得相同，则可消去其中一个通 过比较，第一次购买的排球为 3 个；第二次购买的排球为 6 个，恰为第一次的 2 倍若将第一次购买的排 球、篮球各扩大 2 倍，付的钱也扩大 2 倍，则能使购买的排球个数与第二次购买的排球个数相同，从而设 法消去排球这个未知数量，先求出每个篮球的价格，再求每一个排球的价格 53318 2 106636 个篮球个排球元 个篮球个排球元 106636 76510 3126 个篮球个排球元 个篮球个排球元

11、个篮球元 列式：(318 2510)(5 27)126342(元)篮球的单价 (31842 5)3108336(元)排球的单价 5、2 支钢笔的价钱和 3 支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜 6 元钱，两种笔的单价各是多少 元？ 【解析】由题意可知：2支钢笔=3支圆珠笔 1支圆珠笔比1支钢笔便宜6元， 故：2支圆珠笔比2支钢笔便宜12元， 所以：1圆珠笔=12元，1支钢笔=18元。 6、加工10件同样的上衣和4条同样的裤子需用布19.4米，加工6件同样的上衣和5条同样的裤子需用布14.5 米，加工一件上衣和一条裤子各需用布多少米？ 【解析】由题意可知：10件上衣+ 4条裤子=19.4

12、（米） 6件上衣+ 5条裤子=14.5（米） 所以：30件上衣+ 12条裤子=58.2（米） 30件上衣+ 25条裤子=72.5（米） 上下两式子相减得到：13条裤子=14.3（米） 由此得出：1条裤子=1.1（米） 因此：1 件上衣=（14.5-1.15）6=1.5（米） 课后反击课后反击 1、一壶水可以灌满 2 个热水瓶，一个热水瓶的水可以冲 4 杯茶，一杯茶重 250 克， 算一算，一壶水重多 少克？合多少千克？ 【解析】由题意可知：一只热水瓶可以倒满4杯茶：4250=1000g 一壶水=两热水瓶=10002=2000g 2、 第一只茶壶能装10大杯水， 第二只茶壶可以装15小杯水 已知

13、5大杯水与9小杯水同样多， 哪个茶壶大？ 【解析】读题，抓住大杯数目，引导学生进行扩倍来解决题目因为5大杯水与9小杯水同样多，那么10大 杯水就等于18小杯的水，而现在只有15小杯的水，10大杯水和15小杯水比较，10大杯水要多一些，所以 第 3、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了 3 小时，返回时用了 4 小时，已知这辆汽车去时比返回时每小时快 12 千米。甲乙两地相距多少千米？ 【解析】由题意可知：3去的速度=4返回速度 去的速度比返回的速度快12千米 所以：3去的速度比3返回的速度快36千米 因此：返回速度=36千米，甲乙两地的距离=436=144千米。 4、2 份点心和 1 杯饮料共 2

14、6 元；1 份点心和 3 杯饮料共 18 元。1 份点心和 1 杯饮料各多少元？ 【解析】由题意可知：1份点心和3杯饮料共18元 2份点心和1杯饮料共26元 那么：2份点心和6杯饮料共182=36元 饮料：（36-26）（6-1）=2元 点心:（26-2）2=12元 5、甲乙两人加工某种零件，甲做 15 小时，乙做 8 小时，共加工 1600 个，甲做 10 小时，乙做 7 小时共加 工 1100 个。甲乙两人每小时各加工多少个零件？ 【解析】由题意可知：15小时甲+8小时乙=1600个 10小时甲+7小时乙=1100个 因此：5小时甲+1小时乙=500个， 得出：35小时甲+7小时乙=350

15、0个 所以：25小时甲=2400个，1小时甲=96个，1小时乙=500-965=20个 6、甲、乙两人共储蓄 32 元，乙、丙两人共储蓄 30 元，甲、丙两人共储蓄 22 元三人各储蓄多少元？ 【解析】可先让学生自己去思考，教师巡视指正此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元？ 丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解首先用加减消去法消去乙和丙，只剩下 甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元 解法 1： （） 甲乙32元 +甲丙22元 2甲 乙丙54元 -乙丙30元 2甲24元 由 2 倍甲储蓄为 24 元，可求出甲储蓄多少元 列表：(322230)224212

16、(元)甲储蓄款 321220(元)乙储蓄款， 302010(元)丙储蓄款 此题也可用另一种方法求解 解法 2：甲乙乙丙+甲丙32223084(元)， 即 2 倍的(甲乙丙)等于 84 元 甲乙丙84242(元) 423210(元)丙储蓄款， 423012(元)甲储蓄款， 直击赛场 1、(2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)+ +=24=24，+ +=30=30，+ +=36=36=_ =_ =_ =_ =_.=_. 【解析】【解析】 (243036)245，所以表示的数为：45369，表示的数为：452421，表示的 数为：453015 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件，找出相等的量，然后再进行等量代换。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验