【精品】五年级奥数培优教程讲义第22讲列方程解行程问题（教师版）

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1、第第 22 讲讲 列方程解行程问题列方程解行程问题 学习列方程的思想； 利用列方程的思想解决行程问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、列方程解行程问题一、列方程解行程问题 很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。 二、解题策略二、解题策略 列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程 时能充分利用我们熟悉的数量关系。因此，对于一些较复杂的行程问题，我 们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出 方程，方便解题。 例 1、A、B 两地相距 259 千米

2、，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 38 千米；半小时后，乙车从 B 地开往 A 地，每小时行 42 千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？ 【解析】我们可以设乙车开出后x小时和甲车相遇。相遇时，甲车共行了 38（x0.5）千米，乙车共行 了 42x千米，用两车行的路程和是 259 千米来列出方程，最后求出解。 解：设乙车开出 X 小时和甲车相遇。 38（x0.5）42x=259 解得 x=3 即：乙车开出 3 小时后和甲车相遇。 例 2、甲、乙两地相距 658 千米，客车从甲地开出，每小时行 58 千米。1 小时后，货车从乙地开出，每小 时行 62 千米。货车开出几小时后与客车相遇？ 知识梳

3、理 典例分析 教学目标 【解析】设,货车开出x小时两车相遇 (58+62) x=658-58 x=5 即：货车开出 5 个小时两车相遇。 例 3、一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行 20 千米。到乙地后又以每小时 30 千米的速度返回甲地，往 返一次共用 7.5 小时。求甲、乙两地间的路程。 【解析】如果设汽车从甲地开往乙地时用了x小时，则返回时用了（7.5x）小时，由于往、返的路程是 一样的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出x值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。 解：设去时用 X 小时，则返回时用（7.5x）小时。 20x=30（7.5x） 解得 x=4.5 204.5=90（千米）

4、 即：甲、乙两地间的路程是 90 千米。 例 4、汽车从甲地开往乙地送货。去时每小时行 30 千米，返回时每小时行 40 千米，往返一次共用 8 小时 45 分。求甲、乙两地间的路程。 【解析】设甲乙两地相距x千米 /30 + x/40 = 8.75 4x/120+3x/120 = 8.75 7x/120=8.75 7x=120x8.75 x=150 千米 例 5、东、西两地相距 5400 米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行 55 米， 乙每分钟行 60 米，丙每分钟行 70 米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？ 【解析】设行了x分钟，这时甲行 50x米，

5、乙行 60x米，丙行 70x米。甲和乙之间的距离可用 60x50x 表示，乙和丙之间的距离可用 540070x50x表示。由于这两个距离相等，所以有 60x50x=5400 70x50x，求出此方程的解就得到所求问题。 解：设x分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 60x50x=540070x50x 解得 x=40 即：40 分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 例 6、A、B、C 三地在一条直线上，如图所示： A、B 两地相距 2 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时向 C 地行走，甲每分钟走 35 米，乙每分钟走 45 米。经过几分钟 B 地在甲、乙两人之间的中点处？ 【解析】设经

6、过x分钟 B 地在甲，乙两人之间的中点 B 地在甲，乙两人之间的中点表示。 甲到 B 的距离=乙离 B 的距离 2000-35x=45x 解得 x=25 分钟 例 7、 快、慢两车同时从 A 地到 B 地，快车每小时行 54 千米，慢车每小时行 48 千米。途中快车因故停留 3 小时，结果两车同时到达 B 地。求 A、B 两地间的距离。 【解析】我们可以设快车行驶了x小时，那么，慢车就行驶了（x3）小时，利用快、慢两车所行的路程 相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度时间=路程”这一关系求 出 A、B 两地间的距离。 解：设快车行驶了x小时。 54x=48（x

7、3） 解得x=24 5424=1296（千米） 即：A、B 两地相距 1296 千米。 例 8、甲每分钟行 120 米，乙每分钟行 80 米。二人同时从 A 地出发去 B 地，当乙到达 B 地时，甲已在 B 地 停留了 2 分钟。A 地到 B 地的路程是多少米？ 【解析】设甲从 A 店到 B 店用x分钟，则乙用（x+2）分钟 120x=80(x+2) 解得x=4 1204=480 米 A 店到 B 店的路程是 480 米 例 9、一位同学在 360 米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米。求他后一半路程用了多少时间？ 【解析】因为这位同学在前一半时间

8、跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的路程 一定大于半圈 180 米，即在跑前半圈时的速度都是每秒 5 米，跑前半圈要用 1805=36 秒。如果再求出跑 一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了 2 圈。 设跑一圈用x秒，则跑二圈共跑 720 米。 5x4x=720 解得x=80 8036=44（秒） 即：他后一半路程用了 44 秒。 例 10、小明在 420 米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 8 米，后一半时间每秒跑 6 米。 求他后一半路程用了多少时间？ 【解析】设总用时x秒，前一半时间和后一半时间都是x/2。 然后前

9、一半跑 8(x/2)米，后一半跑 6(x/2)米，总共加起来等于 420 米。 所以列下方程 8(x/2)+6(x/2)=420. 解得x=60。所以后一半跑了 30 秒。 又因为后一半为 6m/s，所以后一半跑了 630=180m。 课堂狙击课堂狙击 1、小军和小明分别从相距 1860 米的两处相向出发，小军出发 5 分钟后小明才出发。已知小军每分钟行 120 米，小明骑车每分钟行 300 米。求小军出发几分钟后与小明相遇？ 【解析】假设小明出发x分钟后与小军相遇。 600+（300+120）x=1860 420x=1260 实战演练 X=3 即小军出发 3+5=8 分钟后与小明相遇。 2、

10、一架飞机所带的燃料最多可用 9 小时，飞机去时顺风，每小时可飞 1500 千米；返回时逆风，每小时可 飞 1200 千米。这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？ 【解析】设飞机最远可以飞行 X 小时，所以返回时可飞行 9-X 小时，因为往返的路程相等，因此有： 1500X=1200（9-X） 解得 X=4 小时 所以飞机最多飞出 15004=6000 千米就需要返航。 3、东、西两镇相距 60 千米。甲骑车行完全程要 4 小时，乙骑车行完全程要 5 小时。现在两人同时从东镇 到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的 4 倍？ 【解析】设经过 X 小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的 4

11、倍 (60-60X/4)4=60-60X/5 240-60X=60-12X 48X=180 X=3.75 即经过 3.75 个小时后。 4、甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 20 千米。途中乙因修车停留 了 24 分钟，结果二人同时到达江边。从学校到江边有多少千米？ 【解析】假设甲走了 x 小时。 15x=(x-0.4) 20 15x=20x-8 X=1.6 即甲走了 1.6 小时。 5、小华在 240 米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑 6 米，后一半时间每秒跑 4 米。求他 返回时用了多少秒。 【解析】因为开始速度快,所以在去时速度都为每

12、秒跑 6 米,所以用了 2406=40(秒) 设返回用了 X 秒.则共用了 40+X 秒.一半时间为(40+X)2 秒. (40+X)2(6+4)=480 解得 X=56 返回时用了 56 秒. 课后反击 1、甲、乙两地相距 446 千米，快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行 68 千米，慢车每小 时行 35 千米。中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。 【解析】假设共经过 x 小时。 68x+35(x-0.5)=446-34 68x+35x-17.5=446 x=4.5 即共经过 4.5 个小时。 2、师徒二人加工一批零件。师傅每小时加工 35 个，徒弟每小时加

13、工 28 个。师傅先加工了这批零件的一半 后，剩下的由徒弟去加工。二人共用 18 小时完成了加工任务。这批零件共有多少个？ 【解析】假设共有 x 个，则师傅完成 x/2，徒弟完成 x/2， 则师傅用时间为 x/70,徒弟用时为 x/56， x/70+x/56=18 得 X=560 即共有 560 个。 3、老师今年 32 岁，学生今年 8 岁。再过几年老师的年龄是学生的 3 倍？ 【解析】设 再过 x 年 (32+x)/(8+x)=3 解得 x=4 4、兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走 90 米，弟弟每分钟走 70 米。出发 1 分钟后，哥哥发现少带 铅笔盒，就原路返回，取后立即出发，结

14、果与弟弟同时到达学校。他们家离学校有多远？ 【解析】解:设他们家离学校 X 米 X/90=(X-702)/60 60X=90X-12600 30X=12600. X=420 即他们离家 420 米。 5、甲、乙两地相距 205 千米，小王开汽车从甲地出发，计划 5 小时到达乙地。他前一半时间每小时行 36 千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？ 【解析】假设后一半时间速度是 x. 362.5+2.5x=205 X=46 即后一半的速度是 46 千米每小时。 （1）学习列方程的思想； （2）利用列方程的思想解决行程问题； 重点和难点突破：重点和难点突破： 本节课我学到了 学霸经验 名师点拨 重点回顾 我需要努力的地方是