【精品】五年级奥数培优教程讲义第20讲最小公倍数(教师版)
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1、第第 2020 讲讲 最小公倍数最小公倍数 教学目标 掌握倍数和最小公倍数的概念,最小公倍数的求法; 会利用最小公倍数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义一、约数和倍数的定义 整数 A 能被整数 B 整除,A 叫做 B 的倍数,B 就叫做 A 的约数(在自然数的范围内)。 如:2 和 6 是 12 的约数,12 是 2 的倍数,12 也是 6 的倍数; 18 的约数有 1、18、2、9、3、6。 注意:一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。 任何数都有最小的约数 1,最大的约数本身,最小的倍数也是本身。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有:3、6、9、1
2、2其中最小 的倍数是 3 ,没有最大的倍数。 因数和约数的区别:约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。如果数 a 与数 b 相乘的积是数 c,a 与 b 都是 c 的因数。 二、二、 2 2、3 3 和和 5 5 倍数的特征倍数的特征 2 的倍数的数特征是个位是 0、2、4、6、8,是 2 的倍数的数叫偶数,不是 2 的倍数的数叫奇数 5 的倍数的数特征是个位是 0 或 5 3 的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍数 三、质数与合数三、质数与合数 (1)只有 1 和本身两个因数的数叫做质数(或素数) (2)除了 1 和本身外还有其它因
3、数的数叫做合数 (3)1 既不是质数,也不是合数 知识梳理 教学目标 (4)100 以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97。 (5)几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数最小公倍数,如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数,6 是它们的最小公倍数。 记作记作 2 2,3,3=6=6。 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就
4、是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。 注注意:最大公约数意:最大公约数 最小公倍数最小公倍数=两数的乘积,两数的乘积, 即(即(a,b) a,b=a b。 考点一:最小公倍数的求法考点一:最小公倍数的求法 例例 1 1、列举法:列举法:求 6 和 10 的最小公倍数。 【解析】先分别写出 6 和 8 各自的倍数,再从中找出公倍数和最小公倍数。 6 的倍数:6 ,12 , 18 ,24 ,30,36,42,48 10 的倍数:10 ,20,30,40,50 所以 6 和 10 的最小公
5、倍数是 30。 例例 2 2、短除法:短除法:求 56 和 24 的最小公倍数。 【解析】 2 56 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56 和 24 的最小公倍数是 22273=168 典例分析 例例 3 3、分解质因数法:分解质因数法:求 120 和 100 的最小公倍数 【解析】120=2 2 2 3 5 100=2 2 5 5 120,100=2 2 2 3 5 5=600 例例 4、多个数求最小公倍数:多个数求最小公倍数:求 45、60 和 75 的最小公倍数 【解析】3 45 60 90 3 15 20 30 5 5 20 10 2 1 4 2 1 2 1 45,60,9
6、0=180 (当除到任意两数还有公因数时,则还要继续除下去) 考点二:应用最小公倍数巧算考点二:应用最小公倍数巧算 例例 1、一次数学竞赛均是填空题,小明答错的恰是题目总数的 4 1 ,小亮答错 5 道题,两人都答错的题目占题 目总数的 6 1 ,已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半,则他们都答对的题有多少道 【解析】因小明答错的恰是题目总数的 4 1 ,两人都答错的题目占题目总数的 6 1 ,所以题目的总数应是 4 和 6 的倍数,然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半,分情况进行解答。 解:已知题目个数一定是整数设为 X X 是 4 和 6 的倍数 且 6 x 5,X
7、30; 有 2 x X-5,X10; 4 x 5 时,即 X20 时, 所以 X=24; 答:都答对的题有 24-5-6+4=17。 例例 2、某加油站有二位员工,从今年 l 月 1 日起规定:员工甲每工作 3 天后休息 1 天,员工乙每工作 5 天后 休息 2 天,当遇到二人都休息时,必须另聘一位临时工,则今年共有多少天要聘 1 个时工人? 【解析】甲每到 4 的倍数就休息,而乙每到 7 的倍数和比 7 的倍数少一天都休息因为 4 和 7 的最小公倍数是 28,因为今年是平年,所以在 28 的倍数休息的日子时; 3652815(天),而在比 7 的倍数少一天休息时,甲乙第一次重逢的日子是 第
8、二十天,以后每隔 28 天就共同休息一天,365-20=345(天),3452812(天) 所以甲乙两人共同休息的天数是 15+12+1=28(天) 例例 3、一个植树小组原计划在 96 米长的一段土地上每隔 4 米栽一棵树,并且已经挖好坑。后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个?(希望杯考题) 【解析】这一段地全长 96 米,从一端每隔 4 米挖一个坑,一共要挖树坑: 96 4+1=25(个) 后来,改为每隔 6 米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在 6 米一棵的坑位上,可不重新挖。由于 4 和 6 的最小公倍数是 12,所以从第一个坑开始,每隔 12 米的那个坑不必挖。 9
9、6 米中有 8 个 12 米,有 8 个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有 9 个坑不必重新挖。 96 12+1=9(个)答:。重新挖树坑时可以少挖 9 个。 考点三:最小公倍数综合考点三:最小公倍数综合 例例 1、有一些画片,如果平均分给 3 个同学,还余 1 张;如果平均分给 5 个同学,还余 3 张;如果平均分给 4 个同学,则少 2 张这些画片至少有多少张? 【解析】由于平均分给 3 个同学,还余 1 张则这个数减 1 是 3 的倍数;如果平均分给 5 个同学,还余 3 张 则这个数减 3 是 5 的倍数;如果平均分给 4 个同学,则少 2 张则这个数加 2 是 4 的倍数因
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