【精品】五年级奥数培优教程讲义第19讲最大公约数（教师版）

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1、第第 1 19 9 讲讲 最大公约数最大公约数 教学目标 掌握约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法； 会利用最大公约数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义一、约数和倍数的定义 整数 A 能被整数 B 整除，A 叫做 B 的倍数，B 就叫做 A 的约数（在自然数的范围内）。 如：2 和 6 是 12 的约数，12 是 2 的倍数，12 也是 6 的倍数； 18 的约数有 1、18、2、9、3、6。 注意：一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。 任何数都有最小的约数 1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、9

2、、12其中最小 的倍数是 3 ，没有最大的倍数。 因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数 a 与数 b 相乘的积是数 c，a 与 b 都是 c 的因数。 二、质数与合数二、质数与合数 （1）只有 1 和本身两个约数的数叫做质数（或素数）； （2）除了 1 和本身外还有其它约数的数叫做合数； （3）1 既不是质数，也不是合数； （4）100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97。 （5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个

3、质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的 质约数，例如 15=35，3 和 5 叫做 15 的质约数。 知识梳理 教学目标 （6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数最大公约数，例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 18 的公约数， 6 是它们的最大公约数，记作记作（12,1812,18）= =6 6。 （7）公约数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1 和任何自然数互质

4、； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数； 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是 1。 考点一：最大公约数的求法考点一：最大公约数的求法 例例 1 1、列举法列举法: : 求 12 和 18 的最大公约数。 【解析】12 的约数有 1，2，3，4，6， 12。 18 的约数有 1，2，3，6，9，18。 12 和 18 的公约数有 1，2，3，6。 12 和 18 的最大公约数是 6。 例例 2 2、短除法短除法：求 42 和 105 的最大公约数。 【解析】3 42 1

5、05 7 14 35 典例分析 2 5 42 和 105 的最大公约数为：37=21。 例例 3 3、分解质约数法分解质约数法：求 48 和 72 的最大公约数。 【解析】把 48 分解质约数：48=22223 把 72 分解质约数：72=22233 48 和 72 的最大公约数为：2223=24 例例 4 4、辗转相除法辗转相除法：求 432 和 225 的最大公约数。 【解析】432225=1 余 207 225207=1 余 18 20718=11 余 9 189=2 所以 9 就是 432 和 225 的最大公约数。 考点二：应用最大公约数巧算考点二：应用最大公约数巧算 例例 1、一个

6、长方体木块的长是 4 分米 5 厘米、宽 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。要把它切成大小相等的正 方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？ 【解析】4 分米 5 厘米45 厘米、3 分米 6 厘米36 厘米、2 分米 4 厘米24 厘米。 45、36、24 的最大公约数是 3。 所以正方体木块的棱长最长是 3 厘米。 例例 2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米，乙、丙村相距 675 米。现在准备在路边 裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之 间的距离最多是多少米？ 【解析】由于甲乙、

7、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将 360 2=180 米、675 2=337.5 米平均分成若 干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而 180=360 2，337.5=675 2，所以，45 2=22.5， 即相邻两棵树之间距离最多是 22.5 米。 例例 3、用 96 朵红花和 72 朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最 少有几朵花？ 【解析】由题可知扎的每一束花是两种颜色的，两种颜色的花，朵数不同，故先求出最多可以扎多少束花， 即求 96 和 72 的最大公约数是 24，然后求出在每束中，红花至少 96 24=4 朵；黄花至少

8、 72 24=3 朵，继而 相加得出结论 解：96=2 2 2 2 2 3， 72=2 2 2 3 3， 故 96 和 72 的最大公约数：2 2 2 3=24； 96 24+72 24=7（朵）； 答：每束花最少有 7 朵； 考点三：最大公约数综合考点三：最大公约数综合 例例 1 1、 18 1 可以写成哪两个分数单位的和？ 【解析】18 的约数有 1，2，3，6，9，18，任取一对约数可得。 18 1 = )91 (18 91 = 1018 1 + 1018 9 = 180 1 + 20 1 例例 2 2、图中的大长方形分别由面积为 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平

9、方厘米的 四个小长方形所组成那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米 【解析】上两块面积为 12+36=48 平方厘米， 下两块面积为 24+48=72 平方厘米， 48 与 72 的最大公约数为 24， 故：面积为 12 平方厘米的高为 2 厘米，底边长为 6 厘米 面积为 36 平方厘米的高为 2 厘米，底边长为 18 厘米 面积为 24 平方厘米的高为 3 厘米，底边长为 8 厘米 面积为 48 平方厘米的高为 3 厘米，底边长为 16 厘米 阴影部分底边长为 18-16=2 厘米 222+232=5 平方厘米 阴影部分的面积为 5 平方厘米 课堂狙击课堂狙击 一、一、填空题填空题 1、18

10、 的约数有（），60 的约数有（），18 和 60 的公约数有（ ），最大公约数是（ ）。 【解析】（1、2、3、6、9、18），（1、2、3、4、5、69、10、12、15、20、30、60），（1、2、3、6）， （6） 2、一个合数的约数至少有（）个，例如：（ ）。 【解析】（3），（4、8、9、10、12） 3、如果 A=2 3 7，B=2 5 7，那么 A 和 B 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【解析】（14），（210） 二二、选择、选择题题 4、 1、2、4、8 是 8 的（） A、约数 B、公约数 C、素数 【解析】A 5、12 是（ ）的最大公约数。 A、1 和

11、 12 B、12 和 24 C、3 和 4 【解析】B 6、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公约数是 1，那么这两位数可能是（） A、49 B、59 C、69 【解析】A 三三、解答题解答题 7、写出每组数的最大公约数写出每组数的最大公约数 7 和 9 5 和 25 10 和 4 27 和 18 11 和 77 15 和 16 实战演练 【解析】1,5,2,9,11,1 8、有 22 块橡皮和 33 支铅笔平均分给参加劳动的同学，结果橡皮多 1 块，铅笔少 2 支，参加 劳动的同学有多少名？ 【解析】22-1=21， 33+2=35， 21=37， 35=57， 所以 21 和

12、35 的最大公约数是 7，即参加劳动的同学有 7 名 答：参加劳动的同学有 7 名 9、幼儿园一个班借阅图书，如果借 35 本，平均分发给每个小朋友差 1 本；如果借 56 本，平均分发给每个 小朋友后还剩 2 本；如果借 69 本，平均分发给每个小朋友则差 3 本。这个班的小朋友最多有多少人？ 【解析】如果 35 本增加 1 本,35+1=36 本,就不差；小朋友的人数是 36 的因数； 如果 56 本减少 2 本,56-2=54 本,就没有剩；小朋友的人数是 54 的因数； 如果 69 本增加 3 本,69+3=72 本,就不差；小朋友的人数是 72 的因数； 36、54、72 的最大公因

13、数是 18 这个班的小朋友最多有 18 人 课课后反后反击击 一、判断题、判断题 1、如果 a b=4（a、b 为整数）那么 a 和 b 的最大公约数是 4。 （） 2、一个数最小的倍数与它最大的约数相等。 （） 3、任何一个自然数的约数至少有 2 个。 （） 4、1 和任何自然数（0 除外）都没有公约数。 （） 【解析】 ， ， 二、解答题二、解答题 5、五年级三个班分别有 24 人、36 人、42 人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不 能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？ 【解析】24、36、42 的最大公约数是 6。所以最多每组 6 人。 24 64（组） 36

14、 66（组） 42 67（组） 6、两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？ 【解析】我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与 最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是 360 120=3。又因为（甲 3=a，乙 3=b）中，3 a b=120，a 和 b 一定是互质数，所以，a 和 b 可以是 1 和 40，也可以是 5 和 8。当 a 和 b 是 1 和 40 时，所求的数是 3 1=3 和 3 40=120；当 a 和 b 是 5 和 8 时，所求的数是 3 5=15 和 3 8=24。 7、一

15、个数除 200 余 4，除 300 余 6，除 500 余 10,。求这个数最大是多少？ 【解析】由题可知，196,294 和 490 都能被那个数整除，所以答案（196,294,490）=98 答：这个数最大是 98. 8、一块三角形地的三边分别是 18 米、18 米和 21 米，要再它的周围种上树，要使顶角处都种，相邻的两棵 树间的距离相等。最少要种多少棵树？相邻两棵树之间距离是多少米？ 【解析】18、21 的最大公因数是 3，（18 18 21） 3=19 棵。18 3=6 米。 1、 约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法； 2、 利用最大公约数解决实际问题。 1、在用短除计算多个数

16、时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。 直到剩下每两个都是互质关系。 2、在用分解质因数的方法求最大公因数时，如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个 数较少，乘较少的次数。 名师点拨 重点回顾 3、求最大公因数的方法可以是集合法，对应法，列表法，分解质因数法，短除法以及辗转相除法等。 在运用找最大公因数解决问题时，并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决，而是求出最大 的公因数后，还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。 （1）短除法短除法 短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数 被公

17、有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。 （2）辗转相除法辗转相除法 基于下面的性质：(a,b)=(a,ka+b)，其中 a、b、k 都为自然数 就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如 (4,6)=(4+6,6)=(4,6+2 4)=2。 这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质： 如果 p 是 a 和 ka+b 的公约数， p 整除 a，也能整除 ka+b。那么就必定要整除 b，所以 p 又是 a 和 b 的公约数，从而证明他们的最大公约数 也是相等的。 （3）分解质因数分解质因数：首先把两个数的质因数写出来，最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。 本节课我学到 我需要努力的地方是 学霸经验