【精品】五年级奥数培优教程讲义第18讲 分解质因数(教师版）

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1、第第 18 讲讲 分解质因数分解质因数 理解质因数的概念； 利用我们分解质因数来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、分解质因数一、分解质因数 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2223，75=3 55。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数 分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 二、解题策略二、解题策略 许多题目，特别是一些竞赛题，初

2、看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们 可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方 法不能解答的与积有关的应用题 考点一：简单的分解质因数考点一：简单的分解质因数 例 1、把 18 个苹果平均分成若干份，每份大于 1 个，小于 18 个。一共有多少种不同的分法？ 【解析】先把 18 分解质因数：18=233，可以看出：18 的约数是 1、2、3、6、9、18，除去 1 和 18，还 有 4 个约数，所以，一共有 4 种不同的分法。 例例 2 2、有 168 颗糖，平均分成若干份，每份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗。共有多少种分法？

3、 【解析】先把 168 分解质因数，168=22237，由于每份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗，所以， 每份有 223=12 颗，27=14 颗，37=21 颗，2223=24 颗，237=42 颗，共有 5 种分法。 例例 3 3、将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 知识梳理 典例分析 教学目标 2、5、14、24、27、55、56、99 【解析】 14=27 55=511 24=2223 56=2227 27=333 99=3311 可以看出，这八个数中，共含有八个 2，六个 3，二个 5，二个 7 和二个 11。因为要把这八个数分成 两组，且积相等，所以，每组数中

4、应含有四个 2，三个 3，一个 5，一个 7 和一个 11。经排列为（5、99、 24、14）和（55、27、56、2）。 例例 4 4、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成 4 组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共 植了 539 棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 【解析】 根据每人植树棵数人数=539 棵，把 539 分解质因数。539=7711，如果每人植 7 棵，这个班 就有 7111=76 人；如果每人植树 11 棵，这个班共有 771=48 人。 例例 5 5、下面的算式里，里数字各不相同，求这四个数字的和。 =1995 【解析】 要使两个两位数的积等于 199

5、5，那么，这两个数的积应和 1995 有相同的质因数。1995=357 19，可以有 3557=1995 和 2195=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取 2195=1995， 这四个数字的和是：2195=17。 考点二：复杂的分解质因数考点二：复杂的分解质因数 例例 1 1、三个质数的和是 80，这三个数的积最大可以是多少？ 【解析】三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是 2。802=78，剩下两个质数的和是 78，而且要使它 的积最大，只能是 41 和 37。因此，这三个质数是 2、37 和 41。 最大积是 23741=3034 例 2、长方形的面积是 375 平方米，已

6、知它的宽比长少 10 米，长和宽的和是多少米？ 【解析】这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把 375 分解质因数看一看。375=5553，因为 5 5 比 53 正好多 10，所以，此长方形的长是 55=25 米，宽是 53=15 米，它们的和是 40 米。 例 3、某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了 1073 棵，那么，平均每人种了多少棵？ 【解析】根据每人种树棵数参加人数=1073，把 1073 分解质因数：1073=2937，再根据学生恰好平均分 成三组可知：参加种树的人数是 3 的倍数多 1，由于只有 37 比 3 的倍数多

7、1，所以有 37 人，平均每人种 29 棵。 例 4、把 155/186 和 221/187 约分。 【解析】这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与 分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，然后用 其中的一个质数去约分。 （1）186155=31，31 是质数，用 31 约分得：155/186=5/6； （2）221187=34，34=217，用 17 约分得：221/187=13/11。 例 5、小明用 2.16 元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜 1 分钱，那么他还能多买 3 张。小明 买

8、了多少张画片？ 【解析】根据题意可知：画片的单价张数=216 分，它们乘积的质因数和 216 的质因数相同。我们可以先 把 216 分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2333=827=924，显然，216 分可以买 8 分 的画片 27 张，也可以买 9 分的画片 24 张。所以，小明买了 24 张画片，符合题意。 课堂狙击课堂狙击 1、195 个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于 1，共有几种排法？ 【解析】根据 195=365，195=539，195=1315 可得排法如下 3 行 65 列，5 行 39 列，13 行 15 列， 65 行 3 列，39 行 5 列，1

9、5 行 13 列。 实战演练 2、把 462 名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在 10 至 25 人之间，求每组的人 数及分成的组数。 【解析】462=2122=1433 每组的人数是（21 ）人，共分成（22 ）组。 或每组的人数是（ 22）人，共分成（21 ）组。 或每组的 人数是（14 ）人，共分成（33 ）组。 或每组的人数是（11 ）人，共分成（42 ）组。 3、下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。 =1288 【解析】1288=222723=2846 4、3 月 12 日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的

10、纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树 的棵数相等，一共植了 111 棵树，求有多少个学生。 【解析】分解质因数 111=337 也就是说有三人 减去老师一人 就说明只有两名学生 三人每人值 37 棵树。 5、在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。 =1995 【解析】6653=1995 6、有三个质数，它们的乘积是 1001，这三个质数各是多少？ 【解析】因为是 3 个数，乘积为 1001，又知 101010=1000，所以三个素数必有一个小于 10， 小于 10 的素数有：2，3，5，7，显然 2，3，5 都不是，只剩下 7，验证下 1001/7=143，143 由 2 个素数相

11、乘，1212=144，所以必有个数小于 12，小于 12 的素数有 2，3，5，7，11 验证取 11，最后三个数分别为 7，11，13 7、237 除以一个两位数，所得的余数是 6，请写出适合于这个条件的所有两位数。 【解析】237-6231 2313773117 所以这样的两位数为 11=111 2137 33311 77117 8、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是 9240 立方厘米，那么，这个 长方体的表面积是多少？ 【解析】一个长方体的长,宽.高是三个连续的自然数， 有:9240=202122 表面积=2(2021+2022+2122)=2644 平方

12、厘米 9、求 2310 的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？ 【解析】2310=23110=23152,所以最大约数为 2315 =1155 (因为比 2 小的约数只有 1 了,所以 2 对应 的这个约数是除了 2310 本身外最大的） 课后反击 1、甲数比乙数大 9，两个数的积是 792，求甲、乙两数分别是多少。 【解析】792=2223311=3324 甲数是 33，乙数是 24. 2、四个连续奇数的和是 19305，这个四奇数分别是多少？ 【解析】把 19305 分解质因数得： 19305=33351113 所以 19305=9111315 3、有三个自然数 a、b、c，已知 ab=

13、30，bc=35，ca=42，求 abc 的积是多少？ 【解析】因为三个自然数 a、b、c，ab=30，bc=35， 所以 b 可能为：1 或 5； 当 b=1 时，a=30，c=35，ca=303542，与条件矛盾，所以 b=1 不成立； 当 b=5 时，a=305=6，c=355=7，ca=76=42，正确 abc=657=210 4、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是 391，而且排数比座位号数大 6。小青买的电影票是 几排几座？ 【解析】391=2317 所以小青买的电影票是 23 排 17 号。 5、有三个自然数 a，b，c，已知 ab=35，bc=55，ac=77，求三个

14、数之积是多少？ 【解析】ab = 35=57， bc = 55=57， ca = 77=711 abc=5711=385 6、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是 2910。求张明 的成绩、名次和年龄分别是多少？ 【解析】这样的题目一般先将数分解为几个数的乘积，直到不能再分解，然后根据题目给出的隐含条件来 判断 2910=21455=23485=23597 =21597 =6597 =10397 初中学生一般 10 岁以上， 则张明应是 15 岁，第二名，97 分 7、有 4 个孩子，恰好一个比一个大 1 岁，4 人的年龄积是 3024，这 4 个孩子

15、中最大的几岁？ 【解析】 将 3024 分解质因数得： 3024=6789， 这四个孩子的年龄分别=6、7、8、9 岁。 8、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成 3 组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦 111 块，那 么，平均每人擦了多少块？ 【解析】.因为师生共檫玻璃 111 块，111=337，可理解为师生每人檫 3 块玻璃，37-1=36 人，共有老师 1 人，学生 36 人； 36/3=12 人，即，每组 12 人，共分 3 组； 9、自然数 a 乘以 2376，所得的积正好是自然数 b 的平方，求 a 最小是多少？ 【解析】2376=62611 自然数 a 乘以 2376,所得的积正好是自然数 b 的平方，说明 a 最小应该是 611=66，否则只会更大，才能保 证是一个完全平方数 （1）理解质因数的概念； 重点回顾 （2）利用我们分解质因数来解决一些较简单的问题； （3）通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意 志品质。 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）对于很多题目，我们可以用分解质因数的方法求解。掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许 （2）掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许一般方法不能解答的与积有关的应用题。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨