【精品】五年级奥数培优教程讲义第10讲-周期问题(教师版)
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1、第第 1010 讲讲 周期问题周期问题 学会对一个周期问题进行分析、推理; 利用我们的规律来解决一些较简单的问题; 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、周期问题一、周期问题 在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复的现象,如:人的十二生肖,一年有春夏 秋冬四个季节,一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为 简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 二、解题策略二、解题策略 在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找 出循环的固定数,然后利用除法算式求
2、出余数,最后根据余数得出正确的结果。 考点一:一般周期问题考点一:一般周期问题 例例 1 1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的的规律排列 (如下图),请你算一算,第 32 个珠子是什么颜色? 【解析】 从上图可以看出, 珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列, 即 6 个珠子为一周期。 326=5(组)2(个),32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个,所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子,应为红色。 例例 2 2、你能找出下面每组图形的排列规律吗?根据发现的规律,算出每组第 20 个图形分别是 什么。(1) (2) 教学目标
3、 知识梳理 典例分析 【解析】第(1)题排列规律是“”两个图形重复出现,202=10,即“”重复出现 10 次,所以第 20 个图形是。第(2)题的排列规律是“”三个图形重复出现,20 3=62,即“”重复出现 6 次后又出现了两个图形“”,所以第 20 个图形是。 例例 3 3、100 个 3 相乘,积的个位数字是几? 【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 个 3.积的个位是 3;2 个 3 相乘积的 个位数字是 9;3 个 3 相乘积的个位数字是 7;4 个 3 相乘积的个位数字是 1;5 个 3 相乘积的 个位数字是 3可以发现,积的个位数字分别以 3、9、7、1 不断重复
4、出现,即每 4 个 3 积 的个位数字为一周期。1004=25(个),因此 100 个 3 相乘积的个位数字是第 25 个周期中的 最后一个,即是 1。 例例 4 4、有一列数按“432791864327918643279186”排列,那么前 54 个数字之和是多少? 【解析】上面一列数中,从第 1 个数字开始重复出现的部分是“43279186”,周期数是 8。要 求出这列数字的和,就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。 548=6(组)6(个) 因此,前 6 组数字和是(43279186)6=240,余下 6 个数字之和是 43 2791=26。所以,这列数中前 54 个数字之和
5、是 24026=266。 例例 5 5、小红买了一本童话书,每两页文字之间有 3 页插图,也就是说 3 页插图前后各有 1 页文 字。如果这本书有 128 页,而第 1 页是文字,这本童话书共有插图多少页? 【解析】已知这本童话书 3 页插图前后各有 1 页文字,也就是说这本书是按“1 页文字 3 页插 图“的规律重复排列的,把“1 页文字 3 页插图”看作一周期,128 页中含有 128(13) =32 个周期,所以这本童话书共有插图 332=96 页。 考点二:较复杂周期问题考点二:较复杂周期问题 例例 1 1、有一列数,按 5、6、2、4、5、6、2、4排列。 (1)第 129 个数是多
6、少?(2)这 129 个数相加的和是多少? 【解析】(1)从排列可以看出,这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列, 那么一个循环就是 4 个数,则 1294=321,可知有 32 个“5、6、4、2”还剩一个。所以第 129 个数是 5。(2)每组四个数之和是 5+6+4+2=17,所以,这 129 个数相加的和是 1732 5=549。 例例 2 2、假设所有的自然数排列起来,如下所示 39 应该排在哪个字母下面?88 应该排在哪个字 母下面? A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】从排列情况可以知道,这些自然数是按从小到大 4 个数一个循环,我们可以
7、根据这些 数除以 4 所得的余数来分析。 394=93 884=22 所以,39 应排在第 10 个循环的第三个字母 C 下面,88 应排在第 22 个循环的第四个字母 D 下面。 例例 3 3、 1991 年 1 月 1 日是星期二, (1) 该月的 22 日是星期几?该月 28 日是星期几? (2) 1994 年 1 月 1 日是星期几? 【解析】(1)一个星期是 7 天,因此,7 天为一个循环,这类题在计算天数时,可以采用“算 尾不算头”的方法。 (221)7=3,没有余数,该月 22 日仍是星期二; (281)7=36, 从星期三开始(包括星期三)往后数 6 天,28 日是星期一。 (
8、2) 1991 年、 1993 年是平年, 1992 年是闰年, 从 1991 年 1 月 2 日到 1994 年 1 月 1 日共 1096 天,10967=1564,从星期三开始往后数 4 天,1994 年 1 月 1 日是星期六。 例例 4 4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流 代表年号,例如,第一年如果属鼠年,第二年就属牛年,第三年就是虎年。如果公元 1 年属 鸡年,那么公元 2001 年属什么年? 【解析】一共有 12 种动物,因此 12 为一个循环,为了便于思考,我们把“狗、猪、鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环,
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