【精品】五年级奥数培优教程讲义第09讲-数阵（教师版）

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1、第第 0909 讲讲 数数 阵阵 学会掌握数阵图形的基本分析方法； 会运用数阵图的几类解法。 一、数阵图一、数阵图 把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻 方演变而来的数字图。 二、数阵图的分类二、数阵图的分类 封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 三、数阵图的解法三、数阵图的解法 （1 1）辐射型数阵图）辐射型数阵图 方法一：尝试法尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能 填最大数、 最小数或中间数； 方法二：公式法公式法，线和线数=数字和+重叠数重叠次数；重叠次数=线数-1 （2 2）封闭型数阵图）封闭型数阵图

2、公式：线和线数=数字和+重叠数之和 （3 3）复合型数阵图）复合型数阵图 综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。 考点一：考点一：辐射型数阵图辐射型数阵图 例例1 1、 把15这五个数分别填在下图中的方格中， 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】 中间方格中的数很特殊， 横行的三个数有它， 竖列的三个数也有它， 我们把它叫做“重 叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重 叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于 9，所 以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+

3、9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好 填了(见右上图)。 例例 2 2、将 17 这七个自然数填入左下图的七个内，使得每条边上的三个数之和都等于 10。 【解析】与例例 1 1 类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有 3 条边，所以中间 的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+7)+重叠数2=103。由此得出重叠数为 103-(1+2+7)2=1。剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5。可得 右上图的填法。 如果把例 4 中“每条边上的三个数之和都等于 10”改为“每条边上的三个数之和都相等”， 其他不变，那么仿照

4、例 3，重叠数可能等于几？怎样填？ 考点二：考点二：封闭型数阵图封闭型数阵图 例例 1 1、将 16 六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于 11. 【解析】 此图是封闭 33 图，因为每条边上的和都为 11，那么三条边上的数字之和为 11 333 ，而 1+2+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于 33-21=12，在 16 中选 3 个和为 12 的数，且其中任意两个的和不等于 11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。 例例 2 2、将 18 这八个自然数分别填入下图中的八个内，使四边形每条边上的三个数之和都 等于 14，且数字 1 出现

5、在四边形的一个顶点上。应如何填？ 答案：见右图 例例3 3、把19 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是 23。 考点三：复合型数阵考点三：复合型数阵 例例 1 1：将 17 这七个数分别填入下图的里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三 个数之和都相等。 【解析】所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上 的所有数之和为(127)2中心数56中心数。 因为每条边及每个圆周上的三数之 和都相等，所以这个和应该是 5 的倍数，再由中心数在 1 至 7 之间，所以中心数是 4。每条边 及每个圆周上的三数之和等于(564)5

6、12。 中心数确定后， 其余的数一下还不好直接确定。 我们可以试着先从辐射型 3-3 图开始。中心数是 4，每边其余两数之和是 12-4=8，两数之和是 8 的有 1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。 对于左上图， 适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置， 便得到本题的解(见右上图)。 例例 2 2：将 110 这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于 23，应怎样 填？ 解：共有六解： 课堂狙击课堂狙击 1、将 19 这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出 两种本质上不同的填法) 答案： 2、将 111 这十一个数分别填入下图

7、的里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能 大。 实战演练 【解析】中心数是重叠数，并且重叠 4 次。所以每条直线上的三数之和等于(1211) 重叠数4 5(66重叠数4)5。 为使上式能整除， 重叠数只能是 1， 6 或 11。 显然， 重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是 11，每条直线上的三数之和是 22。 填法见右上图。 3、在右图的六个内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于 20，而且每个三 角形（共 5 个）顶点上的数字之和都相等。 【解析】因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个，又因为每 个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个

8、三角形顶点上的数字之和为 20210。10 分为三 个质数之和只能是 235，由此得到右图的填法。 4、把 18 这八个数字分别填入下图（1）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之 和都相等，给出一种具体的填法. 答案：不唯 5、将 110 这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六 个数的和是 30。 【解析】设中间两个圆中的数为 a、b，则两个大圆的总和 是 12310ab=302，即 55ab=60，ab=5。在 110 这十个数中 1 4=5，23=5。 当 a 和 b 是 1 和 4 时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当 a 和 b 是 2 和

9、 3 时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。 6、把 5、6、7、8、9 五个数分别填入下图的五个方格里，如图 a 使横行三个数的和与竖行三 个数的和都是 21。 【解析】 先把五格方格中的数用字母 A、 B、 C、 D、 E 来表示， 根据题意可知： ABCDE=35， AEBCED=212=42。 把两式相比较可知， E=4235=7， 即中间填 7。 然后再根据 59=68 便可把五个数填进方格， 如图 b。 课后反击课后反击 1、将 16 这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。 【解析】设中间三个圆内的数是 a、b、c。因

10、为计算三条线上的和时，a、b、c 都被计算了两 次， 根据题意可知： 123456 （abc） 除以 3 没有余数。 123456=21， 213=7 没有余数，那么 abc 的和除以 3 也应该没有余数。在 16 六个数中，只有 4 56 的和最大，且除以 3 没有余数，因此 a、b、c 分别为 4、5、6。（123456 456）3=12，所以有有图的填法。 2、 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它 们的和是 20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？ 【解析】设每个小三角形三个顶点处内数的和为 X。因为中间的小三角

11、形顶点处的数在求和 时都用了三次， 所以， 四个小三角形顶点处数的总和是 4X=202X， 解方程得 X=10。 由此可知， 每个小三角形顶点处的三个质数的和是 10，这三个质数只能是 2、3、5。因此这 6 个质数的积 是 223355=900。如图（b）。 3、把 15 这五个数填入下页左上图中的里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等。 【解析】两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两 条直线上的三个数之和都等于 (1+2+3+4+5)+52=10。因此，两条直线上另两个数(非“重 叠数”)的和等于 10-5=5。在剩下的四个数 1， 2， 3，

12、4 中，只有 1+4=2+ 3=5。故有右上图 的填法。 4、将 17 分别填入下图的 7 个内，使每条线段上三个内数的和相等。 【解析】首先要确定中心圆内的数，设中心内的数是 a，那么，三条线段上的总和是 12 345672a=282a，由于三条线段上的和相等，所以（282a）除以 3 应该没有余 数。由于 283=91，那么 2a 除以 3 应该余 2，因此，a 可以为 1、4 或 7。当 a=1 时， （28 21）31=9，即每条线段上其他两数的和是 9，因此，有这样的填法。 5、将 19 九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的 和相等，并且尽可能大。这

13、五个数之和最大是多少？ 【解析】靠近三角形边上一共有 3 条边,每条的和为 S,那么 3 条边的和为 3S。同时,这三条边 相加的时候,除了2排第1、 3和3排第3个.其余6个小三角都被加了2次.所以,3S=1+2+9+6 个小三角形的和。所以 3S=45+6 个小三角形的和。要使 S 大,那么就是 6 个小三角形的和大, 于是另外 3 个格子里就填 1,2,3,而这 6 个分别是 4,5,6,7,8,9,这样,S 就=28。其中一种填法 可以是:上面 9;中间顺次 1,4,3.下面顺次 8,6,2,5,7. 一、数阵图的分类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 二、数阵图的解法 （1 1）辐射型数阵图）辐射型数阵图 重点回顾 名师点拨 方法一：尝试法尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能 填最大数、 最小数或中间数； 方法二：公式法公式法，线和线数=数字和+重叠数重叠次数；重叠次数=线数-1 （2 2）封闭型数阵图）封闭型数阵图 公式：线和线数=数字和+重叠数之和 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验