【精品】五年级奥数培优教程讲义第08讲-尾数与余数（教师版）

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1、第第 0808 讲讲 尾数与余数尾数与余数 了解尾数、余数概念； 掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法； 培养学生观察发现、总结归纳的学习能力。 一、基本概念一、基本概念 1.1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。 377896 的尾数是 6,573450 的尾数是 0. 2.2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。 356=55,余数是 5； 188813=62932,余数是 2. 尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、方法技巧二、方法技巧 解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答： 1.

2、1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题； 2.2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周 期就是几； 3.3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直 接求出余数了。 考点一：分解被除数写出符合条件的除数考点一：分解被除数写出符合条件的除数 例例 1 1、写出除 213 后余 3 的全部两位数。 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】因为 213=2103，把 210 分解质因数：210=2357，所以，符号题目要求的两 位数有 25=10，27=14，35=15，37=21，57=35，235=

3、30，237=42，一共有 7 个两位数。 例例 2 2、写出除 1290 后余 3 的全部三位数 【解析】因为 1290=1287+3，把 1290 分解质因数：1287=331113，所以只要 3,11,13 这 三个数组合相乘，得到的三位数就都满足条件。符合条件的三位数有：3313=117,11 13=143,31113=429。 考点二：确定一个乘积结果的尾数考点二：确定一个乘积结果的尾数 例例 1 1、125125125125100 个 25积的尾数是几？ 【解析】因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位还是 5，所以 这个乘积结果的尾数就是 5。

4、 例例 2 2、444450 个 4积的个位数是几？ 【解析】我们先列举前几个 4 的积，看看个位数在怎样变化，1 个 4 个位就是 4；44 的个位 是 6；444 的个位是 4；4444 的个位是 6由此可见，积的尾数以“4，6”两个 数字在不断重复出现。502=25 没有余数，说明 50 个 4 相乘，积的个位是 6。 考点三：确定循环类结果的数字或余数考点三：确定循环类结果的数字或余数 例例 1 1、把1 7 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多少？ 【解析】因为1 7 0.142857142857，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857” 共有 6 个数字。

5、由于 1006=164，所以，小数点后面的第 100 位是第 17 个循环节的第 4 个数字，是 8。 例例 2 2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两 个数的和。在这串数中，第 1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？ 【解析】这组数除以 3 的余数是按照 2,2,1,0,1,1,2,0 这 8 个一组的周期循环重复的，1000 8=125，余数是 0，第 1000 个数被 3 整除后所得的余数就和第 8 个余数相同，也就是余数是 0。 考点四：采用试除法解决余数问题考点四：采用试除法解决余数问题 例例 1 1、555552001 个 5

6、13，当商是整数时，余数是几？ 【解析】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规 律变化。 从竖式中可以看出，余数是按 3、9、4、6、0、5 这六个数字不断重复出现，重复周期是 6。 20016=3333，所以，当商是整数时，余数是 4。 例例 2 2、44446100 个 4，当商是整数时，余数是几？ 【解析】经过试除发现余数是按照 2、0、4 这三个数字不断重复出现，重复周期是 3。100 3=331，所以，当商是整数时，余数是 2。 课堂狙击课堂狙击 1、178 除以一个两位数后余数是 3，适合条件的两位数有哪些？ 【解析】 注意区别除与除以的含义。

7、178-3=175,175=557， 所以符合条件的两位数有： 25， 35。 2、（2126）（2126）（2126）100 个（2126）积的尾数是几？ 【解析】每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析 100 个 6 相乘，积的尾数是几就行 了。因为个位 6 乘 6，积的个位仍然是 6，所以不管多少个（2126）连乘，积的个位还是 6。 3、999951 个 9积的个位数是几？ 【解析】 51个9相乘时， 积的个位是以 “9， 1” 两个数字不断重复， 循环周期是2， 512=251， 实战演练 余数是 1，说明 51 个 9 本乘积的个位是 9。 4、5 7 写成循环小

8、数后，小数点后第 50 个数字是几？ 【解析】5 7 = 0.714285714285这是一个循环小数，循环节为 714285 循环周期为 6，50 6=82 所以，第 50 个数字为循环节的第 2 个数字，即为 1。 5、66664100 个 6 当商是整数时，余数是几？ 【解析】经过试除后发现无论多少个 6，余数都是 2，所以 100 个 6 时，余数仍为 2。 6、94949494102 个 94494949101 个 49，差的个位是多少？ 【解析】4=4，44=16，444=64，4444=256，发现若干个 94 相乘积的尾数以：4、 6 重复出现，循环周期是 2，102 2=51

9、，所以 102 个 94 相乘的积尾数是 6；同理可知若干个 49 相乘积的尾数以 9、1 重复出现，循环周期是 2,1012=501，所以 101 个 49 相乘的结 果以 9 为尾数。作差时，个位 6-9，不够减，需向前借一位，16-9=7，所以差的个位，及差的 尾数是 7。 7、有一串数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 10，从第三个数起，每个数恰好是前 两个数的和。在这一串数中，第 1991 个数被 3 除，所得的余数是几？ 【解析】这串数依次为：3、 10 、13、 23、 36 、59、 95 、154 被 3 除的余数为 0、1、1、2、0、2、2、1、0、1 是 0、1

10、、1、2、0、2、2、1 的循环,周期为 8，19913=6632 也就是第二个数,所以余数 是 1。 课课后反后反击击 1、写出除 109 后余 4 的全部两位数 【解析】除 109，所以 109 是被除数。109-4=105,105=537，所以符合条件的两位数有 5 3=15，37=21， 57=35。 2、1.51.51.51.5200 个 1.5积的尾数是几？ 【解析】尾数是 5，因为无论多少个 5 相乘，都遵循 55=25。 3、（1263）（1263）（1263）（1263）1000 个（1263）积的尾数 是几？ 【解析】尾数是 6，一组 23=6，而不论多少组，都遵循 66=

11、36。 4、把 1 11 化成小数，求小数点后面第 2001 位上的数字。 【解析】 111=0.090909结果以 09 为循环节， 周期是 2,20012=10001， 所以第 2001 位上的数字是 0。 5、88887200 个 8 当商是整数时，余数是几？ 【解析】经试除后发现，余数以 1、4、6、2、5、2、0，重复循环出现，循环周期是 6，200 6=332，所以结果的余数是 4。 6、一列数 1,2,4,7,11,16,22,29，。这列数的规律是第二个数比第一个数多 1；第三个数 比第二个数多 2，第四个数比第三个数多 3。依次类推，这列数左起第 1992 个数被 5 除余数

12、是 几？ 【解析】设这串数为 a1，a2，a3，a1992，据题意可知： a1=1 a2=1+1 a3=1+1+2 a4=1+1+2+3 a5 =1+1+2+3+4 a1992 = 1+1+2+3+1991=1+（1+199）19912=1+9961991； 因为 9965=1991，19915=3981，所以 9961991 的积除以 5 余数为 1，1+996 1991 除以 5 的余数是 2。 因此，这串数左起第 1992 个数除以 5 的余数是 2。 故答案为：2。 7、已知，甲数除以 9 余 7，乙数除以 9 余 5，甲数比乙数大。 （1）甲、乙两数的和除以 9 余数是几？ （2）甲

13、、乙两数的差除以 9 余数是几？ （3）甲、乙两数的积除以 9 余数是几？ 【解析】（1）甲数和乙数的和除以 9 的余数与甲、乙两数分别除以 9，所得的余数和除以 9 的余数相等。 （5+7）9=13，余数是 3。 （2）甲数减乙数所得的差除以 9 的余数与甲、乙两数分别除以 9，所得的余数差除以 9 的余 数相等。 （7-5）9=02，余数是 2。 （3）甲数与乙数的积除以 9 的余数与甲、乙两数分别除以 9，所所得的余数积除以 9 的余数 相等。 759=38，余数是 8。 8、12100+1299+123+12+1 的个位数字是几？ 【解析】这个和的个位数字只取决于 1+12+123+1

14、234 的个位数，因为从 123 45 开始，每项的个位数都是 0，而 1+12+123+1234=33，所以这个式子和的 个位数字是 3。 1、【2015希望杯初赛】9 个 13 相乘，积的个位数字是 【解析】113 个位是 3，1313 个位是 9,131313 个位是 7，13131313 个位是 1， 发现乘积结果的个位数字（尾数）以 3、9、7、1 循环，周期为 4。94=21，所以积的个 位数字是 3。 2、【2015希望杯初赛】如果自然数 、b、c 除以 14 都余 5，则 + b+c 除以 14，得到的余数 是 【解析】5+5+5=15,1514=11，所以得到的余数是 1。

15、3、【2016 鹏程杯】设 =1+2 1+22+23+24+2999+21000，则 被 3 除的余数是 【解析】=1+2（1+2）+2 3（1+2）+25(1+2)+ +2999(1+2)，所以 被 3 除的余数是 1。 4、 【2016 华罗庚金杯小学高年级组决赛题 C】 n 为正整数， 形式为 2 n-1 的质数称为梅森数， 直击赛场 例如：2 2-1=3， 2 3-1=7 是梅森数。最近，美国学者刷新了最大的梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已 知的最大的质数，它的个位数字是 【解析】这个梅森数是 2 742072811， 2 1=2 24=16 27=128 2 2=4

16、 25=32 28=256 2 3=8 26=64 2 n的个位数字以 2、 4、 8、 6 重复， 循环周期为 4， 742072814=185518201， 所以 274207281 的末尾数字是 2，梅森数 2 742072811 的个位数字是 1。 1、分解被除数写出符合条件的除数 2、确定一个乘积结果的尾数 3、确定循环类结果的数字或余数 4、采用试除法解决余数问题 1、当需要求解有规律的一组数字的尾数（个位数字时），找到循环周期是关键，最后用要求 解的数除以周期，根据余数得到个位数字的顺序，最终得到答案。 2、两个数分别除以同一个数，得到 2 个不同的余数，则这两个数和、差、积的余数就是这 2 个余数的和、差、积与这个除数作商的余数。 本节课我学到本节课我学到 重点回顾 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是我需要努力的地方是