【精品】五年级奥数培优教程讲义第04讲-长方形、正方形的周长（教师版）

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1、第第 0404 讲讲 长方形、正方形的周长长方形、正方形的周长 熟悉掌握基本图形周长的求法 熟悉运用分解、 平移、 合并等技巧成基本图形， 利用长方形、 正方形周长计算的公式求解。 能够分析图形的特点，提高几何图形的思维能力 一、基本概念及公式一、基本概念及公式 周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。 长方形周长=（长+宽）2 正方形周长=边长4 二、方法技巧二、方法技巧 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则 的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图 形，利用长方形、正方形周长计算的公式求解。 考点一：

2、平移法考点一：平移法 例例 1 1、有两个形同的长方形，长 7 厘米，宽 5 厘米，把他们按下图的样子重叠在一起，这个图 形的周长是多少厘米？ 5 厘米 7 厘米 教学目标 知识梳理 典例分析 7 厘 米 7 厘 米 【解析】 这是一个不规则的图形， 我们可以利用平移线段的方法， 将这个图形转化为正方形 （如 下图所示），原来长方形的长就是转化后正方形的边长，要求原来图形的周长，只要求得边长 是 7 厘米的正方形的周长即可。 周长=74=28（厘米） 例例 2 2、下面是一个楼梯的侧面，如果在楼梯上铺地毯，求地毯的长度 【解析】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的

3、高度向右 移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后 我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。 周长=42=8（米），故地毯的长度为 8 米。 例例 3 3、下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成.求这个图形的周长 50 【解析】将其图形左边的边长往左平移，图形右边的边长往右平移，与矩形长平行的边长向上 方的平移可得到右图矩形，长方形的周长就是不规则图形的周长=（50+20+9+15)2=188cm 例例 4 4、求下面这个图形（每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，且边相互平行）的 周长？ 20 9 15 【解析】如下图，把原图形外周围凹进

4、行的线段平移出来，围成了一个正方形，原图形周长就 等于转换图围成的正方形的周长。 从图中可以看出这个围成的大正方形的边长就等于 1 个小正 方形的边长加上小正方形边长一半的 7 倍。这个大正方形的边长为：2+227=9（厘米） 所以原图形的周长就等于：94=36（厘米） 2、有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为 边长的一半，求重叠后图形的周长。 思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长 的一半同时向左、右、上、下平移（如图 b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和 原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是 1

5、84=72 厘米。 考点二：合并法考点二：合并法 例例 1 1、如下图所示,长方形长 4 厘米,宽 2 厘米.现沿其对角线 BD 对折得到一几何图形,试求图 形阴影部分周长。 【解析】阴影部分周长=三角形 DEF 的周长+三角形 BFC 的周长=(DE+DF+EF)+(BF+CF+BC)，观察 一下， 可以利用合并， 得阴影部分周长= （DF+FC） +(EF+BF)+(DE+BC)=CD+BE+DE+BC=4+4+3+3=14 厘米 例例 2 2、 用一个长 8 厘米、 宽 4 厘米的长方形与 7 个边长为 4 厘米的正方形， 拼成一个大正方形。 拼成的大正方形的周长是多少？ 【解析】将长方

6、形和小正方形面积合并起来，先由大正方形的面积，求出其边长，再求出这个 大正方形周长。大正方形的面积就是拼成大正方形的 8 个图形的面积之和：84+447=144 （平方厘米），对 144 分解因数：144=1212，即正方形的边长为 12。所以正方形的周长为： 124=48（厘米） 考点三：分解法考点三：分解法 例例 1 1、如图,在长方形 ABCD 中,EFGH 是正方形.如果 AF=10 厘米,HC=7 厘米,那么长方形 ABCD 的 周长是多少厘米? 【解析】长方形 ABCD 的周长=(AB+BC) 2。既然不能直接求 AB、CD 长度，那就转化分解为题 目已知的长度。AB=AF+BF,

7、在长方形 BFGC 中 BC=FG,BF=CG。在正方形 EFGH 中 FG=HG,故 BF=CG,BC=HG。AB+BC=AF+CG+HG=AF+CH=10+7=17 厘米，所以长方形 ABCD 周长=172=34 厘米 例例 2 2、下图是由 4 个一样的长方形和 1 个周长是 4 分米的小正方形拼成的一个边长是 11 分米 的大正方形，每个长方形的长与宽各是多少分米？周长是多少分米？ 【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形的长与宽之和，也可以分解为 2 倍的小长方形宽 与小正方形的边长。 所以小长方形的宽是 （11-4） 2=3.5 （分米） ， 小长方形的长=11-3.5=7.5 （

8、分米)。周长=112=22(分米） 课堂狙击课堂狙击 实战演练 1、如图一，一个正方形分成甲、乙两部分，比较甲、乙两部分周长的长短，求出乙的周长。 【解析】如下图二，把原图中，乙图凹进去的四条线段平移出来，正好与外围四条线段围成了 一个正方形与原正方形重合，乙图的周长就等于原正方形的周长：54=20。 如上图三，把原图中，甲图凹进去的两条线段平移出来，正好与外围四条线段围成了一个 长方形，甲图的周长就等于这个长方形的周长。通过对比，这个长方形的每条边长都小于 5， 所以甲图的周长比乙图的周长要短。 2、一个正方形被分成 6 个大小、形状完全一样的长方形，每个长方形的周长是 14 厘米。原正 方

9、形的周长是多少厘米？ 【解析】解题的关键是充分利用图形中隐藏的条件：正方形四边相等，正方形的边长既等于被 分成的长方形的长，又等于这个长方形的宽的 6 倍。所以被分成的长方形的长是宽的 6 倍。 如果把长方形宽的长度看着 1 份，长就是 6 份，周长就是 14 份，则小长方形的宽为：14（1 +6+1+6）=1（厘米）；长为：16=6（厘米）所以原正方形的周长：64=24（厘米） 3、由 16 个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，如果这个图形的面积是 400 平方厘米， 它的周长是多少厘米？ 【解析】每个小正方形的面积为：40016=25（平方厘米），把 25 分解因数：25=55，即每

10、个小正方形的边长为 5 厘米 如果把小正方形的边长看着 1 个单位长度。通过平移，题中图形的周长就相当于一个长为 7 个 单位长度，宽为 4 个单位长度的长方形周长，再加上 4 条长为 3 个单位长度的线段的长度。原 图形的周长为：（4+7）2+34=34（份）；345=170（厘米） 另：也可以直接数出题中图形的周长是由 34 个小正方形边长围成。 4、 下图是一个零件的平面图， 图中每一条最短线段均长 5 厘米， 零件长 45 厘米， 高 30 厘米。 这个零件的周长是多少厘米？ 【解析】将不规则图形平移到右图，得到一个大长方形与 10 条最短线段。周长=（30+45） 2+105=200

11、 厘米 5、用同样的长方形瓷砖，在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框，边框的周长是 264cm,里面 小正方形的面积是 900 平方厘米。求每块瓷砖的周长。 【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形宽与 2 倍的小长方形长之和，也可以分解为小正 方形边长与 2 倍的小长方形宽之和。小正方形的面积是 900 平分厘米，分解质因数 900=30 30， 所以小正方形的边长是 30 厘米。 大正方形的边长=2644=66 厘米。 故小长方形宽= （66-30） 2=18 厘米。小长方形的长=（66-18）2=24 厘米。所以小长方形的周长为（18+24）2=84 厘米 6、 一块长方形木板， 沿着它的

12、长度不同的两条边各截去 4 厘米， 截掉的面积为 192 平方厘米。 现在这块木板的周长是多少厘米？ 【解析】 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块（如图），其中 AB 的面积是 19244=176 （平方厘米）。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板 剩下部分的周长的一半。1764=44（厘米），现在这块木板的周长是 442=88（厘米） 课课后反后反击击 1、有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为 边长的一半，求重叠后图形的周长。 【解析】 根据题意， 我们可以把每个正方形的边长的一半同

13、时向左、 右、 上、 下平移 （如图 b） ， 转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因 此，所求周长是 184=72 厘米。 2、求下列图形的周长。（单位：厘米） 【解析】从图中可以看出，整个图形的周长由八条线段围成，其中四条横着，四条竖着。其中 上面三条横着的线段和是 10 厘米，那么这样四条横着的线段和是 10+10=20（厘米），四条竖 着的线段和是 82+22=20（厘米）所以，整个图形的周长是 20+20=40（厘米） 3、已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？ 【解析】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，

14、其中三条横着，三条竖着。三条 横着的线段和是（ab）2、三条竖着的线段和是 b2。所以，整个图形的周长是（ab） 2b2、即 2a4b。 4、如图 8 所示，在正方形中 ABCD，BC=4BM若梯形 AMCD 的周长比三角形 ABM 的周长大 12， 求正方形的边长。 【解析】因为 AB=CD，AM 是梯形 AMCD 与三角形 ABM 共有的边， 所以梯形 AMCD 的周长-三角形 AB 的周长=CM+AD-BM =12。又因为 MC=4BM， 则 CM=3BM， AD=BC=4BM， 于是 6BM=12， 解得 BM=2， 所以 AB=8。 1、从长方形纸片上裁掉两个正方形 ABCD 和正方

15、形 CEFG，其中正方形 ABCD 的面积是 49 平方 厘米，求余下的长方形纸片 DGFH 的周长 直击赛场 【解析】 长方形纸片 DGFH 的周长 =2 （DG+GF） =2CD， 恰好是正方形 ABCD 的边长的 2 倍 因 为正方形 ABCD 的面积是 49 平方厘米， 所以正方形 ABCD 的边长是 7 厘米， 27=14（厘 米） 故长方形纸片 DGFH 的周长是 14 厘米 2、求下图的周长（单位厘米） 【解析】 平移图中的部分线段后， 可得到如图上长方形， 长方形的周长就是所求图形的周长 则 图可得， 长方形的宽是 19 厘米， 长是 10+12=22 （厘米） 故所求图形的周长是 2 （19+22） =82（厘米） 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则 的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图 形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解。 我们可以采用转化的数学思想方法通过分解、平移、合并等技巧，将一些较复杂图形的周长问 题转化为简单的长方形、正方形周长问题求解。 重点回顾 名师点拨 10+12=22 19 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验