【精品】五年级奥数培优教程讲义第03讲-鸡兔同笼问题（教师版）

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1、 第第 0303 讲讲 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题； 掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。 大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚。鸡和兔 各有几只？ 这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。 解决鸡兔同笼问题的主要方法有：解决鸡兔同笼问题的主要方法有： 1 1、砍足法（抬腿法）砍足法（抬腿法） 解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独

2、脚鸡”，每只 兔就变成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只 兔子， 则脚的总数就比头的总数多1 因此， 脚的总只数47与总头数35的差， 就是兔子的只数， 即473512（只）显然，鸡的只数就是351223（只）了 2 2、假设法（经典）、假设法（经典） 鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 教学目标 知识梳理 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 3 3、方程法

3、、方程法 根据鸡兔的脚之和列方程解答。 考点一：图解法和列表法考点一：图解法和列表法 例例 1 1、鸡兔同笼，有 20 个头，54 只脚，鸡兔各多少只？ 【解析】从有 1 只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 1 19 78 20 2 18 76 20 3 17 74 20 4 16 72 20 20 13 7 54 刚好，13 只鸡，7 只兔。这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 10 10 6054 20 11 9 58 20 12 8 56 20 13 7 54 先假设兔和鸡各占一半，根据脚

4、的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这 样就减少列举的次数。 例例 2 2、有鸡兔共 30 只，兔脚比鸡脚多 60 只，问鸡兔各多少只？ 【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半， 典例分析 头（个） 鸡（只） 兔（只） 鸡脚 兔脚 鸡兔脚之差 30 15 15 30 60 30 30 14 16 28 64 36 30 13 17 26 68 42 30 12 18 24 72 48 30 11 19 2 6 52 30 10 20 20 80 60 所以 10 只鸡 20 只兔。 点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加 6.同样，减少一只兔， 增加一

5、只鸡，它们的脚数差减少 6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为 6 只。 例例 3 3、笼子里有鸡和兔共 8 只，一共 22 条腿。鸡和兔各有几只？ 【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法图解法来解答。 第一步：先画 8 个 表示鸡兔共有 8 个头 。 第二步：给每个头都配上 2 条腿，共 16 条腿，这样 8 只全是鸡。 第三步：把剩下的 6 条腿配在 3 个图上，这样 2 条腿的有 5 个，4 条腿的有 3 个。也就是 有 5 只鸡，3 只兔。 把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8 个头只需要 16 条腿 82=16（只） 还剩下 6 条腿：22-16=6（只） 再把

6、6 条腿加在 3 只鸡上，就变成 3 只兔。62=3（只） 考点二：假设法考点二：假设法 例例 1 1、有鸡兔共 20 只，脚 44 只，鸡兔各几只？ 【解析】假设 20 只全是鸡，那么就有鸡脚 202=40 只，比实际少了 44-40=4 只，是因为每只 兔少算了 4-2=2 只脚，所以兔有 42=2 只。鸡有 20-2=18 只。 例例 2 2、鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔 脚多 200 只， 而实际上只多 20 只， 这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多

7、 200-20=180 （只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会 减少 426（只），而 180630，因此有兔子 30 只，鸡 100-3070（只）。 解：有兔（2100-20）（24）30（只）， 有鸡 100-30=70（只）。 答：有鸡 70 只，兔 30 只。 例例 3 3、现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小 瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？ 【解析】小瓶有（450-20）（42）30（个）， 大瓶有 50-3020（个）。 答：有大瓶 20 个，小瓶 30

8、个。 例例 4 4、彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用 钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套? 【解析】我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共 有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304(元)，比实际多 30428024(元)，是因为普 通文化用品每套多算了 19118(元)，所以买普通文化用品 2483(套)，买彩色文化用 品 16313(套)。 例例 5 5、100 个和尚 140 个馍，

9、大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各 有多少人? 【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡 和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300140160(个)。现在以小和 尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 312(个)，因为 160280，故 小和尚有 80 人，大和尚有 1008020(人)。同样，也可以假设 100 人都是小和尚，同 学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 考点三：列方程解决鸡兔同笼

10、问题考点三：列方程解决鸡兔同笼问题 例例 1 1、鸡、兔共笼，鸡比兔多 20 只，足数共 280 只，问鸡、兔各几只？ 【解析】本题可以用假设法解答。 假设鸡与兔的数量一样，则足数共 280-202=240 只，则兔有 240（4+2）=40 只，鸡有 40+20=60 只。 鸡兔同笼问题除了用假设法解答外，还可以用方程解答 解：设有 x 只鸡，则有 x-20 只兔。根据足数共 280 只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40 答：鸡 60 只、兔 40 只。 例例 2 2、刘老师带了 41 名同学去北海公园划船，共租了 10 条船每条大船坐 6 人，每条小船坐 4

11、 人，问大船、小船各租几条？ 【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”，小船看成“鸡”，学生看成“脚”。 解：设大船 x 条，小船 10-x 条。 6x+4(10-x)=41+1 X=1 10-1=9 答：大船租 1 条、小船租 9 条。 例例 3 3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着 3 个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不 戴铃铛小明数了数，一共 9 个脑袋、28 条腿、11 个铃铛，三种动物各有多少只？ 【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题，应抓住“狮子狗与小山羊的脚相 同”这一条件，即把狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”，这样把三种动物转化成 两种

12、动物的鸡兔同笼问题。 列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”。 解：设小山羊和狮子狗共有 x 只，大白鹅有 9-x 只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4 再设小山羊有 y 只，狮子狗有 5-y 只 3y+(5-y)=11 Y=3 5-3=2 答：小山羊有 3 只，狮子狗有 2 只，大白鹅有 4 只。 例例 4 4、小毛参加数学竞赛，共做 20 道题，得 64 分，已知做对一道得 5 分，不做得 0 分，错一 题扣 2 分，又知道他做错的题和没做的一样多问小毛做对几道题？ 【解析】设错了 x 题，对了 20-2x 题。 5（20-2x）-2x=64 X=3 20

13、-23=14 答：小毛做对 14 道题. 点评：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。即：抓住转 化后的“头”与“脚”。 课堂狙击课堂狙击 1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共 35 个，鸡脚与兔脚共 94 只，问鸡兔各几只？ 【解析】假设全是鸡，那么就有鸡脚 352=70 只，比实际少了 94-70=24 只，是因为每只兔少 算了 4-2=2 只，所以兔有 242=12 只。鸡有 35-12=23 只。 2、鸡与兔共有 200 只，鸡的脚比兔的脚少 56 只，问鸡与兔各多少只？ 【解析】假设 200 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚 2004=800 只，而鸡的

14、脚数为零。这样 兔脚比鸡脚多 800 只，而实际上只多 56 只，比实际的差多 800-56=744（只）。是因为每 实战演练 只鸡换成兔，鸡的脚减少 2 只，兔的脚增加 4 只，也就是一只鸡变成一只兔，兔的脚与鸡 的脚之差就会增加 6 只。因此鸡有 7446124 只，兔子 200-134=76 只。 3、 在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127 个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？ 【解析】假设都是三轮摩托车，应有 341=123(个)轮子，少了 127-123=4(个)轮子每把一 辆汽车假设为三轮摩托车，会减少 4-3=1(个)轮子汽车有 41

15、=4(辆)；从而求出三轮摩托车 有 41-4=37(辆)或者假设都是汽车，应有 441=164(个)轮子，多了 164-127=37(个)轮子； 所以摩托车有 37（4-3）=37(辆) 4、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已 知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下? 【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了 12 (2+3)60(下)。可求出小乐每分钟跳 (78060)(2+3+3)90(下)， 小乐一共跳了 903270(下)，因此小喜比小乐共多跳 7802702240(

16、下)。 5、列方程解答：鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】设鸡 x 只，兔 100-x 只。 2x-4(100-x)=20 X=70 100-70=30 答：鸡 70 只、兔 30 只。 6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树 180 棵平均每个男生栽 5 棵、每个女生栽 3 棵； 又知女生比男生多 4 人，该班男生和女生各多少人？ 【解析】设男生 x 人，女生 x+4 人。 5x+3(x+4)=180 X=21 21+4=25 答：该班男生有 21 人，女生有 25 人。 7、食品店上午卖出每千克为 20 元、25 元、30 元的 3 种糖果共 10

17、0 千克，共收入 2570 元已 知其中售出每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元，那么，每千克 25 元的糖果售 出了多少千克？ 【解析】每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元，则每千克 20 元的收入： 25701970600元，所以卖出：6002030千克，所以卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果 共1003070千克， 相当于将题目转换成： 卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共 70 千克， 收入 1970 元，问：每千克 25 元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题 课堂课堂反反击击 1、鸡兔同笼，头共4

18、6，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】 假设46只都是兔， 一共应有446=184只脚， 这和已知的128只脚相比多了184-128=56 只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把 1 只鸡当成 1 只兔，就要比实际多 4-2=2（只） 脚，那么 56 只脚是我们把 562=28 只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是 28，兔的只数是 46-28=18（只） 2、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只我们假设鸡与 兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有： 274-226=222（只），每一对鸡、兔共有足：

19、2+4=6 （只） ， 鸡兔共有对数 （也就是兔子的只数） ： 2226=37 （对） ， 则鸡有 37+26=63 （只） 3、工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运到目的地一个给运费 20 元，损坏一个倒赔 100 元运 完这批花瓶后，工人共得 4400 元，则损坏了多少个？ 【解析】本题中“损坏一个倒赔 100 元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏 1 个花瓶相差 10020120（元），即损 1 个花瓶不但得不到 20 元的运费，而且要付出 120 元本例可假设 250 个花瓶都完好， 这样可得运费 20250=5000 （元） 这样比实际多得 5000-4400=600 （元） 就是因

20、为有损坏的瓶子，损坏 1 个花瓶相差 120 元现共相差 600 元，从而求出共损坏多少 个花瓶根据以上分析，可得损坏了（20250-4400）（100+20）=5（个） 4、某学校有 30 间宿舍，大宿舍每间住 6 人，小宿舍每间住 4 人已知这些宿舍中共住了 168 人，那么其中有多少间大宿舍？ 【解析】如果 30 间都是小宿舍，那么只能住 430=120（人），而实际上住了 168 人大宿 舍比小宿舍每间多住 6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）2=24（间） 5、学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳棋，恰好可供 120 个学生进行 活动。问：象棋与

21、跳棋各有多少副? 【解析】假设 26 副全是跳棋，那么可供 266=152 人活动，比实际多了 156-120=36 人，是因 为每副象棋多算了 6-2=4 人，所以象棋有 364=9 副。跳棋有 26-9=17 副。 6、某次数学测验共 20 题，做对一题得 5 分，做错或不做一题倒扣 1 分小华得了 88 分，问 他做对几题？ 【解析】设作对 x 题，做错和不做共有 20-x 题。 5x-(20-x)=88 X=18 20-18=2 答：他做对 18 题. 7、小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。 问：贺年卡、明信片各买了

22、几张? 分析：把贺年卡看成“兔”，明信片看成“鸡”，单价就是鸡兔的脚，总价 40 元就是“脚 和”，14 张就是“头和”。 解：设贺年卡 x 张，明信片 14-x 张。 3.5x+2.5(14-x)=40 X=5 14-5=9 答：贺年卡买了 5 张、明信片买了 9 张。 解决鸡兔同笼问题的主要方法有：解决鸡兔同笼问题的主要方法有： 1 1、列表法、列表法 根据鸡与兔的数量和，把所有可能的情况列举出来，找到符合条件的解。一般采用半数列 举法，即假定鸡兔各占一半，这样列举可以减少列举的次数，提高效率。 2 2、图示法、图示法 先画出所有的头，再把每个头上画上 2 只脚，再把剩下的脚画在部分图上，

23、每个图上加上 2 只脚，直到脚全部用完。这样，有 4 只脚的就是兔子，2 只脚的就是鸡。也可以把每个头上 画上 4 只脚，再从有 4 只脚的头上取下 2 只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。这样有 4 只脚的就是兔子，2 只脚的就是鸡。 3 3、假设法、假设法 假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因 解题。 变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。 4 4、方程法、方程法 利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和 变形题注意数量关系的变化。 5 5、关于鸡兔同笼变形题、关于鸡兔同笼变形题 先在题中找到对应的“鸡”和“兔”， “鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。 本节课我学到本节课我学到 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是我需要努力的地方是