【精品】五年级奥数培优教程讲义第02讲-等差数列（教师版）

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1、第第 0202 讲讲 等差数列等差数列 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等； 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。 一、数列的概念一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后 一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 二、等差数列与公差二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列， 其中相邻两项的差叫做公差。 三、

2、常用公式三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数， 也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数 考点一：等差数列的基本认识考点一：等差数列的基本认识 例例 1 1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 教学目标 知识梳理 典例分析 6，10，14，18，22，98； 1，2，1，2，3

3、，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2； 3，3，3，3，3，3，3，3； 1，0，1，0，l，0，1，0； 【考点】等差数列的基本认识 【解析】是，公差d=4. 不是，因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项. 不是，因为 4-22-1. 是，公差d=l. 是，公差d=0. 不是，因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项。 例例 2 2、把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项

4、数为 21.则 101+（21-1） 2=141 例例 3 3、已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191 答案：191 例例 4 4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是 320，求它们 中最小的一个 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中

5、间的数是所有这些自然 数 的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564，因相邻偶数相差 2， 故这五个偶数依次是 60、62、64、66、68，其中最小的是 60 答案：60 例例 5 5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第 201 项是多少？65 是其中的第 几项？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项第n项首项公差1n（），所以，第 201 项53201 1605 （），对于数列 5，8，11，65，一共有：6553121n （），即 65 是 第 21 项 答案：无限多项；第201项是605；65是第21项 考点二：等

6、差数列求和考点二：等差数列求和 例例 1 1、一个等差数列 2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】 根据中项定理， 这个数列一共有 7 项， 各项的和等于中间项乘以项数， 即为：8756 答案：56 例例 2 2、15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】由中项定理，中间的数即第 8 个数为：1995 15133，所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是：1332158147（） 答案：147 例例 3 3、小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数

7、的和时，他少算 了其中的一个数，但他仍按 2006 个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎 求和时漏掉的数是 。 【考点】等差数列的求和 【解析】少的这个数应该给每一个数都补上 1，才能使结果正确，共要补上 2006，因此这个漏 掉的数是 2006。 例例 4 4、下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？ 1112131920 1213142021 1314152122 2021222829 【考点】数阵中的等差数列 【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的 和相加（比 较慢，这里不再写具体过程） 方法二： 每一行或者每一列的和均构

8、成一个等差数列， 利用等差数列和中间项项数 先看行， 因为是偶数行没有中间项， 首项11 12201120102155（）， 末项2021292029102245（）或者15510110245（）这 100 个数之和1552451022000（）按列算同上 方法三：从右上到左下的对角线上的数都是 20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之 和都是 40， 所以这 100 个数的平均数是 20， 这 100 个数之和20 1002000 答案：2000 考点三：等差数列的应用考点三：等差数列的应用 例例 1 1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，问 2009 是这个数列的第多少项？ 【考点】

9、等差数列的公式运用 【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7， 奇数项的排列规律是：2、4、6、8， 方法一：可以看出两个数列都是等差数列由于 2009 是奇 数，所以在偶数项数列中，它的项数是：2009121005（），所以在整个数列中，2009 的项数是100522010，所以 2009 是这个数列的第 2010 项 方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数1，偶数的项数是该数 2，所以 2009 是这个数列的第200912010 项 答案：2010 例例 2 2、在 1145 这 35 个数中，所有不被 3 整除的数的和是多少？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】先求被

10、 3 整除的数的和；1145 中能被 3 整除的数有 12，15，45，和为： 121542451245122342（）；于是，满足要求的数的和为： 1145342980342638（） 答案：638 例例 3 3、如图 2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5 时，按这种方式 摆下去，当N=5 时，共需要火柴棍 根。 【考点】找规律计算 【解析】找规律 3，3+6，3+6+9,N=5 时，需要火柴棍 3+6+9+12+15=45 答案：45 例例 4 4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有 6 个小圈，第 2 个图形 中有 10 个小圈，第 3

11、个图形中有 16 个小圈，第 4 个图形中有 24 个小圈，依此规律，第 6 个图形有_个小圈。 【考点】找规律计算 2010 年，第 8 届，希望杯，4 年级，1 试 【解析】除周围 4 个小圆外，中间小圆的规律是 12，23，34， 第 6 个图有 67446 个小圆。 答案：46 实战演练 课堂狙击课堂狙击 1、在数列 3、6、9，201 中，共有多少数？如果继续写下去，第 201 个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1） 解：项数=（201-

12、3）3+1=67 末项=3+3（201-1）=603 答：共有 67 个数，第 201 个数是 603 2、全部三位数的和是多少？ 【解析】所有的三位数就是从 100999 共 900 个数，观察 100、101、102、998、999 这 一数列，发现这是一个公差为 1 的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）9002 =10999002 =494550 答：全部三位数的和是 494550。 3、求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98； 50、5

13、1、52、53、98、99。 【解析】这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖 行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解：每一横行数列之和： 第一行：（1+50）502=1275 第二行：（2+51）502=1325 第三行：（3+51）502=1375 第四十九行：（49+98）502=3675 第五十行：（50+99）502=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+3675+3725 =（1275+3725）502 =125000 4、若干人围成 16 圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少 6 人，如果共有 912 人，问最外圈 有多少人？

14、最内圈有多少人？ 【解析】从已知条件 912 人围成 16 圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少 6 人，也就是告 诉我们这个等差数列的和是 912， 项数是 16， 公差是 6。 题目要求是的等差数列末项 1=d (n-1)=6 (16-1)=90(人) 解：a n+a1=S2n=912216=114（人） 外圈人数=（90+114）2=102（人） 内圈人数=（114-90）2=12（人） 答： 最外圈有 102 人，最内圈有 12 人。 5、有一串数，已知第一个数是 6，而后面的每一个数都比它前面的数大 4，这串数中第 2003 个数是 。 【解析】6+4（2003-1） =6+4200

15、2 =8014 6、一个剧院共有 25 排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多 2 个座位，第 25 排有 70 个 座位，这个剧院共有 个座位。 【解析】末项=2+（100+1）2=200 和=（2+200）1002=10100 7、一个五层书架共放了 600 本书，已知下面一层都比上面一层多 10 本书。最上面一层放 本书，最下面一层放 本书。 【解析】100、140 中间一层本数：6005=120（本） 最上面一层：12-102=100（本） 最下面一层：120+12=140（本 8、有 10 只盒子，54 个乒乓球，能不能把 54 个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不 相等？

16、【解析】题中要求办不到。 9、 有一堆粗细均匀的圆木， 堆成如下图的形状， 最上面一层有 7 根园木， 每面下层增加 1 根， 最下面一层有 95 根，问：这堆圆木一共有多少根？ 【解析】 7+95=102（根） 95-7+1=89（层） 102892=4539（根） 答：这堆圆木一共有 4539 根。 10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第 三层每边有三个点这个六边形点阵共 100 层，问，这个点阵共有多少个点？ 【解析】第 100 层有点：6+（99-1）6 =6+986 =699 =594（个） 点阵只有点： 1+（6+594）992 =1+

17、600992 =29701（个） 答：这个点阵共有点 29701 个。 课堂课堂反反击击 1、观察右面的五个数：19、37、55、a 、91 排列的规律，推知a =_ 。 【解析】19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=73 答案：73 2、2，5，8，11，14是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1）3=62 答案：62 3、在等差数列 6，13，20，27，中，从左向右数，第 _个数是 1994 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】 每个数比前一个数大 7， 根

18、据求通项 1 (1) n aand的公式得 1 ()1 n naad， 列式得： (19946)7284 2841285 即第 285 个数是 1994 答案：285 4、有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3这 20 个数相加，和是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】末项是：9201366（），和是：966202750（） 答案：750 5、把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5， 那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】由题可知：由 210 拆成的 7 个数一定构成等差

19、数列，则中间一个数为210730，所 以，这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40. 答案：40 6、已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第 2000 个数是多少？第 2003 个 数是多少？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8， 偶数项的排列规律是：3、6、9、12， 可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项 数：第 2000 个数在偶数项等差数列中是第200021000个数，第 2003 个数在奇数项 等差数列中是第20031210

20、02（）个数 ，所以第 2000 个数是31000133000（），第 2003 个数是21002122004（） 答案：2004 7、把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？ 【考点】等差数列的公式运用 【解析】平均数：2488=31，第 4 个数：31-1=30。第 1 个数：30-6=24，末项：24+（8-1） 2=38。即：最大的数为 38。 答案：38 8、观察下列四个算式：20 1 =20，20 2 =10，10 4 =5 2 ， 5 2 8 = 5 16 。从中找出规律，写出第五个算 式： 。 【考点】找规律计算，2009 年，希望杯，第七届，六年级，二试

21、 【解析】发现规律，第 5 个算式为 5 16 16= 5 256 。 答案： 5 256 9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大 数减小数），如对于a，差为 7-5=2，所有差的总和为 。 【考点】数阵中的等差数列 【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为 0，和为 0 第二行第一个圈为 1，第二个圈为 0，和为 1 第三行第一个圈为 2，第二个圈为 1，第三个圈为 0 和为123 第四行第一个圈为 3，第二个圈为 2，第三个圈为 1，第四个圈为 0，和为1+2+3=6 所以这些差有 7 个 1，6 个 2，5 个 3，4 个 4，3 个

22、 5，2 个 6，1 个 7 和为7 1+62+5 3+44+3 5+26+1 7 =7+12+15+16+15+12+7 =84 答案：84 1、从 1 开始的奇数：1，3，5，7，其中第 100 个奇数是_。 【考点】等差数列的基本认识 【解析】199 2、（2006 年，第 4 届，希望杯，4 年级，1 试）观察下列算式： 24623， 2461234 24682045 然后计算：246100 。 【考点】找规律计算 【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100 以内的偶数有 50 个，所以 24 610050512550 答案：2550 3、（2005 年，第 3 届，走美

23、杯，5 年级，决赛）从正整数 1N中去掉一个数，剩下的(N一 1)个数的平均值是 15.9，去掉的数是_。 【考点】等差数列的公式运用 【解析】 因为“剩下的(N-1)个数的平均值是 15 9”， 所以(N-1)是 10 的倍数， 且N在 15 92 318 左右，推知N=31.去掉的数是 (1+2+3+31)-15.930496-47719。 答案：19 一、等差数列的定义一、等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列 我们称它为等差数列 首项：一个数列的第一项，通常用 1 a表示 直击赛场 重点回顾 末项：一个数列的最后一项，通常用 n

24、 a表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和 ：一个数列的前n项的和，常用 n S来表示 二、等差数列的相关公式二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差， 1 1 n aand（） 递减数列：末项首项(项数1)公差， 1 1 n aand（） 项数公式：项数(末项首项)公差+1 求和公式：和=(首项末项)项数2 （2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平 均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验