【精品】五年级奥数培优教程讲义第01讲-平均数(教师版)
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1、 第第 0101 讲讲 平均数平均数 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题,并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用 题 一、基本公式一、基本公式 平均数总份数平均数总份数= =总数量总数量 总数量总份数总数量总份数= =平均数平均数 总数量平均数总数量平均数= =总份数总份数 二、平均数问题二、平均数问题 日常生活中我们会遇到这样的问题:几个杯子中的水有多有少,为了使每个杯子中的水一样 多,就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里,反复几次,直到几个杯子里的水一样多。这就 是我们所讲的“移多补少”,通常称之为平均数问题。 求平均数问题的基本数量关系是
2、:总数量总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求 出总数量和总份数的,然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法,即找一 个基数,用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求平均数。 考考点一:用基本关系式求平均数点一:用基本关系式求平均数 例例 1 1、用 4 个同样的杯子装水,水面的高度分别是 8 厘米、5 厘米、4 厘米、3 厘米。这 4 个杯 子里水面的平均高度是多少厘米? 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是:总数量总份数=平均数。根据已知条件,求出 4 个杯子里水的总高度,然后除以杯子的个数,即可求出平均数。 (8+5+4+3)4=
3、5(厘米) 答:这 4 个杯子里水面的平均高度是 5 厘米。 解:(800+150)19=50(秒) 答:全车通过长 800 米的大桥,需要 50 秒。 例例 2 2、数学测试中,一组学生中的最高分为 98 分,最低分为 86 分,其余 5 名学生的平均分为 92 分。这一组学生的平均分是多少分? 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是:总数量总份数=平均数。总数量=98+86+92 5=644(分),总份数=1+5+1=7(人),平均数=6447=92(分),故这一组学生的平均分是 92 分。 例例 3 3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是 91 分,英语成绩公布后,他的平均分提 高
4、了 2 分。明明英语考了多少分? 【解析】利用基本式:三门课总分数=913=273,四门课总分数=(91+2)4=372。英语分数 =372-273=99(分)。 另一种思维方式:平均分提高了 2 分,也就是说,英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了 4 个 2 分,即 24=8 分,那么英语成绩=91+8=99(分) 考点二:利用基数法求平均数考点二:利用基数法求平均数 例例 1 1、求下列 20 个数的平均数:401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399, 396,398,398,405,401,400,402,403,400。 【解析】 解法一:先
5、求出这 20 个数的和,即总数量,再用 20 个数的和除以总份数 20,求出 平均数。 因为这 20 个数据比较大,这种解法计算量很大,容易出错。 解法二:仔细观察这 20 个数据都接近 400,有的比 400 大,有的比 400 小,我们可以借鉴移 多补少的思想,以 400 作为基准,把这 20 个数都看作 400,求出它们比 400 多出或不足的部 分,多出 1 记作“+1”,不足 2 记作“-2”,计算时多出和不足的部分让它们互相抵消,可得 这 20 个数据共多出: +1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1 -4-2-2+5+1+0+2+3+0=10,再把多出 10 平均分给这 20
6、 个数据,所以这 20 个数的平均数是: 400+1020=400.5。对于求多个比较接 近的大数的平均数,直接计算很麻烦,我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数,运用上 面的方法解答,计算就简单多了。 例例 2 2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米,一个同学身高 152 厘米,有两个同学身高 149 厘米,还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的 平均身高。 【解析】这道题可以按照一般思路解,即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方 法,容易发现身高都在 150 厘米左右,可以假设平均身高为 150 厘米,把它当做基数,用“基 数+
7、各数与基数的差之和份数=平均数” 公式求解。 即有150+ (32+2-12-32) (2+1+2+2) =150(厘米) 考点二:航行中的平均数问题考点二:航行中的平均数问题 例例 1 1、两地相距 360 千米,一艘汽艇顺水行驶完全程需要 10 小时,已知这条河的水流速度为 每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米? 【解析】航行中的速度关系:顺水速度=船的静水速度+水流速度 逆水速度=船的静水速度- 水流速度,速度=路程时间 用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。 显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度=360 10=3
8、6 千米/小时,船的静水速度=36-6=30 千米/小时。所以船的逆水速度=30-6=24 千米/小 时。逆水行全程时所用的时间=36024=15(小时) 解:逆水速度 36010-6-6=24(千米/小时) 逆水走完全程的时间 36024=15(小时) 平均速度=总路程总时间=(360+360)(10+15)=28.8 千米/小时 答:往返两地的平均速度是每小时 28.8 千米。 例例 2 2、张师傅开汽车从 A 到 B 为平地(见下图),车速是 36 千米时;从 B 到 C 为上山路, 车速是 28 千米时;从 C 到 D 为下山路,车速是 42 千米时.已知下山路是上山路的 2 倍, 从
9、 A 到 D 全程为 72 千米,张师傅开车从 A 到 D 共需要多少时间? 【解析】本题给出 BC 段与 CD 段的路程关系,因此可以先求出 BD 段的平均速度,设 BC 段的路 程为 84 份, CD 段则为 168 份, 则 BD 段的平均速度= (84+168) ( 8 4 1 6 8 2 84 2 ) =36 (千米/时) , 与平路的平均速度恰好相同,所以共需时间 7236=2(小时) 考点四:改动中的平均数考点四:改动中的平均数 例例 1 1、有五个数,平均数是 9。如果把其中一个数改为 1,那么这五个数的平均数为 8,这个改 动的数原来是多少? 【解析】 改动前五个数的和为:9
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