2020年广东省普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题（二）含答案

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1、绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 广东省理科数学模拟试题(二) 本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的县(市、区)、学校、姓名、考生号、考场号和座位号 填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答 案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;

2、不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 |730, | 22 2,AxxxB xx 则 AB= .| 32 2xAx . | 37B xx . | 27Cxx x . | 22 2D xx 2.已知复数 z=i(a-i)(i 为虚数单位,),Ra若12,a则|z|的取值范围为 .2, 5A .2,2B . 2, 5C D.(1,2) 3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一

3、年有二十四个节 气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的 长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个 节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺, 夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为 A.1.5 尺 B.2.5 尺 C.3.5 尺 D.4.5 尺 4.在ABC 中,已知45 ,A 6 2,AB 且 AB 边上的高为2 2,则 sinC= 103 10102 10 101055 ABCD 5.一个底面半径为 2 的圆锥,其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱,若其内接

4、圆 柱的体积为3,则该圆锥的体积为 2 34 38 3 .2 3. 333 ABCD 6.已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数,且在0,上单调递减,f(-3)=0,则不等 式(1)0f x的解集为 .3,3A ., 21,4B .(, 4)( 1,2)C ., 30,3D 7.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ba 的右焦点为F,过点 F分别作双曲线的两条渐 近线的垂线,垂足分别为 A,B.若0,FA FB则该双曲线的离心率为 . 5 .2 . 3 . 2AB CD 8.已知四边形ABCD中,30 ,2 3,5ADBCAABAD ,E在CB的延长线上, 且 AE=BE,则AE

5、DB A.1 B.2 C.1 2 D. 3 6 9.2xy的展开式中,xy3的系数为 A.120 B.480 C.240 D.320 10.把函数 2sinf xx的图象向右平移 3个单位长度,再把所得的函数图象上所 有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)得到函数 g x的图象,关于 g t的说 法有:函数 g x的图象关于点,0 3 对称;函数 g x的图象的一条对称轴是 12 x ;函数 g x;, 3 2 在上的最上的最小值为3;函数 0,g x上 单调递增，则以上说法正确的个数是 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 11.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=2AD

6、=2a,E 是 AB 的中点,将ADE沿直线 DE 翻折成A1DE,连接 A1C.若当三棱锥 A1-CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 1 ACDE外接球的体积为 8 2 3 ,则 a= A.2 B.2 C. 2 2 D.4 12.已知函数 2 Rco 1 s1 2 f xaxxa,若函数 f x有唯一零点,则 a 的取值 范围为 .(,0)A .(,01,)B .(,11,)C .,01,D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 x,y 满足约束条件 3 0, 3 0 , 1 0, xy xy x 则2zyx的最大值是 14.已知 32 cos,sin 2

7、1253 则= 15.从正方体的 6 个面的对角线中,任取 2 条组成 1 对,则所成角是 60 的有 对。 16.如图,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点,直线 l 与圆 2 2 11xy交于 C,D 两点,若 2|AC|=|BD|,设直线 l 的斜率为 k,则 k2= 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题 为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分) 已知数列an和bn满足 11111 20,1,1, nnnnnn ababa

8、aba 且 设 n n n b c a (1)求数列cn的通项公式; (2)若an是等比数列,且 2 3,a 求数列bn的前 n 项和 Sn. 18.(12 分) 为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的质量 情况,分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取 100 件产品进行质量检测, 所有产品质量指标值均在15,45以内,规定质量指标值大于 30 的产品为优质品, 质量指标值在15,30的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分 布直方图所示,新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示。 (1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率。 (2)优质

9、品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能 越高,根据已知图表数据填写下面列联表(单位:件),并判断是否有 95%的把握认为 “产品质量高与新设备有关”。 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 2 2 n adbc K abcdacbd 其中.na b cd (3)用频率代替概率,从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品,其中优质品数为 X 件,求 X 的分布列及数学期望。 19.(12 分) 如图,四棱锥PABCD中,四边形 ABCD 是菱形,PA EPAPC BD 是 BC 上一 点,且3ECBE,设BDACO (1)证明:PO平面 ABCD; (2

10、)若0 ,6BADPEPA 求二面角A PEC的余弦值 20.(12 分) 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的焦点为 21 ,0 ,0),(FcF cP是椭圆 C 上一点. 若椭圆 C 的离心率为 2 2 ,且 21211 ,PFFFFPF的面积为 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 O 是坐标原点,向量(1,1)m过点2,0的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. 若点( , )1,Q x yOQOMONOQ满足m求 的最小值. 21.(12 分) 已知函数 () x f xaeexa ae,其中 e 为自然对数的底数. (1)若函数 f x的极小值为-1

11、,求 a 的值; (2)若 a=1,证明:当 x0 时 ,2ln10f xxxx成立. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所 做的第一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 22 1, 124 xy ,以原点 O 为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为20 . 4 cosa a (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)已知 P 是曲线 C 上的一动点,过点 P 作直线 l1交直线于点 A,且直线 l1与直线 l 的夹角为45 , 若|PA|的最大值为 6,求 a 的值 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知函数 |1|3|f xxx (1)解不等式: 6f x ; (2)若 a,b,c 均为正数,且 min,fabcx 证明: 22 11ab 249 1 3 c.