天津市和平区2020年高三第二次质量调查数学试题（含答案）

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1、和平区和平区2019201920202020学年度第二学期高三第二次质量调查数学学科试卷学年度第二学期高三第二次质量调查数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分. 考试时间 120 分钟.祝同学们考试顺利！ 第卷 选择题（共 45 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号.答在试卷上的无效. 3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B

2、 如果事件A，B相互独立，那么 P ABP A P B 锥体的体积公式 1 3 VSh. 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 球体 3 4 3 VR 其中R为球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设复数2zai aR的共轭复数为z，且2zz，则复数 z zai 在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设xR，则“ 3 1x ”是“ 11 22 x”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知： 11 ln 4 a ， 1

3、 1 3 e b ， 1 1 log 3 e c ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. cab B. cba C. bac D. abc 4. 已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为 1、2、3 元）.甲、乙租车费用为 1 元的概率分别是 0.5、0.2，甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同 的概率为（ ） A. 0. 18 B. 0.3 C. 0.24 D. 0.36 5. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a ，2 3c ，sinsin 3 bAaB ， 则sinC （ ） A. 3 7 B. 21 7

4、 C. 21 12 D. 57 19 6. 已知双曲线C： 22 2 1(0) 3 xy a a 的右焦点为F，圆 222 xyc（c为双曲线的半焦距）与双曲线C 的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是（ ） A. 22 1 43 xy B. 22 1 33 xy C. 22 1 23 xy D. 2 2 1 3 y x 7. 把函数( )sin 2(0) 6 f xAxA 的图象向右平移 4 个单位长度，得到函数 g x的图象，若函数 0g xmm是偶函数，则实数m的最小值是（ ） A. 6 B. 5 6 C. 5 12 D. 12 8. 已知,

5、0a b ， 2 1b a ba ，则当 1 a b 取最小值时， 2 2 1 a b 的值为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数 2 1 ,0 ( )1 21,0 x x f xx xxx ，函数 1 1 2 g xfxkxk恰有三个不同的零点，则k的取 值范围是（ ） A. 9 22,0 2 B. 9 22,0 2 C. 1 22,0 2 D. 1 22,0 2 第卷 非选择题（共 105 分） 注意事项： 1. 用黑色水笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2. 本卷共 11 小题，共 105 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 3

6、0 分.把答案填在答题卷上. 10. 已知全集为R，集合1,0,1,5M ， 2 |20Nx xx，则 R MC N _. 11. 6 2 1 2 x x 的展开式中， 2 1 x 项的系数为_. 12. 已知 f x是定义在R上的偶函数， 且在区间,0上单调递增， 若实数a满足 3 log 2(2) a ff， 则a的取值范围是_. 13. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角黍” ，是端午节 大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的 纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，

7、可以得到如图所示粽子形状的六面体，则 该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_. 14. 设抛物线 2 20ypx p的焦点为1,0F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别 过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若4AFBF，则p _； CDF S _. 15. 已知平行四边形ABCD的面积为9 3， 2 3 BAD ，E为线段BC的中点.则AD DC_； 若F为线段DE上的一点，且 5 6 AFADAB，则AF的最小值为_. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立

8、了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所 示： 组别 性别 数学 英语 男 5 1 女 3 3 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取 3 名同学进行测试. （）求从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率； （）记为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图， 四边形ABCD为平行四边形，90ABD，EB 平面ABCD，/EFAB，2AB ，3EB ， 1EF ，13BC ，且M是BD的中点. （）求证：/ /EM平面ADF； （）求二面角DAFB的大小； （）线段EB上是否存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30？若

9、存在，求出BP的长；若不 存在，请说明理由. 18. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 3 1, 2 .F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上 关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点. （）求椭圆的标准方程； （）若AFFC，求 BF FD 的值； （）设直线AB，CD的斜率分别为 1 k， 2 k，是否存在实数m，使得 21 kmk，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由. 19. 已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列，1 3 2 a ， 数列 n b是等比数列， 且 11 ba，2 3 ba ，3 4 ba， 数列 n b的前

10、n项和为 n S. （）求数列 n b的通项公式； （）设 * ,5 8,6 n n n b n cnN a n ，求 n c的前n项和 n T； （）若 1 n n ASB S 对 * nN恒成立，求BA的最小值. 20. 已知函数( )sin xx f xeex，0, 2 x （e为自然对数的底数）. （）求函数 f x的值域； （）若不等式( )(1)(1 sin )f xk xx对任意0, 2 x 恒成立，求实数k的取值范围； （）证明： 2 1 13 1 22 x ex . 数学学科参考答案数学学科参考答案 一、选择题： （45 分） 1-5：ABABB 6-9：DCCD 二、填空题

11、： （30 分） 10. 0,1 11. 240 12. 0, 3 13. 2 6 ； 8 6 729 14. 2；5 15. -9；5 三、解答题： 16. 解： （）两小组的总人数之比为8:42:1，共抽取 3 人， 所以数学组抽取 2 人，英语组抽取 1 人. . 从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有：1 名男同学、1 名女同学；2 名女同学. 所以所求概率 112 353 2 8 9 14 C CC P C . （）由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3， 21 33 21 84 9 (0) 112 CC P CC ， 11121 35331 2121 8484 48

12、3 (1) 1127 C CCCC P CCCC ， 11211 35531 2121 8484 45 (2) 112 C CCCC P CCCC ， 21 51 21 84 105 (3) 11256 CC P CC . 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 9 112 3 7 45 112 5 56 934553 ( )0123 1127112562 E . 17. 解： （）证明：因为EB 平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.由已知可得各点坐标为： 0,0,0B，0,2,0A，3,0,0D，3, 2,0C，0,0, 3E，0,1, 3F， 3 ,0

13、,0 2 M ， 3 ,0,3 2 EM ，3, 2,0AD ， 0, 1, 3AF ， 设平面ADF的一个法向量是, ,nx y z， 由 0 0 n AD n AF ，得 320 30 xy yz ， 令3y ，则 2,3, 3n ， 又因为 3 ,0,3(2,3, 3)3030 2 EM n ， 所以EMn，又EM 平面ADF， 所以/EM平面ADF. （）由（）可知平面ADF的一个法向量是 2,3, 3n . 因为EB 平面ABD，所以EBBD， 又因为ABBD，所以BD 平面EBAF. 故3,0,0BD 是平面EBAF的一个法向量. 所以 1 cos, 2 BD n BD n BD

14、n ，又二面角DAFB为锐角， 故二面角DAFB的大小为60. （）假设线段EB上存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30， 不妨设 0,0,03Ptt ，则3, 2,PCt， 0, 1, 3AF ， 所以 2 23 cos, 213 tPC AF PC AF PCAFt ， 由题意得 2 23 3 2 213 t t ， 化简得4 335t， 解得 35 0 4 3 t ， 因为03t ，所以无解. 即在线段EB上不存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30. 18. 解： （）设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ，由题意知： 22 1 2 19 1 4ab c a

15、， 解之得： 2 3 a b ，所以椭圆方程为： 22 1 43 xy . （）若AFFC，由椭圆对称性，知 3 1, 2 A ，所以 3 1, 2 B ， 此时直线BF方程为3430xy， 由 22 1 4 4 3 330 xy xy ，得 2 76130xx，解得 13 7 x （1x舍去） ， 故 1 ( 1)7 13 3 1 7 BF FD . （）若直线AF的斜率不存在.则直线AF的方程为：1x ， 此时： 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B ， 3 1, 2 C ， 13 9 , 7 14 D . 1 33 322 1 ( 1)2 k ， 2 93 5142 13 2 1 7

16、k . 21 5 3 kk，即存在 5 3 m 满足题意. 若直线AF的斜率存在.设 00 ,A x y，则 00 ,Bxy， 直线AF的方程为 0 0 (1) 1 y yx x ，代入椭圆方程 22 1 43 xy 得： 222 0000 15 6815240xxy xxx， 因为 0 xx是该方程的一个解，所以C点的横坐标 0 0 85 52 C x x x ， 又, CC C xy在直线 0 0 (1) 1 y yx x 上，所以 00 00 3 1 152 CC yy yx xx ， 同理，D点坐标为 00 00 853 , 5252 xy xx ， 所以 00 000 21 00 0

17、 00 33 525255 8585 33 5252 yy xxy kk xx x xx ， 即存在 5 3 m ，使得 21 5 3 kk. 综合知存在 5 3 m 满足题意. 19. 解： （）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 则由题意可得 2 33 2 22 33 3 22 dq dq ，解得 1 2 3 8 q d 或 1 0 q d ， 数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2 q ， 数列 n b的通项公式 1 3 2 n n b ； （）由（）知 33153 (1) 288 n n an ， 当5n时， 12 31 1 22 1 1 12 1 2

18、 n n nn Tbbb ， 当6n时， 567567 8 nnn TTcccTaaa 5 6 5 315 3 (5) (5)1 88 818 222 n n n naa T 2 327927 2232 nn . 2 1 1,5 2 327927 ,6 2232 n n n T nnn . （）由（）可知 31 1 22 1 1 12 1 2 n n n S ， 令 1 n n tS S ，0 n S ，t随着 n S的增大而增大， 当n为奇数时， 1 1 2 n n S 在奇数集上单调递减， 3 1, 2 n S ， 5 0, 6 t ， 当n为偶数时， 1 1 2 n n S 在偶数集上单

19、调递增， 3 ,1 4 n S ， 7 ,0 12 t ， min 7 12 t ， max 5 6 t， 1 n n ASB S 对 * nN恒成立， 75 , , 12 6 A B ， BA的最小值为 5717 61212 . 20. 解： （）( )(sincos )(1 sincos ) xxx fxeexxexx12sin 4 x xe 2 2sin 42 x ex . 0, 2 x ， 3 , 444 x ， 2 sin 42 x ， 所以 0fx ，故函数 f x在0, 2 上单调递减， 故 00 max ( )(0)sin01f xfee； 22 min ( )sin0 22

20、f xfee ， 所以函数 f x的值域为0,1. （）原不等式可化为(1 sin )(1)(1 sin ) x exk xx * 因为1 sin0x恒成立，故 *式可化为1 x ek x. 令 x g xekxk，则 x gxek， 当0k 时， 0 x gxek，所以函数 g x在0, 2 上单调递增， 故 010g xgk ，所以10k ； 当0k 时，令 0 x gxek，得lnxk， 当0,lnxk时， 0 x gxek；当ln ,xk时， 0 x gxek. i）当ln 2 k ，即 2 0ke 时， 函数 min ( )(ln )2ln(2ln )0g xgkkkkkk， ii）

21、当ln 2 k ，即 2 ke 时，函数 g x在0, 2 上单调递减， 2 min ( )0 22 g xgekk ，解得 2 2 1 2 e ek ， 综上， 2 1 1 2 e k . （）令 2 1 13 ( )1 22 x h xex ，则 1 3 ( ) 2 x h xex . 由 1 2 1 10 2 he ， 1 4 33 0 44 he ， 故存在 0 1 3 , 2 4 x ，使得 0 0h x即 0 1 0 3 2 x ex . 且当 0 ,xx 时， 0h x ；当 0, xx时， 0h x . 故当 0 xx时，函数 h x有极小值，且是唯一的极小值， 故函数 0 2 1 min00 13 ( )1 22 x h xh xex 2 2 000 313133 11 222222 xxx 2 0 153 222 x ， 因为 0 1 3 , 2 4 x ，所以 22 0 1531 3531 0 2222 42232 x ， 故 2 1 13 ( )10 22 x h xex ， 所以 2 1 13 1 22 x ex .