河南省焦作市普通高中2020届高三第四次模拟考试数学试卷（理科）含答案

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1、焦作市普通高中焦作市普通高中 2019-2020 学年高三年级第四次模拟考试学年高三年级第四次模拟考试 理科数学理科数学 一选择题： 1已知集合 2 60Ax xx， 8 ,4By yxx x 则AB（ ） A2,2 B2,3 C2, D3, 2已知复数 2019 5 2 i z i ，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 4 43 1 2xx x 的展开式的常数项为（ ） A9 B8 C1 D7 4 “三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准， 取此琴强长度的 2 3 得到第二根琴弦，第

2、二根琴弦长度的 4 3 为第三根琴弦，第三根琴弦长度的 2 3 为第四根琴 弦第四根琴弦长度的 4 3 为第五根琴弦琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调 由低到高分别称为“官、商角（ju ） 、微（zh） 、羽” ，则“角和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ） A 3 2 B 81 64 C 32 27 D 9 8 5函数 2 cos2 2sin xx f x xx 的部分图象大致是（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ） A3 B4 C5 D6 7已知 2 1 log2,0 ,0 xx f x g xx 为奇函数，则 28f gg f（ ） A 2

3、 2log 3 B1 C0 D 2 log 3 8在各项均为正数的等比数列 n a中， 1 11593 13 225a aa aa a，则 1 13 a a的最大值是（ ） A25 B 25 4 C5 D 2 5 9 如图 四边形ABCD是正方形， 点E，F分别在边AD，CD上，BEF是等边三角形， 在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自BEF内的概率为（ ） A23 B 1 3 C2 33 D 3 3 10在长方体 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是正方形， 1 2AAAB，E，F，G，H分别是 AD，AB，BC， 1 CC的中点，则异面直线EF与GH的夹角的余弦值为（ ）

4、A 5 5 B 2 5 5 C 10 10 D 3 10 10 11 记双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为F，以F为圆心，r为半径作圆F，以0,Cm为 圆心2r为半径作圆 C 若圆F与圆 C 仅有 3 条公切线，且其中 2 条恰为双曲线C的渐近线，则双曲线 C的离心率为（ ） A 6 2 B2 C3 D2 2 12抛物线C： 2 203xpyp在点 1 3,Ay处的切线交准线于B，且与y轴交于D，F为C的焦 点若BDF的面积为 7 15 p ，则p （ ） A5 B2 3 C4 D2 5 二填空题 13已知向量3, 1a ，4,2ba ，则a与b夹角的余弦值为_ 1

5、4 某一批花生种子的发芽率为p， 设播下 10粒这样的种子， 发芽的种子数量为随机变量X 若 12 5 D X ， 则p _ 15已知正项数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 2222 11 2 nnnn aaaan ，则数列 1 1 nn aa 的前 60 项和_ 16 已知函数 3 1 3 6 f xxmx， 54lng xxx， 若函数 f x的导函数 fx 与 g x（1,9x ） 的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的最大值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第 22，23 题为选考题

6、，考生根据要求作答 （一）必考题 17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4b， 3 A （）AD是BC边上的中线，若7AD ，求c的值； （）若4 3a ，求ABC的周长 18如 1在正方形ABCP中，4AB ，D是CP的中点，把ADP沿AD折叠，使PAB为等边三 角形，得到如图 2 所示的几何体 （）证明：ABPD； （）求二面角APBC的余弦值 19已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 （）求椭圆C的标准方程； （） 若斜率为0k k 的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B， 且线段AB的垂直平分线过定点 1 ,0 3 ，

7、 求k的取值范围 20已知函数 22 24lnf xxaxax，其中aR （）若0a ，讨论 f x的单调性； （）若0a ，当1x时， ln10xxm f x 恒成立，求实数m的取值范围 21无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体现有一艘航行中的轮船需 要与陆地上的基站进行通信， 其连续向基站拍发若干次呼叫信号， 每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2， 基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到 （）若要保证基站收到信号的概率大于 0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号 （）设（）中求得的结果为n若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔 5 秒钟

8、拍发下一次，直到收到回 答信号为止，已知该轮船最多拍发n次呼叫信号，且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要 16 秒，设 轮船停止拍发时，一共拍发了X次呼叫信号，求X的数学期望（结果精确到 0.01） 参考数据： 106 21.05 10 （二）选考题：共 1o 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 23cos , 1 3sin x y （为参数） 以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2 sin50 （）求曲线C的普通方程与直

9、线l的直角坐标方程； （）若与l平行的直线 l 与曲线C交于A，B两点且在x轴的截距为整数，ABC的面积为2 5， 求直线 l 的方程 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 5352f xxx （）求不等式 34f xx 的解集； （）若a，b R， 12 2 ab ，不等式 2 221abf xm恒成立，求实数m的取值范围 焦作市普通高中焦作市普通高中 2019-2020 学年高三年级第四次模拟考试学年高三年级第四次模拟考试 理科数学理科数学答案答案 一、选择题 1答案D 命题意图本题考查集合的概念和运算 解析由 2 60xx，解得2x或3x ，即 , 23,A ，因为 8 4yxx x

10、是单调 递增函数，所以2y ，即2,B ，所以3,AB 2答案C 命题意图本题考查复数的基本运算和几何意义 解析因为 2019 5255 12 2222 i iii zi iiii ， 所以1 2zi ， 在复平面内对应的点为1, 2 ， 在第三象限 3答案A 命题意图本题考查二项式定理的应用 解析 4 3 1 x x 的通项 4 312 4 144 1 1 r r r rr r r TCxCx x 令1240r， 得3r ， 令44r ， 得4r ，所以 4 43 1 2xx x 的展开式的常数项为 34 34 44 21119CC 4答案C 命题意图本题考查学生的数学抽象和计算能力 解析设

11、基准琴弦的长度为 1， 则根据 “三分损益法” 得到的另外四根琴弦的长度依次为 2 3 ，8 9 ，16 27 ，64 81 ， 五根琴弦的长度从大到小依次为 1， 8 9 ， 64 81 ， 2 3 ， 16 27 ，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为 64 81 和 2 3 ，其长度之比 32 27 5答案B 命题意图本题考查函数的性质与图象 解析因为 2 cos2 0 2sin xx f xx xx ，所以 2 2 cos2cos2 2sin2sin xxxx fxf x xxxx ，所 以 f x是奇函数， 排除选项 C， D， 因为1x 时，0cos1 1，0sin1 1， 所以

12、 cos1 2 10 2sin1 f ， 排除选项 A 6答案B 命题意图本题考查程序框图的基本逻辑结构 解析第一次循环， 1 1 01 1 S ，1 23n ；第二次循环， 3 1 12 1 S ，3 25n ； 第三次循环， 5 1 23 1 S ，527n ；第四次循环， 7 1 34 1 S ，729n，跳出循 环，输出4S ，故选 B 7答案D 命题意图本题考查函数的概念与基本性质 解 析 因 为 2 1l o g2,0 ,0 xx f x g xx 为 奇 函 数 ， 所 以 2 1 log20g xxx 所 以 2 21l o g 41g ，所以 2 21log 20f g 2

13、81 log 163f ，所以8g f 2 31 log 6g ，所以 2222 281 log 61 log 2log 3log 3f gg f 8答案B 命题意图本题考查等比数列的性质 解析由等比数列的性质知 2 22 1 11593 13668868 2225a aa aa aaa aaaa，又因为0 n a ，所以 68 5aa，所以 2 68 1 1368 25 24 aa a aa a ，当且仅当 68 5 2 aa时取等号 9答案C 命题意图本题考查几何概型的计算和应用 解析连接BD交EF于G，则BDEF，EGFG，所以15ABE设等边三角形BEF的边长为 2， 所以2cos15

14、AB， 所以正方形ABCD的面积为 2 2 1 cos30 2cos154cos 15423 2 ， 等边三角形BEF的面积为 13 2 23 22 ，故所求的概率 3 2 33 23 P 10答案C 命题意图本题考查异面直线所成角的计算 解析如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，取 1 DD的中点N，连接EN，FN因为E，F，G，H 分别是AD，AB，BC， 1 CC的中点，由长方体的性质可知/GH EN，所以FEN（或其补角）为异面 直线EF与GH所成的角因为 1 2AAAB，设正方形ABCD的边长为a，所以 1 2AAa， 22 2 2 EFAEAFa， 22 5 2 ENDE

15、DNa， 222 3 2 FNADAFDNa 在 EFN中，由余弦定理得 22 2 222 523 222 10 cos 21052 2 22 aaa ENEFFN FEN EN EF aa ，所 以异面直线EF与GH的夹角的余弦值为 10 10 11答案A 命题意图本题考查双曲线的方程与双曲线的性质 解析设双曲线的半焦距为c，离心率为e双曲线的一条渐近线为0bxay，故,0F c到渐近线的 距离为 22 bc r ab ，即br设圆F与圆 C 的切点为M，点O为坐标原点，则OMFC，故 RtOMFRtC OF，故 MFOF OFFC ，即 3 rc cr ，故3cr，则 22 2acbr，故

16、所求离 心率 6 2 c e a 12答案A 命题意图本题考查抛物线的标准方程和性质 解析因为 2 203xpyp，所以 2 2 x y p ，则 9 3, 2 A p 又 3 3 x y p ，所以点A处的切线方程为 93 3 2 yx pp 令 2 p y ，得 2 9 6 p x ，即 2 9 , 62 pp B 令0x ，得 9 2 y p ，即 9 0, 2 D p 因 为 7 15 BDF p S ， 所 以 2 1997 22261 5 ppp p 因 为03p， 所 以 22 997 4615 ppp p ，整理得 42 5564050pp，解得 2 5p 或 2 81 5 p

17、 （舍去） ，所以 2 5p ， 即5p 二、填空题 13答案 2 5 5 命题意图本题考查平面向量的数量积运算 解析由已知可得1,1b ，2b ，10a ，所以 3, 11,12 5 cos, 5102 a b a b a b 14答案 2 5 或 3 5 命题意图本题考查二项分布的应用 解析X服从二项分布，即10,XBp因为 12 5 D X ，所以 12 101 5 pp，解得 2 5 p 或 3 5 p 15答案5 命题意图本题考查数列中裂项求和法的应用 解析 由条件可知，数列 2 n a是首项 为 2 1 1a ，公差为 22 21 3 12aa 的等差数 列，所以 2 1 2121

18、 n ann ， 又0 n a ， 所 以21 n an， 所 以 1 11 2121 nn aann 1 2121 2 nn ， 所 以 数 列 1 1 nn aa 的 前n项 和 1 211 2 n Sn ， 所 以 60 1 121 15 2 S 16答案 9 8ln3 2 命题意图本题考查函数与方程及导数的应用 解析因为 3 1 3 6 f xxmx，所以 2 1 2 fxxm由题意知方程 2 1 5 2 fxg xxmx 4ln0x在1,9x上有解，等价于 2 1 54ln 2 mxxx在 1,9x 上有解令 2 1 5 2 h xxx 4ln1,9x x，则 2 14454 5 x

19、xxx h xx xxx 当14x时， 0h x ，当 49x时， 0h x所以函数 h x在1,4上单调递减，在4,9上单调递增，所以 14hh， 因为 1 4165 48ln2128ln20 2 h ， 2 199 995 94ln98ln380 222 h ，所以 h x的最大值为 9 8ln3 2 ，所以m的最 大值为 9 8ln3 2 三、解答题 17命题意图本题考查平面向量和正弦定理等在解三角形中的应用 解析（）因为2ABACAD， 所以 2 222 2428ABACABACAB ACAD， 即 22 2cos28bcbcA 所以 2 4120cc，解得2c （负值舍去） （）由

20、sinsin ab AB ，可得 sin431 sin 224 3 bA B a 因为ab，所以AB，所以 6 B 所以 2 CAB 所以 22 8cab 所以ABC的周长为124 3abc 18命题意图本题考查空间线面关系证明及利用空间向量计算二面角 解析（I）依题意，底面ABCD是直角梯形，ABBC，2ABCD 取AB的中点E，连接DE，PE， 则BECD，/BE CD，所以四边形BCDE为矩形，所以BEDE 因为PAB为等边三角形，所以ABPE 因为PEDEE，所以AB 平面PDE 因为PD 平面PDE，所以ABPD （）由（）知，AB 平面PDE，所以平面ABCD平面PDE 点P到平面

21、ABCD的距离即点P到DE的距离 因为PDPA，PDAB，ABPAA，所以PD 平面PAB，所以PDPE 在RtPDE中，可得P到DE的距离为 2 32 3 4 PEPD DE 分别以DE，DC的方向为x轴，y轴的正方向，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的 空间直角坐标系Dxyz 则0,0,0D，4,2,0B，0,2,0C， 1,0, 3P， 所以 1,2,3PC ，4,0,0BC 设平面PBC的一个法向量为, ,nx y z， 所以 40 230. n BCx n PCxyz 取2z ，则 0, 3,2n 而平面PAB的一个法向量为 1,0, 3DP 则 0, 3,21,0,

22、 3 21 cos, 7341 3 n DP n DP n DP ， 由图可知，二面角APBC为钝角，所以所求的余弦值为 21 7 19命题意图本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合问题， 解析（）由题意可知 222 22 3, 1 , 2 b c a cbc 解得 2, 3, 1. a b c ， 故椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （）设直线l：ykxm， 11 ,A x y， 22 ,B x y 联立直线与椭圆方程，消去y得 222 3484120kxkmxm 则 2 22 84 344120kmkm ，整理得 22 43mk 由根与系数关系得 12 2 8 34 km xx

23、 k ， 则 12 2 4 234 xxkm k ， 12 2 3 234 yym k ，即AB中点的坐标为 22 43 , 3434 kmm kk 又线段AB的垂直平分线方程为 11 3 yx k ，所以 22 3141 34343 mkm kkk ， 化简可得 2 43 3 k m k 由得 2 2 2 2 43 43 9 k k k ，因为 2 430k ，所以 22 439kk， 所以 2 3 5 k ，得 15 5 k 或 15 5 k 所以k的取值范围是 1515 , 55 20命题意图本题考查利用导数研究函数的性质 解析（）因为 22 24lnf xxaxax，所以0,x 所以

24、22 22224xaxaxaxa fx xx 当0a 时，由 0fx得xa；由 0fx得0xa 故 f x在0,a上单调递减，在, a 上单调递增 当0a时，由 0fx得2xa；由 0fx得02xa 故 f x在0, 2a上单调递减，在2 , a上单调递增 综上，当0a 时 f x在0,a上单调递减，在, a 上单调递增； 当0a时 f x在0, 2a上单调递减，在2 , a上单调递增 （）若0a ，不等式转化为当1x时， 2 ln10xxm x恒成立 令 2 ln1F xxxm x，则 ln1 2Fxxmx 令 ln1 2G xxmx ，则 1 2Gxm x 当0m时，对任意1,x，恒有 l

25、n1 20Fxxmx ， 所以 F x在1,上单调递增，所以 10F xF，所以0m不合题意 当 1 2 m 时，因为1x，所以 1 1 x ，所以 1 20m x ，即 0G x ， 所以 G x在1,上单调递减，所以 11 20G xGm ，即 0Fx， 所以 F x在1,上单调递减，所以 10F xF， 所以 1 2 m 符合题意 当 1 0 2 m时，令 1 20G xm x ，解得 1 1 2 x m ：令 1 20G xm x ，解得 1 2 x m 所以 G x在 1 1, 2m 上单调递增所以 11 20G xGm ，即 0Fx， 所以 F x在 1 1, 2m 上单调递增，所

26、以当 1 1, 2 x m 时， 10F xF， 故 1 0 2 m不合题意 综合可知，实数m的取值范围是 1 , 2 21命题意图本题考查概率的计算及随机变量的分布列和数学期望 解析（1）设“轮船拍发k次呼叫信号，基站至少收到 1 次信号”为事件A，则其对立事件A表示“轮船 拍发k次呼叫信号，基站收到 0 次信号” ，其中k为正整数 要使 0.99P A ，则需 0.01P A 由题可知 1 0.20.8 k k P A 因为 20 202060 202 202020 4422 0.81.16 100.01160.01 55210 ， 而 21 0.80.0116 0.80.009280.0

27、1， 又因为 * kN，所以21k ，即轮船至少要拍发 21 次呼叫信号 （）若第 1 次呼叫信号就被基站收到，则轮船 16 秒后会收到回答信号从而停止拍发，16 秒内轮船会继续 拍发 3 次，即一共拍发了 4 次呼叫信号； 若前1 217ii 次呼叫信号都没有被基站收到，第i次呼叫信号被基站收到，与上面同理，停止拍发 时轮船一共拍发了3i次呼叫信号； 若前 17 次呼叫信号都没有被基站收到，轮船会拍发 21 次后停止 所以随机变量X的分布列如下： X 4 5 6 19 20 21 P 0.2 0.8 0.2 2 0.80.2 15 0.80.2 16 0.80.2 17 0.8 所以 216

28、17 4 0.25 0.8 0.26 0.80.220 0.80.221 0.8E X 21617 0.8 1 1 0.8 1.2 0.84 0.821 0.8 ， 所以 231717 0.80.8 0.8 1 0.81.2 0.84 0.816.8 0.8E X 17 18 0.81 0.8 0.80.21.60.8 1 0.8 , 两式相减得 21617 0.20.80.2 0.80.2 0.80.2 0.80.2 0.8E X 17 18 0.81 0.8 0.80.21.60.8 1 0.8 所以 20 18 2 0.85 0.0116 85 0.88587.91 0.80.64 E

29、X 22命题意图本题考查参数方程、极坐标方程等转化问题，直线与圆的位置关系 解析（）曲线 C 的参数方程 23cos , 1 3sin x y 化为普通方程为 22 219xy 由cos2 sin50，cosx，siny可得， 直线l的直角坐标方程为250xy （）由（）知l的直角坐标方程为250xy，2,1C 设直线 l ：20xym，由题知mZ 所以C到直线 l 的距离 224 55 mm d ， 所以 2 4 2 9 5 m AB ， 所以 2 441 2 92 5 255 mm ， 整理得 42 44545000mm，所以 2 420m或 2 425m， 因为mZ，所以1m或9m 所以

30、直线 l 的方程为210xy 或290xy 23命题意图本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的应用 解析（）由题意得 2 1, 5 23 105, 55 3 1,. 5 x xx x 所以不等式 3 4f xx 可化为 2 , 5 134 x x 或 23 , 55 10534 x xx 或 13 3 5 4x x 解得1x 所以不等式 34f xx 的解集为1, （） 5352532 51f xxxxx 因为a，b R， 12 2 ab ， 所以 1121414 224424 222 aba b abab abbaba ， 当且仅当 4ab ba ，即1a ，2b时取等号 因为 2 221abf xm恒成立， 所以 2 4121m ，解得11m ， 所以实数m的取值范围是1,1