【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第29讲 抽屉原理(教师版)
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1、第第 2929 讲讲 抽屉原理抽屉原理 理解抽屉原理的基本概念、基本用法; 掌握用抽屉原理解题的基本过程; 能够构造抽屉进行解题; 利用最不利原则进行解题; 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 一、一、知识点介绍知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理,它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题,因此,也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以 解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题, 在利用抽屉原则后,能很快使问题得到解决。 二二、抽屉原理抽屉原理的定义的定
2、义 一般情况下,把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三三、抽屉原理抽屉原理的的解题解题方案方案 1 1、利用公式进行解题利用公式进行解题 苹果抽屉商余数 余数:(1)余数1, 结论:至少有(商1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数x11xn , 结论:至少有(商1)个苹果在同一个抽屉里 (3)余数0, 结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 教学目标 知识梳理 2 2、利用最值原理解题利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论, 将复杂的题目变得非常简单, 也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法
3、。 考点一:直接利用考点一:直接利用公式解题公式解题 例例 1 1、6只鸽子要飞进5个笼子,每个笼子里都必须有1只,一定有一个笼子里有2只鸽子对吗? 【解析】6只鸽子要飞进5个笼子,如果每个笼子装1只,这样还剩下1只鸽子这只鸽子可以任意飞进其 中的一个笼子,这样至少有一个笼子里有2只鸽子所以这句话是正确的 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题,把鸽笼看作“抽屉”,把鸽子看作“苹果”,6511 , 1 12 (只) 把6个苹果放到5个抽屉中, 每个抽屉中都要有1个苹果, 那么肯定有一个抽屉中有两个苹果, 也就是一定有一个笼子里有2只鸽子 例例 2 2、人的头发平均有 12 万根,如果最多不超过
4、 20 万根,那么 13 亿中国人中至少有 人的头 发的根数相同。 【解析】这是一道抽屉原理的题目,所以要先分清楚什么是抽屉,什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发: 有 20 万个,中国的人数是苹果:13 亿人,所以至少应有:13000000002000006500(人)。 例例 3 3、“六一”儿童节,很多小朋友到公园游玩,在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明:在游园的小 朋友中,至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩,我们把他们看作n个“苹果”,再把每个小朋友遇到的熟人数目 看作“抽屉”,那么,n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能:0,1,2,1n其
5、中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人;而每位小朋友最多遇见1n个熟人,所以共有n个“抽屉”下面 分两种情况来讨论: 如果在这n个小朋友中,有一些小朋友没有遇到任何熟人,这时其他小朋友最多只能遇上2n 个熟人, 典例分析 这样熟人数目只有1n种可能: 0, 1, 2, ,2n 这样, “苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(1n 种熟人数目),根据抽屉原理,至少有两个小朋友,他们遇到的熟人数目相等 如果在这n个小朋友中, 每位小朋友都至少遇到一个熟人, 这样熟人数目只有1n种可能: 1, 2, 3, , 1n这时,“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n种熟人数目),根据抽屉原理,至
6、少有两 个小朋友,他们遇到的熟人数目相等 总之,不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人),必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。 例例 4 4、在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除? 【解析】因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个 “抽屉”一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个 抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同(需要对学生利用余数 性质进行解释:为什么余数相同,则差就能被整除)这两个数的差必能被3整除。 例例 5 5、求证:对于任意的
7、8 个自然数,一定能从中找到 6 个数a,b,c,d,e,f,使得()()()ab cd ef 是 105 的倍数 【解析】1053 57 对于任意的 8 个自然数,必可选出 2 个数,使它们的差是 7 的倍数;在剩下的 6 个 数中,又可选出 2 个数,使它们的差是 5 的倍数;在剩下的 4 个数中,又可选出 2 个数,使它们的差是 3 的倍数。 例例 6 6、某班有 16 名学生,每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月,才能使该班的任意两个 学生总有某个月份是分在不同的小组里? 【解析】经过第一个月,将 16 个学生分成两组,至少有 8 个学生分在同一组,下面只考虑这 8 个学生
8、经过第二个月,将这 8 个学生分成两组,至少有 4 个学生是分在同一组,下面只考虑这 4 个学生 经过第三个月,将这 4 个学生分成两组,至少有 2 个学生仍分在同一组,这说明只经过 3 个月是无法满足 题目要求的如果经过四个月,将每个月都一直保持同组的学生一分为二,放人两个组,那么第一个月保 持同组的人数为 162=8 人,第二个月保持同组的人数为 82=4 人,第三个月保持同组人数为 42=2 人, 这说明照此分法,不会有 2 个人一直保持在同一组内,即满足题目要求,故最少要经过 4 个月 例例 7 7、一次数学竞赛出了 10 道选择题,评分标准为:基础分 10 分,每道题答对得 3 分,
9、答错扣 1 分,不 答不得分。问:要保证至少有 4 人得分相同,至少需要多少人参加竞赛? 【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从 10-10=0 分到 10+310=40 分,但注意到 39、38、35 这 3 个分数是不可能得到的,要保证至少有 4 人得分相同,至少需要 3(41-3)+1=115 人. 考点二:考点二:构造抽屉利用公式进行解题构造抽屉利用公式进行解题 例例 1 1、在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友一起做游戏,每人可以从口袋 中随意取出2个球,那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样你能说明这是为什 么吗? 【解析】从三种颜
10、色的球中挑选两个球,可能情况只有下面6种: 红、红;黄、黄;蓝、蓝;红、黄;红、蓝;黄、蓝, 我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”,把7个小朋友当作7个“苹果”,根据抽屉原理,至少有两个“苹 果”要放进一个“抽屉”中,也就是说,至少有两个人挑选的颜色完全一样。 例例 2 2、从 1,2,3,2010,2011 这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差不等于 4? 【解析】1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20,25,在这些数种中任何两个数的差都不等于 4,可以看出这些数是从每 8 个连续的数中选出前面的 4 个连续的数 那么有 20118=2513,所以最多
11、可以选 2514+3=1007 个数。 (对于这类问题,一种方法是先尽可能的多选,然后再找出这些数的规律,再计算出最多可以选出多少个。 例例 3 3、时钟的表盘上按标准的方式标着 1,2,3,11,12 这 12 个数,在其上任意做n个 120的扇形, 每一个都恰好覆盖 4 个数,每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出 3 个覆盖 整个钟面的全部 12 个数,求n的最小值 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 【解析】 (1)当8n 时,有可能不能覆盖 12 个数,比如每块扇形错开 1 个数摆放,盖住的数分别是: (12, 1,2,3);(1,2,3,4);
12、(2,3,4,5);(3,4,5,6);(4,5,6,7);(5,6,7,8);(6, 7,8,9);(7,8,9,10),都没盖住 11,其中的 3 个扇形当然也不可能盖住全部 12 个数 (2)每个扇形覆盖 4 个数的情况可能是: (1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12)覆盖全部 12 个数 (2,3,4,5)(6,7,8,9)(10,11,12,1)覆盖全部 12 个数 (3,4,5,6)(7,8,9,10)(11,12,1,2)覆盖全部 12 个数 (4,5,6,7)(8,9,10,11)(12,1,2,3)覆盖全部 12 个数 当9n 时,至少有 3 个扇形在上面
13、 4 个组中的一组里,恰好覆盖整个钟面的全部 12 个数 所以n的最小 值是 9 例例 4 4、有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数? 【解析】需先跟学生介绍奇偶性:奇数奇数偶数;奇数偶数奇数;偶数偶数偶数。 先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考 虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、 桔子个数的搭配就有4种情形:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),其中括号中的第一个 字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性将这4种情
14、形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据 抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数,偶数加 偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数 考点三:最不利原则考点三:最不利原则 例例 1 1、“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级12道题,并且至少有8道题与其他各年级 都不同如果每道题出现在不同年级,最多只能出现3次本届活动至少要准备 道决赛试题 【解析】每个年级都有自己8道题目,然后可以三至五年级共用4道题目,六到八年级共用4道题目,总共 有864256(道)题目 例例 2 2、在100张卡片上不重复地编写上110
15、0,请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相 乘后之乘积可被4整除? 【解析】 当抽出50个奇数的时候,乘积还是奇数,最多再抽出2张偶数,乘积即可被4整除, 也就是抽出52 个数可以保证乘积能被4整除 例例 3 3、从 1,2,3,4,5,99,100 这 100 个数中任意选出 51 个数,证明: (1)在这 51 个数中,一定有两个数互质; (2)在这 51 个数中,一定有两个数的差等于 50; (3)在这 51 个数中,一定存在 9 个数,他们的最大公约数大于 1. 【解析】(1)我们将 1100 分成(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(97,98)(99,100)这
16、50 组,每组内的数相邻,而相邻的两个自然数互质。 将这 50 组数作为 50 个抽屉,同一个抽屉内的两个数互质。 而现在 51 个数,放进 50 个抽屉里,则必定有两个数在同一个抽屉,于是这两个数互质。问题得证。 (2)我们将 1100 分成(1,51)(2,52)(3,53)(40,90)(50,100)这 50 组,每组 内的数相差 50. 将这 50 组数视为抽屉,则现在有 51 个数放进 50 个抽屉内,则必定有 2 个数在同一抽屉,那么这两个数的 差为 50.问题得证 (3)我们将 1100 按 2 的倍数、3 的倍数、既不是 2 又不是 3 的倍数的情况分组,有(2,4,6,8,
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