【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第23讲和倍问题（教师版）

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1、第第 23 讲讲 和倍问题和倍问题 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 掌握寻找和倍的方法解决问题 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题 它的结构可用下图来表达： 倍数（小数） 几倍数（大数） 数量关系式：两数和 （倍数+1）=小数（1 倍数） 小数 倍数=大数（几倍数） 两数和小数=大数（几倍数） 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作 1 倍数，大数 就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和 (倍数+1)=小数 小数 倍数=大数 或 和一

2、小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数 (倍数1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例例 1、小华和爷爷今年共 72 岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 【解析】小华：72 (17)9 （岁）， 爷爷：9 763 （岁）， 63954 （岁）或9 (7 1) 54 （岁）. 典例分析 知识梳理 教学目标 和 例例 2、一个长方形的周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】先求出长方形长和宽的和：36 2=18（厘米） 把长方形的宽看作 1 份，长就是 2 份，长和宽的和

3、对应 的就是 3 份， 所以长方形的宽是：18 （2+1）=6（厘米） 长是：6 2=12（厘米） 这个长方形的面积是：12 6=72（平方厘米） 例例 3、师、徒两人共加工 105 个零件，师傅加工的个数比徒弟的 3 倍还多 5 个，师傅和徒弟各加工零件多少 个？ 【解析】引导学生画图时，一定要注意“多 5 个”的画图方法，并找和与份数之间的关系 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作 1 份数，师傅加工的个数就比 3 份数还多5个， 如果师傅少加工 5 个，两人加工的总数就少 5 个，总数变为(105-5)个， 这样这道题就转化为例 5 类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.

4、列式：如果师傅少做 5 个，师、徒共做： 105 5100 (个)， 徒弟做了：100 (3 1)25 (个), 师傅做了：25 3 580 (个) 例例 4、维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘 7 个，维尼熊只能摘 4 个.维尼熊摘了 80 分钟，跳跳虎摘了 50 分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘 2010 个苹果，那 么其中维尼熊摘的有_个. 【解析】依题意有相同时间内若跳跳虎摘了 7 份，则维尼熊摘了 4 份。 所以最终维尼熊摘了 4 80=320 份， 跳跳虎摘了 7 50=350 份。 故每份有 2010 （320+350）=3 个，

5、那么维尼熊摘了 3 320=960 个。 例例 5、二班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4 倍.原有连环画和故事书各有多少本？ 【解析】从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后， 则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数应减少7本， 列式成47 740 (本)，正好是连环画本数的(1+4)倍. （1）如果故事书拿走7本，总本数为： 47 740 (本) （2）现在连环画与故事书的倍数和为：4+1=5 （3）连环画有：40 58 (本) （4）故事书有：8 4739 (本) 例例 6、实验一小、实验二小两校共有学生 2346 人，如果实验一小

6、增加 146 人，实验二小减少 88 人，两校的 学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗? 【解析】已知两校的人数和是 2346 人，而两校人数的差没有直接告诉我们只要求出两校人数的差，就能 解决问题了 从图上可以看出，实验一小增加 146 人，实验二小减少 88 人，两校的学生人数就相等 在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：14688234 (人)， 利用(和差) 2大数，就可以求出实验二小实际的人数： 实验二小：(234614688) 21290(人) 实验一小：234612901056(人),本题也可以用和倍方法解 例例 7、两组学生参加义务劳动，甲组学

7、生人数是乙组的 3 倍，而乙组的学生人数比甲组的 3 倍少 40 人，求 参加义务劳动的学生共有多少人？ 【解析】把乙组学生人数看作 1 份，画出线段图如下： 甲组学生人数是乙组学生人数的 3 倍， 则甲组学生人数的 3 倍就是乙组人数的（3 3=）9 倍。 所以，乙组人数为：40 （9-1）=5（人）； 参加义务劳动的学生共有：5 （1+3）=20（人）。 例例 8、甲水池有水 2600 立方米，乙水池有水 1200 立方米，如果甲水池里的水以每分种 23 立方米的速度流 入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的 4 倍？ 【解析】甲、乙两水池共有水：26001200=3800（立方

8、米） 甲水池剩下的水：3800 （4+1）=760（立方米） 甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米） 经过的时间（分钟）：1840 2380（分钟）。 例例 9、 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有 300 级台阶的山坡， 爸爸每步上 3 级台阶， 儿子每步上 2 级台阶， 从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？ 【解析】大头儿子踏过的台阶数是：300 2150 （级）， 小头爸爸踏过的台阶数是300 3100 （级）， 父子俩每2 36 （级）台阶要共同踏 1 级台阶， 共重复踏了300 650 （级）， 所以父子俩共踏了：150 10050200 （级） 例例

9、 10、 一家三口人， 三人年龄之和是 72 岁， 妈妈和爸爸同岁， 妈妈的年龄是孩子的 4 倍， 三人各是多少岁？ 【解析】妈妈的年龄是孩子的 4 倍，爸爸和妈妈同岁， 那么爸爸的年龄也是孩子的 4 倍，把孩子的年龄作为 1 倍数， 已知三口人年龄和是 72 岁，那么， 孩子的年龄为：72 (144 =8） (岁)， 妈妈的年龄是：8 432 (岁)，爸爸和妈妈同岁为 32 岁 例例 11、学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍排球比足球多4个问学校买 来的篮球、足球、排球各多少个？ 【解析】从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数， 如果排球少买

10、4个，也是l份数，这时三种球一共(49 4 )个，总份数是(1 31 )， 就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数 如果排球减少4个， 三种球一共多少个？ 4 944 5 (个) 足球多少个？ 4 5( 131 )9 (个) 篮球多少个？ 932 7 (个) 排球多少个？ 9+4=13(个) 例例 12、小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、 黑鸡一共有多少只? 【解析】（1）黄鸡多少只？ 1 8( 21 )1 8 (只) （2）白鸡多少只？ 1 823 6 (只) （3）黑鸡多少只？ 1 81 35 (只) （4）白鸡、黄鸡、黑鸡共多

11、少只？ 1836559 (只) 例例 13、有 100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，三位小朋友各分得 多少块糖? 【解析】此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，从线段图上可以 清楚地看出： 甲比丙多分了 358(块)如果甲少拿 7 块，乙少拿 5 块， 那么糖的总数就要减少 8513(块)，总共就是 1001387(块) 87 块相当于丙所有的糖块数的 3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量 丙：100(35)5 329(块)；乙：29534(块)；甲：34337(块)。 例例 14、甲、乙、丙 3 数之和

12、是 183，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7，求甲、乙、丙三数各是多 少？ 我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 【解析】假如我们给乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7 凑成 3 份， 则这时候三个数的总和为：183+4-7=180， 和对应的份数为：1+2+3=6。 所以，一份数即丙数为：180 6=30； 乙数为：30 2-4=56；甲数为：30 3+7=97。 例例 15、超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多 10 颗售货员将 这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖最后巧克力糖全部装完，水果糖 还剩下 170

13、 颗请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？ 【解析】由题意，如果每袋里装 3 颗巧克力糖和 9 颗水果糖，则只剩下 10 颗水果糖； 现在每袋里装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，结果剩下了 170 颗水果糖 由此可以算出总的袋数为： (170 10)(97)80 （袋）， 因此水果糖总数为80 7170730 （颗），巧克力糖总数为80 3240 （颗） 课堂狙击课堂狙击 1、果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【解析】把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数， 分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵

14、数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数. 这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. 方法一：梨树：54(5 1) 9(棵)， 苹果树：9545(棵)， 苹果树比梨树多：45936(棵) 方法二：梨树：54(5 1)9(棵)， 苹果树比梨树多：9 (5 1)36(棵) 实战演练 2、实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2 倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【解析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍， 可以想到三年级同学制作的航模件数是1倍数 两个年级共制作了318件，这318

15、件就相当于123倍， 这样就可以求得1倍数三年级同学的制作件数是：3183106 (件) 再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系， 求出四年级同学制作航模的件数是： 1062212(件)或318106212(件)。 3、 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个， 乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【解析】根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数， 40个就相当于(4+1) 份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数， 把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数. 羽毛球有：40(41)4058()个，乒乓球有：8432(个) 4、甲班和乙

16、班共有图书 160 本.甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【解析】设乙班的图书本数为 1 份，则甲班图书为乙班的 3 倍， 那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的 4 倍. 还可以理解为 4 份的数量是 160 本，求出 1 份的数量也就求出了乙班的图书本数， 然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系： 乙班：160 （3+1）=40（本） 甲班：40 3=120（本）或 160-40=120（本） 验算：12040=160（本） 120 40=3（倍） 5、水浒传中的108将中，男将是女将的35倍，男将共有 名，女将共有 名。 【解析】10835 13名

17、女将，3 35105名男将。 6.光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？ 【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的 3 倍还少 40 人， 如果用男、女生人数总和 760 人再加上 40 人，就等于女生人数的 4 倍（见下图）。 女生人数：（76040） （31）=200（人） 男生人数：200 3-40=560（人）或 760-200=560（人） 验算：560200=760（人）（560+40） 200=3（倍）。 答：男生有 560 人，女生有 200 人。 7、北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共 300 朵。已知红

18、花的朵数比黄花的2倍少 30 朵。问两种花各有多少朵？ 【解析】我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下： 从线段图中可以看出，两种花的总和再添上 30 朵，正好对应了 3 份。 所以黄花朵数为：（300+30） （1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵） 8、工程队修一条公路，原计划每天修 720 米，实际每天比原计划多修 80 米，因而提前 3 天完成了任务。 这条路全长_千米。 【解析】由于实际每天比原计划多修80米，而提前3天完成了任务， 所以实际上总共多修的公路即等于按原计划3天修的公路， 所以实际上修的天数为：720 38027 （天）， 所以，这条路全长为：

19、 (72080)2721600（米），即21.6千米。 课后反击课后反击 1、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张， 结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_ 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知， 甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数 计算这六个数的总和是1193 1258184218661912249410565，10565除以3余2； 因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数， 那么丙手中的卡片上的数除以3余2 六个数中只有1

20、193除以3余2， 故丙手中卡片上的数为1193 2、桌子上放着 6 包糖，分别装糖 3、4、5、7、9、13 块，小华拿走 2 包，小明拿走 3 包。已知小明拿 走的糖的块数是小华的 2 倍，那么剩下的那包中的糖有_块。 【解析】由题意，小明拿走的糖的块数是小华的 2 倍， 已知小明拿走 3 包，小华拿走 2 包，也就是其中 3 个数的和是另外两个数的 2 倍， 那么，3 个数中必然包含较大的数，且 3 个数的和是偶数。 因为 13+7+4=2 （3+9），所以剩下的那包中的糖有 5 块。 3、一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千 克一筐苹果

21、、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 【解析】梨的重量是：(112 3)(1 1 3)23 （千克） 苹果的重量是：23 3 69 （千克） 香蕉的重量是：23 320 （千克） 4、玩具厂生产红、黄、白气球共125个，其中红气球的个数是黄气球的3倍，白气球比黄气球少25个问 三种气球各生产了多少个？ 【解析】黄气球：(12525)(3 1 1)30 （个）； 红气球：30390（个）； 白气球：30255（个） 5、果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵.桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵，求桃树、梨 树和苹果树各有多少棵？ 【解析】下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多

22、12 棵， 苹果树比梨树少 20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为 1 份数容易解答. 又知三种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么就和梨树同样多了； 再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了， 而总棵树则变为 552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的 4 倍。 梨树的棵数：（55220-12） （112）=560 4=140（棵）， 桃树的棵数：140 212=292（棵）， 苹果树的棵数： 140-20=120（棵）， 桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵。 6、某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛这

23、两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一 支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍这次停电时间 是多少小时？ 【解析】两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时， 所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5 现在可以维持5小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的3倍， 所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3 535倍， 由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时 间要长532小时 所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(5 1)0.5小时， 这次停电的时

24、间为30.52.5小时 7、用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车 马=2，炮 车=4，炮-马=56，那么“车+马+ 炮”等于多少？ 【解析】车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下： 把马表示的数看作 1 份，车表示的数就是 2 份，炮表示的数就是 4 个 2 份， 所以，马表示的数为：56 （2 4-1）=8。 “车+马+炮”等于：8 （1+2+2 4）=88。 1、三只小猫去钓鱼，它们共钓上 36 条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的 5 倍， 花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条。黑猫钓上

25、 条鱼。 【解析】白猫钓到 36 （5+1）6 条， 花猫和黑猫共钓 30 条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条， 那么就比黑猫钓到的 2 倍多 3 条，黑猫钓到（30-3） 39 条 2、甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲 2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有 块巧克力 【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块， 此时乙的巧克力数为(735)(1 12)17 （块），丙原有172322（块）。 方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖， 那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍， 说明甲的糖是丙的糖的2倍少2226块 所以，乙有(7336)(1 12)19 块糖，丙193=22（块） 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解 题规律，正确迅速地列式解答。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 直击赛场 名师点拨 学霸经验