【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第15讲-植树问题（教师版）

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1、第第 1515 讲讲 植树问题植树问题 教学目标 封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用. 掌握空心方阵和实心方阵的变化规律 一、植树问题路线一、植树问题路线 （一）不封闭的植树路线. 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多 1. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1 全长株距1 全长株距(棵数1) 株距全长(棵数1) 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵数与 段数相等. 全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数； 棵数段数全长株距； 株距全长棵数. 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少 1 棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：

2、棵数段数1 全长株距1. 株距全长(棵数1). 全长株距(棵数+1) （二）封闭的植树路线. 在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数 等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数周长株距. 二、解植树问题的三要素二、解植树问题的三要素 （1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数， 知识梳理 教学目标 只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个 三、方阵问题三、方阵问题 （1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2）每边的个数总数4 1”； （3）每向里一层每边棋子数减少2； （4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层

3、个数的变化规律。 例例 1、大头儿子的学校旁边的一条路长 400 米，在路的一边从头到尾每隔 4 米种一棵树，一共 能种几棵树？ 【解析】从图上可以看出，每隔 4 米种一棵树，如果 20 米长的路的一边共种了 6 棵树， 这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多 1， 所以列式为：400 4+1=101（棵）. 例例 2、一条马路长 200 米，在马路两侧每隔 4 米种一棵树，则一共要种树_棵。 【解析】考察植树问题，200 4=50（段），（50+1） 2=102 例例 3、一条公路的一旁连两端在内共植树 91 棵，每两棵之间的距离是 5 米，求公路长是多少

4、 米？ 【解析】根据植树问题得到：91 15450（米） 例例 4、 校门口放着一排花， 共10盆 从左往右数茉莉花摆在第6， 从右往左数， 月季花摆在第8， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间算一算，一串红花一共有多少盆？ 【解析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(6 1)5（盆）花， 从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10 (8 1)3 （盆）花， 典例分析 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间， 一串红花一共有：10 532 （盆） 例例 5、从小熊家到小猪家有一条小路，每隔 45 米种一棵树，加上两端共种 53 棵；现在改成每 隔 60 米

5、种一棵树求可余下多少棵树? 【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系. 从小熊家到小猪家的距离是：45 (53-1)=2340(米)， 间隔距离变化后，两地之间种树：2340 60+1=40(棵)， 所以可余下树： 53-40=13(棵) ， 综合算式为：53-45 (53-1) 60+1=13(棵). 例例 6、马路的一边，相隔 8 米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第 153 棵树共花了 4 分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多 远？ 【解析】第一棵树到第 153 棵树中间共有153-1=152（个）间隔， 每个间隔长 8 米，所以第一棵树到

6、第 153 棵树的距离是：152 8=1216 （米）， 汽车经过 1216 米用了 4 分钟，1 分钟汽车经过：1216 4=304 （米）, 半小时汽车经过：304 30=9120 （米）， 即小明的家距离学校9120米. 例例 7、一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第 11 棵树用了 11 分钟，这位老爷爷如果走 24 分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树） 【解析】从家门口走到第 11 棵树是走了 11 个间隔， 走一个间隔所用时间是：11 11=1（分钟）， 那么走 24 分钟应该走了：24 1=24（个）间隔， 所以老爷爷应该走到了第 24 棵树. 例例 8、元宵节到了，实验中学学

7、校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了 21 只，每隔 30 分米挂一只红灯，相邻的 2 只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大 门有多宽？ 【解析】一共挂了 21 只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个）， 每隔 30 分米挂一只红灯，相邻的 2 只红灯之间挂了一只绿灯， 说明每个间距的长是：30 2=15（分米）， 所以学而思学校的大门宽度为：15 20=300（分米） 例例 9、有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续 3 秒如果敲响 6 下，那么从敲响第一下到最 后一下持续声音结束，一共需要 43 秒现在敲响 12 下，从敲响第一下到最后一下持续声音结 束，一共需要多

8、长时间？ 【解析】每次敲完以后，声音持续 3 秒， 那么从敲完第一下到敲完第 6 下，一共经历的时间是43 340 （秒）， 而这之间只有6 15 （个）间隔， 所以每个间隔时间是40 58 （秒）， 现在要敲响 12 下， 所以一共经历的时间是 11 个间隔和 3 秒的持续时间， 一共需要时间是：11 8 391 （秒） 例例 10、小明家的小狗喝水时间很规律，每隔 5 分钟喝一次水，第一次喝水的时间是 8 点整， 当小狗第 20 次喝水时，时间是多少？ 【解析】第 20 次喝水与第 1 次喝水之间有20119 (个)间隔， 因为小狗每隔 5 分钟喝一次， 所以到第 20 次喝水中间间隔的时

9、间是：19 5 95 (分钟)， 也就是 1 个小时 35 分钟， 所以小狗第 20 次喝水时时间是：9 时 35 分 例例 11、科学家进行一项试验，每隔 5 小时做一次记录，做第 12 次记录时，挂钟时针恰好指向 9，问做第一次记录时，时针指向几？ 【解析】我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少 第 1 次到第 12 次有 11 个间隔：5 11 55 （小时） 然后我们要知道 55 小时，时针发生了怎样的变化 时针每过 12 小时就会转一圈回到原来的状态， 所以时针转了 4 圈以后， 又经过了 7 个小时55 12 47 （小时）而这时时针指向 9 点， 所以原来时

10、针指向 2 点 例例 12、裁缝有一段 16 米长的呢子，每天剪去 2 米，第几天剪去最后一段？ 【解析】如果呢子有 2 米，不需要剪； 如果呢子有 4 米，第一天就可以剪去最后一段，4 米里有 2 个 2 米，只用 1 天； 如果呢子有 6 米，第一天剪去 2 米，还剩 4 米，第二天就可以剪去最后一段，6 米里 有 3 个 2 米，只用 2 天；如果呢子有 8 米，第一天剪去 2 米，还剩 6 米，第二天再剪 2 米，还剩 4 米，这样第三天即可剪去最后一段，8 米里有 4 个 2 米，用 3 天， 我们可以从中发现规律：所用的天数比 2 米的个数少 1 因此，只要看 16 米里有几个 2

11、 米，问题就可以解决了 16 米中包含 2 米的个数：16 28 （个） 剪去最后一段所用的天数：8 17 （天）， 所以裁缝第 7 天剪去最后一段 例例 13、有三根木料，打算把每根锯成 3 段，每锯开一处需用 3 分钟，全部锯完需要多少分钟? 【解析】求锯的次数属植树问题思路一根木料锯成了 3 段，只要锯3 12 次，锯 3 根木料要 236次，问题随之可求 解：一根木料要锯成 3 段，共要锯多少次?3 12 (次) 锯开三根木料要多少次?236(次) 锯三根木料要多少时间?3618(分钟) 综合算式：3 (3 1) 318(分钟)或3 (3 1) 318 (分钟) 例例 14、甲、乙、丙

12、三人锯同样粗细的木棍，分别领取 8 米,10 米,6 米长的木棍，要求都按 2 米 的规格锯开劳动结束后，甲,乙,丙分别锯了 24, 25, 27 段，那么锯木棍速度最快的比速度最慢 的多锯 次 【解析】甲每锯一根出824（段） 需要锯413 （次）甲锯 24 段需要锯244 318 （次） 乙每锯一根出1025（段）需要锯514 （次）甲锯 24 段需要锯255420 （次） 丙每锯一根出623（段） 需要锯3 12 （次）甲锯 24 段需要锯273218 （次） 锯的速度快的甲和丙比锯的慢的乙多锯2次 例例 15、在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红色点，同时自右

13、向左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是 4 厘米的短木棍有多少根？ 【解析】由于 100 是 5 的倍数，所以自右向左每隔 5 厘米染一个红点相当于自左向右每隔 5 厘 米染一个红点 而每隔 30 厘米可得到 2 个 4 厘米的短木棍 最后100 30310 （厘米）也可以得一个短木棍， 故共有2 317 （根）4 厘米的短棍 例例 16、甲、乙俩人对一根 3 米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑 5 厘米，间隔 5 厘 米不涂色，接着再涂黑 5 厘米，这样交替做到底然后，乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不 涂色，接着涂黑 6 厘米，再间隔 6 厘米不涂色，

14、交替做到底最后，木棍上没有被涂黑部分的 长度总和为 厘米 605048403630251815650 【解析】考虑60cm长的一段木棍中， 没有被涂黑的部分长度总和为1 354215 （）cm （如上图）， 所以 3 米长的木棍中共有15 3006075（）（）cm 长未被涂黑 例例 17、大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有 300 级台阶的山坡，爸爸每步上 3 级台阶，儿子 每步上 2 级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？ 【解析】大头儿子踏过的台阶数是：3002150（级）， 小头爸爸踏过的台阶数是300 3100 （级）， 父子俩每2 36 （级）台阶要共同踏 1

15、 级台阶， 共重复踏了300 650 （级）， 所以父子俩共踏了：150 10050200 （级） 例例 18、北京市国庆节参加游行的总人数有 60000 人，这些人平均分为 25 队，每队又以 12 人 为一排列队前进 排与排之间的距离为 1 米， 队与队之间的距离是 4 米， 游行队伍全长多少米？ 【解析】这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列 的全长相当逆解时要注意段数比树的棵数少 1所以， 每队的人数是： 6 0 0 0 02 52 4 0 0(人) 每队可以分成的排数是： 2 4 0 01 22 0 0(排) 200 排的全长米数是： 1( 2 0

16、 01)1 9 9(米) 25 个队的全长米数是： 199254975(米) 25 个队之间的距离总米数是：4 (25 1)96(米) 游行队伍的全长是： 4975965071(米) 例例 19、学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成66的方块队(即每行每列都是 6 人)，前后每行间隔为 2 米他们以每分钟 40 米的速度，通过长 30 米的主席台，需要多少分 钟？ 【解析】运用植树问题的逆解思路，即前后每行间隔长 间隔数=方块队长 方块队长：2 (6 1) 10 (米)， 方块队通过主席台行进路程总长：10 3040 (米)， 方块队通过主席台需要：40 401 (分钟)， 综合算式

17、：2 (6 1) 30401 (分钟) 例例 20、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发 开往乙站，全程要 15 分钟有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候， 恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了 10 辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候， 恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【解析】这个人前后一共看见了 12 辆电车，每两辆车的间隔是 5 分钟， 开出 12 辆电车共有12 1 11 （个）间隔， 这样可以计算出从第 1 辆电车开出到第 12 辆电车开出所用的时间， 共经了5 11 55 （分钟）， 由于

18、他出发的时候，第 1 辆电车巳到达乙站， 所以这个人从乙站到甲站用了55 1540 （分钟） 课课堂狙击堂狙击 1. 在一条长 240 米的水渠边上植树，每隔 3 米植 1 棵。两端都植，共植树多少棵？ 【解析】240 3181 （棵） 2.从甲地到乙地每隔 40 米安装一根电线杆，加上两端共 51 根；现在改成每隔 60 米安装一根 电线杆求还需要多少根电线杆? 【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系. 解：从甲地到乙地距离多少米?40 (51 1) 2000 (米) 间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆? 200020100 (根)， 1001101 （根） 还需要下多少根电

19、线杆?101 5150 (根) 综合算式：40 (51 1) 2015150 (根) 3.马路的一边每相隔 9 米栽有一棵柳树.张军乘汽车 5 分钟共看到 501 棵树， 问汽车每小时走多 少千米？ 【解析】张军 5 分钟看到 501 棵树意味着在马路的两端都植树了； 只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度. 5 分钟汽车共走了：9 (501 1) 4500 (米)， 汽车每分钟走：4500 5900 (米)， 实战演练 汽车每小时走：900 6054000 (米) 54 (千米) 列综合式：9 (501 1) 5 60 100054 (千米) 4.丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，

20、丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来， 丁丁到 16 层时，爸爸跑到了几层？ 【解析】丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离， 到 16 层需要跑 15 层的距离， 所以丁丁跑了15 35 （个）三层的距离， 爸爸同时跑了 5 个两层的距离 所以爸爸跑到了5 2111 （层） 5.有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5 秒钟敲完，那么十二点时，几 秒钟才能敲完？ 【解析】六点时敲 6 下，中间共有 5 个间隔， 所以每个时间间隔是5 51 （秒）， 十二点要敲 12 下，中间有 11 个时间间隔， 所以十二点要用：11 1 11 （秒）才能敲完 6.一根木料在 24 秒内被锯

21、成了 4 段，用同样的速度锯成 5 段，需要多少秒？ 【解析】锯的次数总比锯的段数少 1 因此，在 24 秒内锯了 4 段，实际只锯了 3 次， 这样我们就可以求出锯一次所用的时间了， 又由于用同样的速度锯成 5 段； 实际上锯了 4 次，这样锯成 5 段所用的时间就可以求出来了 所以锯一次所用的时间：24 (4 1)8 （秒）， 锯 5 段所用的时间：8 5132（） （秒） 课课后反击后反击 1.20 名运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长 2 米，前后两辆车 相距 18 米，这列车队长多少米？如果每辆车的车速为每秒 12 米，这个车队经过长为 38 米的 主席台需

22、要多长时间？ 【解析】20 名运动员共有 20 辆摩托车，那么他们之间一共有 19 个间隔， 这个车队的长由 20 辆车长加上 19 个间隔组成 20 辆车的长度是：20 240 (米) 19 个间隔的总长度为：19 18 342 (米) 所以这个车队的长度为：40 342382 (米) 第二问是一个行程问题， 穿过主席台实际上走的路程是主席台长加上车队的长度， 所以车队走的总路程为382 38420 (米)， 又因为车队的速度为每秒 12 米， 所以用的时间为420 12 35 (秒) 2.一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车 队共排列了多长？如

23、果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多 少时间？ 【解析】车队间隔共有30 129 (个)，每个间隔 5 米， 所以，间隔的总长为(30 1) 5 145 (米)， 而车身的总长为(7 1)424 (米)， 故这列车队的总长为(30 1) 5 30 4265 (米) 由于车队要行265 535800 (米)，且每秒行 2 米， 所以车队通过检阅场地需要， (265535)2400 (秒)6 分 40 秒 3.有一根 180 厘米长的绳子，从一端开始每 3 厘米作一记号，每 4 厘米也作一记号，然后将标 有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？ 【解析】 每 3 厘米

24、作一记号，共有记号： 1 8 0315 9 （个） 每 4 厘米作一记号，共有记号： 1 8 0414 4 （个） 其中重复的共有： 1 8 01 211 4 （个） 所以记号共有： 5 94 41 48 9 （个） 绳子共被剪成了： 8 919 0 （段） 4.贝贝要去外婆家，他家门口有一根路灯杆，从这根杆开始，他边走边数，每 50 步有一根路 灯杆，数到第 10 根时刚好到外婆家，他一共走了_步 【解析】他从家门口的电线杆开始走， 到第 10 根电线杆的时候刚好走了 9 段， 每段需要走 50 步，所以共走的步子为：50 9=450 （步） 5.晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走 36 级

25、台阶如果从第一层走到第六层需要走多少级 台阶?(各层楼之间的台阶数相同) 【解析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系 每相邻两层楼之间有多少级台阶?36 (3 1)18 (级) 从第一层走到第六层共多少级台阶?18 (6 1) 90 (级) 1.（2008 年，希望杯）有一座高楼，小红每上登一层需 1.5 分钟，每下走一层需半分钟，她从 上午 8：45 开始不停地从底层往上走，到了最高层后又立即往下走，中途也不停留，上午 9： 17 第一次返回底层。则这座楼共有_层。 【解析】由题意，小红从开始走到返回底层所用时间为151732（分钟）， 上、下一层需要：1.5 0.52 （分钟）， 所以楼梯数为32 216 （个）， 这座楼层数为：16 117 （层）。 一不封闭的植树问题可以分为以下三种情形： （1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的线段多 1，即棵数=段数+1。 （2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数和段数相等，即棵数=段数。 直击赛场 名师点拨 （3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少数 1，即：棵数=段数1。 二在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即棵数=段数 本节课我学到了本节课我学到了 我我需要努力的地方是需要努力的地方是 学霸经验