【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第13讲-乘除巧算（教师版）

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1、第第 1313 讲讲 乘除巧算乘除巧算 熟练运用运算律进行简便运算 建立简算意识，培养数感，提高心算和运算速度. 本节课主要学习乘、除法的速算与巧算要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据 乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用， 解决相关问题 一、乘法凑整一、乘法凑整 思想核心： 先把能凑成整十、 整百、 整千的几个乘数结合在一起， 最后再与前面的数相乘， 使得运算简便。例如：425100，8 1251000，520100 123456799111111111 （去 8 数，重点记忆） 71 11 31 0 0 1（三个常用质数的乘积，重点记忆）

2、理论依据：乘法交换率：a b=b a 乘法结合率：(a b) c=a (b c) 乘法分配率：(a+b) c=a c+b c 积不变规律：a b=(a c) (b c)=(a c) (b c) 二、乘、除法混合运算的性质二、乘、除法混合运算的性质 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变即： ()()()()0abanbnambmm ，0n 在连除时，可以交换除数的位置，商不变即：abcacb 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符 号搬家）例如：abcacbbca 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：括号前是“”时，去

3、括号后，括号内的乘、除符号不变即 ()()ab ca b cabca bc 知识梳理 教学目标 括号前是“”时，去括号后，括号内的“”变为“”，“”变为“”即 ()()ab cabcabcab c 添加括号情形：加括号时，括号前是“”时，原符号不变；括号前是“”时，原符号“”变为 “”，“”变为“”即 ()() ()() abcabcabcabc abcabcabcabc 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘即 ()()() ()() ()a bcdacbdadbc 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形 考点一：乘考点一：乘 5、15、25、125 例例 1、下面这些题你会算吗？

4、(1)125 (408) (2)(1004)25 【解析】(1)125 (408)125 40 125 85000 10006000 (2)(1004)25100 254 252500 1002400 例例 2、你知道下题怎样快速的计算吗？ 7 8 65 【解析】786 5786 (5 2)2786023930 或 786 5393 2 5393 103930 例例 3、聪明的你也来试试吧！ (1)24 15 (2)8475 (3)3975 (4)56625 【解析】 (1)24 15(24242) 10(24 12) 10360 (2)84 75(21 4) (25 3)(21 3) (4

5、25)63 1006300 (3)39 75 (40 1)7540 75 1 753000752925 (4)56 625(7 8) (125 5)(7 5) (8 125)35 100035000 例例 4、计算：4500025 90 【解析】 4500025 90=450005045 =450005045=100050=20 典例分析 考点二：乘考点二：乘 9、99、999 例例 1、下面各题怎样算简便呢？ (1)129 (2)1299 (3)12999 【解析】(1)利用公式，可以得出结果：12912012108； (2)12991200121188，此题也可用小技巧： “去 1 添补”

6、法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数. 注意：只适用于“两位数乘99” 12的补数是的补数是88去去1是是1112 =118812 99 (1)12999120001211988， 此题可用小技巧：“去 1 添补,中间隔 9”法. 注意：只适用于“两位数乘999” 中间隔中间隔9 12的补数是的补数是88去去1是是1112 =1198812 999 例例 2、小朋友，相信你一定能行噢 (1)6297 (2)123 998 (3)626997 (4)1234 9998 【解析】因为97，998分别比100，1000小3、2，利用乘法分配律可得 (1)原式62 (10

7、03)6200 1866014 (2)原式123 (10002)123 1000 123 2123000246122754 (3)原式626 (10003)6260001878624122 (4)原式1234 (100002)1234 100001234212340000246812337532 例例 3、计算：333333 333333 【解析】原式3 111 111 3 111 111 999999 111 111 10000001111 111 111 111000000111 111 111 110888889 （） 考点三：乘考点三：乘 11、111、101 例例 1、你能快速的写出

8、结果吗？ 45 11 56 11 2222 11 2456 11 【解析】(1)可以用公式11(101)10aaaa得出：45 1145045495 另外，还有一种小技巧 一个数乘以 11，“两头一拉，中间相加”， 95 5 4 + 4 (2)用公式11(101)10aaaa得：56 1156056616 也可用小技巧得： 66 进进1 1 65 + (3)用公式11(101)10aaaa得出2222 112222 1022222444 用小技巧得： + 2 2 24 2 4 2 4 2 这是因为： 4 42 2 1 1 22 2 2 22 22 22 2 2 4 用公式得：11(101)10

9、aaaa得出：2456 112456 10245627016 用小技巧得： 进进11进进 61 07 6 5 + 2 2 4 ，这是因为： 425 6 425 6 6107 65 1 1 2 2 4 所以27016为结果 例例 2、请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题 356 1002 23 1030 【解析】(1)原式356 (10002)356000356 2356000712356712 (2)原式23 (100030)2300069023690 例例 3、计算：20077 11 13 2 【解析】原式2007(7 11 13)2 20071001 2 200720025 考点四：其

10、它乘法考点四：其它乘法 例例 1、试着用一点技巧吧 (1)295295 (1)705705 【解析】(1)295 29529 (29 1) 10025870002587025 (1)705 70570 (70 1) 1002549700025497025 例例 2、5 722 3949 【解析】原式5 72 11 3 13 77527 11 133 77 （） （） （） 10 1001 14710 1471471471470 例例 3、用简便方法计算下面的算式: (1) 7278 (2) 71 79 (3) 7838 (4) 4363 【解析】直接套用速算法： (1) 原式7711002 8

11、5616 （）； (2) 原式771100 1 95609 （） (注意：我们在实际计算中不会这样详细列出式子，学生容易将答案错写成 569互补数 如果 是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”)； (3) 原式7 381008 82964 （）； (4)原式4 631003 32709 （） 例例 4、计算： 2 35、 2 993、 2 2009 【解析】 22 3535535551225（）（） 22 99399379937798600049986049（）（） 22 2009200992009994036081（）（） 考点五：除法考点五：除法 例例 1、小朋友们，下面

12、的计算方法可要听仔细啦 (1)(8172)9 (2)(2046 1069735)3 (3)29150950 (4)22595 【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律, 观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算. (1)我们一眼就可以看出8199,7298 ,所以运用除法的分配律可以简便运算. (8172)981 97299817 (2)括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算. (2046 1059735)320463 10593735368235324584 (3)291和 9 都不是 50 的倍数,但是它们的和却是

13、 50 的倍数,运用除法分配律的逆运算, 291 50950(291 9)50300506 (4)这是一个连除, 2259计算起来会比较复杂,但是2255相比较就会简单一些,根据连 除的性质: 交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算: 22595225594595 例例 2、计算的方法很重要，我们要仔细听啦。 (1)(13065) 13 (2)(2046 1069735)3 (3)981501950 (4)2275 135 【解析】(1)我们一眼就可以看出1301310，65 13 5,所以运用除法的分配律可以简便运算. (13065) 13130 1365 1310515 (2)括号里三

14、个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算. (2046 1059735)320463 10593735368235324584 (3)981和19都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算 981501950(981 19)5010005020 (4)2275 13计算起来会比较复杂,但是22755相比较就会简单一些,根据连除的性质: 交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算: 2275 13522755 13455 1335 考点六：乘除混合考点六：乘除混合 例例 1、聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧 (1)13658 (2)2560(104

15、) (3)527 155 【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质,根据算式不同的特征选择不同的性质 进行巧算, 可以减少计算时间并大大提高正确率,不信你就试试吧! (1)利用带着符号搬家, abcacbbca ，136581368 517585 ； (2)利用去括号的性质, ()abcabc ，2560(104)2560 10 41024； (3)利用添括号的性质, ()a bcabc ，527 155527 (155)527 31581 ； 例例 2、999999999 888888888 1333333332 【解析】 通过观察算式中的 3 个数字可以看出， 它们都与111111

16、111有关， 前两个数很容易看出， 第三个数1333333332266666666626 111111111 ，所以有： 原式9 111111111 8 1111111112666666666 （） 9 8 111111111 11111111126111111111 111111111 6666666666 例例 3、东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋友这道题是： 123344556（）（）（）（）等于多少？如果你是东东的朋友，你能帮东东解出来吗？ 【解析】根据乘除混合运算中去括号的性质：abcabc （） 123344556（）（）（）（） 12 33 44

17、55 6 126 162 3 （） 例例 4、2 3 5 7 11 13 17 1938 51 65 77 （）（） 【解析】这道题中被除数以8个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察， 可以发现被除数中的8个因数可通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数 相等，即2 1938，3 1751，5 1365，7 1177，所以，这道题的计算就十分简单了 原式 2 193 175 137 1138 51 65 77（） （） （） （）（） 38 51 65 7738 51 65 77 1 （） 课堂狙击课堂狙击 1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，

18、并且限时一分钟，小朋友，你能 做到吗？ 1 92 56 41 2 5 【解析】把64分成4 82 ，用乘法结合律便可速算 原式254125 8192（） （） （） 1 0 01 0 0 03 83 8 0 0 0 0 0 2下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 2625 【解析】26不能被4整除，但26可以拆成642，这样2625，可转化为6425再加上225， 这样就可速算了 原式64225（） 实战演练 6425225 60050 650 3. 计算：5 6425 1252009 【解析】把 64 拆成24 8 ，然后配方 原式524 825 1252009 （） 52254125

19、82009 10 100 10002009 2009000000 （） （） （） 4.请快速计算下面各题 (1)200425 125792 【解析】(1)2004 25(20004)252000 254 2550100 (2)125 792125 (8008)125 800 125 81000 100 10001000 (100 1)99000 5.计算：8 13 125 = 【解析】根据乘法凑整原则8 13 1258 125 131000 1313000 6.计算：125 16 111 9_ 【解析】根据乘法凑整原则整理为 125 16111 9 =125 82999 200010001

20、200010001 1001 7.算式12345678987654321 63 值的各位数字之和为多少。 【解析】12345678987654321 63111111111 111111111 79 777777777 999999999777777777 (1000000000 1) 777777777000000000777777777777777776222222223， 所以它的各位数字之和为7 862 8381 。 8.我们快来做做吧？ (1)1239 (2)23499 (3)2569999 【解析】利用公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9，在该数后添0，再 减此数；

21、一个数 99，在该数后添00，再减此数；一个数 999，在该数后添000，再减此数 (1)123 912301231107 (2)23499234 10023423166 (3)256999925600002562559744 9.计算： 1999999 999 【解析】方法一：19999999991000999999999 1 0 0 09 9 91 0 0 01 0 0 0(9991)1000000 方法二：19999999991999999(10001)1999999000999 (1999999)9990001000000 10.两个十位数 1 111 111 111 与 9 999

22、999 999 的乘积中有几个数字是奇数？ 【解析】方法一：1 111 111 111 9999999999 1 111 111 11110000000000 1 11 111 111 110000000000 1 111 111 111 11 111 111 108888888889 （） 有 10 个数为奇数 方法二：1 99 奇数的个数为 1 11 991089 奇数的个数为 2 111 999110889 奇数的个数为 3 1111 999911108889 奇数的个数为 4 1 111 111 111 999999999911 111 111 108888888889 显然其奇数的个

23、数为 10 11.你会应用计算性质吗？ (1)123 155； (2)125 1625 (3)5600257（） (4)450546 【解析】(1)利用“添括号”的性质，123 155123155123 3369（） (2)利用“带着符号搬家”可以简便运算，125 162512525 165 1680 (3) 利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算， 560025 7560025756007258002532（）（） (4) 利用“添括号”的性质，450546450546450950（） 12.计算：5 7 1111 151521（）（）（） 【解析】原式57 11 11 15 152

24、1 511 1115 15217 5 3 15 （） （） （） 课后反击课后反击 1.计算：125 32 25 【解析】 由数字“125，25”及符号“连乘”的特征，可以想到“8，4”，结合上章所学，因为他们 的乘积是整千、整百数。而 324 8，所以，可以将一个乘数“32”拆成需要的几个因数。 即：125 32 25125 8 4 25 （125 8） （25 4） 1000 100 100000 2.计算： 1200 25 4 【解析】观察题目发现有两个显著的特征：一是连除；二是 25 和 4 的积是 100 所以我们有两 种方法： 解法一：可以用 25 去除以被除数 1200，也可以先

25、用 4 除以被除数 1200， 即 1200 25 4 48 4 12 或 1200 4 25300 2512 解法二：一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个数的积 原式1200 (25 4） 1200 100 12 3.计算： 12 5+13 5 32 320 3 【解析】观察题目的数字特征，根据四则运算法则直接计算较困难，但各题中，除数数字都相 同，因而： 12 513 5（1213） 55 32 320 3（3220） 34 技巧：两个商的和（或差），在除数相同的情况下，可以先算两个被除数的和（或差），再除 以除数。 用字母表示：a c+b c(a+b) c a c-b c(a-b)

26、 c 4.计算： 120 80 60 【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先算 60，再算 40， 就像是“带着符号搬家”因而： 120 80 60120 60 802 80160 技巧：四则元算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”（符号在前，数字在后）。 5.计算： 25 10 4 【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先算 25 10 的商是 2.5， 在现在所学的知识还远远不能解决，再算 4，特别麻烦。我们可以“带着符号搬家” 因而： 25 10 425 4 10100 1010 技巧：四则运算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”（符

27、号在前， 数字在后）。 6.1000001 999999 【解析】原式1000000 1999999999999000000999999999999999999（） 另，可由叠数的性质 直接得出答案为999999999999 7.计算：1 355779（）（）（） 【解析】原式13 55 77913 91933 （） 8.计算：9039030 43043 原式903 10010(43 1001)90343 10010 1001210 9.计算： 11 10 93 2 122242527 （）（） 【解析】这道题中被除数以11个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现， 仔细观察，可以发现被

28、除数中有8个因数通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四 个因数的倍数，即11 222，10 5252，96272，8 324， 所以，这道题的计算就十分简单了 原式11 2221052596278 32474 （） （） （） （） 1 22 1 74 112 10.计算： 4 5 6 9 11 173666 85 （）（） 【解析】原式496 115 173666 85（） （） （）（） 36 66 8536 66 85 1 （） 1（学而思杯）计算：12345678987654321 9 【解析】原式 2 1111111119 999999999 111111111 111111111000000000111111111 111111110888888889 乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。 乘法交换律：abba 乘法结合律：cbacba 乘法分配律：cbcacba 商不变的性质： cbcaba； cbcaba 0, 0cb 除法的运算性质：cbacba 积不变的性质：cbcaba)( 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 直击赛场 名师点拨 学霸经验