辽宁省沈阳市2020届高考三模理科数学试题（含答案）

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1、数学（理科类）模拟测试第 1 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（年沈阳市高中三年级教学质量监测（三三）数数学学（理理科科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答

2、无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 |(1)(2)0, |0MxxxNx x ，则 ANM BMN CMN DMN R 2复数 1 2zi，若复数 1 z， 2 z在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 1 2 z z A5 B5 C3 4i D3 4i 3已知抛物线 2 2xpy上一点 ( ,1)A m到其焦点的距离为3，则p A2 B2 C4 D4 4 九章算术中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用

3、算法流程图表示如下，若输入15a ， 12b ，0i ，则输出的结果为 A4a，4i B4a，5i C3a ，4i D3a ，5i 1ii ?ab 开始 , ,a b i输入 ?abaa b bba , a i输出结束否是是否数学（理科类）模拟测试第 2 页(共 13 页) 5被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比 51 2 m 的近似值，黄金分割比还可以表示为2sin18，则 2 2 4 2cos 271 mm A4 B2 C51 D51 6已知某不规则几何体三视图如图，其

4、中俯视图中的圆弧为 1 4 圆周，则该几何体的侧面积为 A 3 4 4 B 7 22 C 75 24 D 75 28 7设函数 2 ( )cossinf xxbx，则“0b”是“ ( )f x的最小正周期为”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 82020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A “4个医疗小组去的国家各不相同” ，事件B “小组甲独自去一个国家” ，则P A B

5、 A 2 9 B 1 3 C 4 9 D 5 9 9已知O为ABC的外接圆的圆心，且345OAOBOC，则C的值为 A 4 B 2 C 6 D 12 10 我们打印用的4A纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张4A纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为 A 6 B 4 C 3 D 3 AB CD E 数学（理科类）模拟测试第 3 页(共 13 页) 11已知x与y之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 y 1 m

6、 n 4 上表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为 11 yb xa， 22 yb xa， 33 yb xa，对应的相关系数分别为 1 r， 2 r， 3 r，下列结论中错误的是 A三条回归直线有共同交点 B相关系数中， 2 r最大 C 12 bb D 12 aa 参考公式：线性回归方程ybxa 中，其中 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，ay bx 相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xx yy r xxyy 12已知函数 3 ( )4

7、f xxx，过点( 2,0)A 的直线l与( )f x的图象有三个不同的交点，则直线l斜率的取值范围为 A( 1,8) B( 1,8)(8,) C( 2,8)(8,) D( 1,) 第卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知m是常数， 5432 520 5 431 1 a xa xa xa xa xamx，且 12345 33aaaaa，则m 14已知 1 ( )f xx x ，若 2 5 (log) 2 fb

8、，则 1 (log) 2 b f 数学（理科类）模拟测试第 4 页(共 13 页) 15 在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，直线2yb 与双曲线交于,B C两点，且90BFC，则该双曲线的离心率为 16在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，设ABC的面积为S，若 222 4 sinsins3n+2 iABC，则 S AB AC 的最大值为三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必

9、考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Snpn，且 4712 ,a a a成等比数列（1）求数列 n a的通项公式；（2）若 1 4 n n nn S b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （本小题满分 12 分）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给 5 千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取 100 名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：送餐距离(千米)

10、 (0,1 (1,2 (2,3 (3,4 (4,5 频数 15 25 25 20 15 以这 100 名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率（1）若某送餐员一天送餐的总距离为 100 千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定 2 千米内为短距离，每份 3 元， 2 千米到 4 千米为中距离，每份 7 元，超过 4 千米为远距离，每份 12 元记X 为送餐员送一份外卖收入（单位：元），求X的分布列和数学期望数学（理科类）模拟测试第 5 页

11、(共 13 页) 19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，60DAB， ADPD，点F为棱PD的中点（1）在棱BC上是否存在一点E，使得CF平面PAE，并说明理由；（2）若ACPB，二面角DFCB的余弦值为 6 6 时，求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值 20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，四点 1(2, 3)P， 2(0, 2) P， 3 6 ( 2,) 3 P， 4 6 (2,) 3 P中恰有三个点在椭圆C上，左、右焦点分别为 1 F、 2 F （1）求椭圆C的方程；（2

12、）过左焦点 1 F且不平行坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，若PQ的中点为N， O为原点，直线ON交直线3x于点M，求 1 | | PQ MF 的最大值 21 （本小题满分 12 分）已知函数( ) bx e f x ax 在2x处取到极值为 2 e （1）求函数( )f x的单调区间；（2）若不等式 2 ( )ln1x f xkxx在(0,)x上恒成立，求实数k的取值范围 A B C D P F 数学（理科类）模拟测试第 6 页(共 13 页) （二）选考题：共10 分，请考生在22、 23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程

13、】（本小题满分 10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为sin2 （1）M为曲线 1 C上的动点，点P在线段OM上，且满足4PO OM，求点P的轨迹 2 C的直角坐标方程；（2）曲线 2 C上两点 1 (,) 3 A 与点 2 (, )B ，求OAB面积的最大值 23 【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知, ,a b c均为正数，设函数( )f xxbxca，xR （1）若222abc，求不等式( )3f x 的解集；（2）若函数 ( )f x的最大值为1，证明： 149 36 abc 数

14、学（理科类）模拟测试第 7 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）监测（三）数学数学（理科）理科）【答案与评分标准】第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C D B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 C A A C D B 第卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生

15、根据要求作答二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 133 14 5 2 15 3 5 5 16 7 2 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分）（1）当1n 时， 11 1aSp ，当2n时， 1 21 nnn aSSnp ， 2 分当1n 时， 1 1ap 也满足上式，故21 n anp ， 3 分 4712 ,a a a成等比数列， 2 4127 a aa， 4 分 2 (7)(23

16、)(13)ppp，2p 21 n an； 6 分由（1）可得 22 2 1 44848311 1() (21)(23)4832 2123 n n nn Snnnn b a annnnnn ， 9 分数学（理科类）模拟测试第 8 页(共 13 页) 2 3 1111111322 () 2 3557212324623 n nn Tnn nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分）（1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为： 0.5 0.15 1.5 0.25 2.5 0.25 3.5 0.2 4.5 0.152.45千米 3 分所以送餐距离为 100 千米时，送餐份数为： 100 41

17、 2.45 份； 5 分（2）由题意知X的可能取值为：3，7，12 6 分 40 3 100 2 5 P X ， 7 分 7 10 9 0 45 02 P X ， 8 分 15 12 1002 3 0 P X 9 分所以X的分布列为： X 3 7 12 P 2 5 9 20 3 20 10 分 ()37126.15 2 293 0205 E X 12 分 19 （本小题满分 12 分）（1）在棱BC上存在点E，使得CF平面PAE，点E为棱BC的中点证明：取PA的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQAD且 1 2 FQAD， CEAD且 1 2 CEAD，故CEFQ且CEFQ 四边形

18、CEQF为平行四边形 2 分 CFEQ，又CF 平面PAE， CF平面PAE 4 分 A B C D P E Q F M x y z 数学（理科类）模拟测试第 9 页(共 13 页) （2）菱形ABCD中，ACBD，又ACPB，PBBDB AC 平面PBD，又PD 面PBD，ACPD， ADPD，ACADA，PD 平面ABCD 6 分取AB中点为M，则DMAB 以D为原点，DM，DC，DP为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，设FDa，则由题意知0,0,0D，0,0,Fa，0,2,0C， 3,1,0B， 3, 1,0A 0,2,FCa，3, 1,0CB ， 7 分设平面FBC的法向量

19、为, ,mx y z，则由 0 0 m FC m CB 得 20 30 yaz xy ，令1x ，则3y ， 2 3 z a ，所以取 2 3 1, 3,m a ， 9 分显然可取平面DFC的法向量1,0,0n ，由题意： 2 61 cos, 612 1 3 m n a ，所以6a 10 分 3, 1,6FA ，设直线AF与平面BCF所成的角为，则 2 35 sincos, 56 10 m FA 12 分 20 （本小题满分 12 分）解：（1）易知 3 6 ( 2,) 3 P， 4 6 (2,) 3 P关于y轴对称，一定都在椭圆上所以 1(2, 3) P一定不在椭圆上根据题意

20、 2(0, 2) P也在椭圆上 2 分将 2(0, 2) P， 4 6 (2,) 3 P带入椭圆方程，解得椭圆方程为 22 1 62 xy 4 分（2）设直线l方程为(2)yk x（0k ）， 11 ,P x y， 22 ,Q x y，数学（理科类）模拟测试第 10 页(共 13 页) 联立 22 1 62 (2) xy yk x ，可得 2222 31121260kxk xk 5 分则 2 24(1)0k ，且 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k x x k ， 6 分设PQ的中点 00 (,)N xy，则 2 12 2 6 231 0

21、 xxk x k ， 2 22 62 (2) 3131 0 kk yk kk ， N坐标为 2 22 62 , 31 31 kk kk ， 2 2 2 2 61 |1 31 k PQk k 2 2 2 6(1) 31 k k 8 分因此直线ON的方程为 1 3 yx k ，从而点M为 1 ( 3,) k ，又 1( 2,0) F ， 1 2 1 |1MF k 9 分 222 222 1 (|241) |(31) PQkk MFk ，令 2 31 1u= k ，则 2 22 (1)(2)1611116119 ( )8()() 33223416 uu h u uuuu ，因此当4u=，即1k

22、=时h(u)最大值为 3 所以 1 | | PQ MF 取得最大值3 12 分 21 （本小题满分 12 分）（1）由已知定义域为|0xR x， 2 () ( ) () bx abxa e fx ax ，由 2 2 (2) (2)0 (2 ) b aba e f a ，又0a ，得 1 2 b ， 2 (2) 222 b eee f aa ，所以1a ， 2 分数学（理科类）模拟测试第 11 页(共 13 页) 从而 2 2 (1) 2 ( ) x x e fx x 又0x。由( )0fx 得：2x；由( )0fx 得：0x或02x。故( )f x的单调递减区间是：(,0)和(0,

23、2)；单调递增区间是：(2,)。 4 分（2）等价于 2 ln1 x x ek x 在(0,)x上恒成立，令 2 ln1 ( )(0) x x g xex x ，则只需 min ( )kg x即可 5 分 0 2 2 2 1 ln 2 ( ) x x ex g x x ，令 0 2 2 1 ( )ln (0) 2 x h xx ex x，则 0 2 2 11 ( )()0 4 x h xxx e x 。所以( )h x在(0,)x上单调递增，又 4 1 ( )ln20 28 e h，(1)0 2 e h， 7 分所以有唯一的零点 0 1 ( ,1) 2 x ，( )h x在 0 1

24、 ( ,) 2 xx上单调递减，在 0 (,1)xx上单调递增 8 分因为 0 2 0 2 0 ln0 2 x x ex，两边同时取自然对数，则有 00 00 lnlnln( ln) 22 xx xx，即 00 00 lnlnln( ln) 22 xx xx 。 10 分构造函数( )ln (0)m xxx x，则 1 ( )10m x x ，所以函数 ( )m x 在 (0,)x 上单调递增，又 0 0 ()( ln) 2 x mmx，所以 0 0 ln 2 x x ，即 0 2 0 1 x e x 11 分数学（理科类）模拟测试第 12 页(共 13 页) 所以 0 0

25、0 2 0 000 1 ln111 2 ( )() 2 x x x g xg xe xxx ，即 min 1 ( ) 2 g x，于是实数k的取值范围是 1 (, 2 12 分（二）选考题：共10 分，请考生在22、 23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）解：（1）设P的极坐标为( , ) （0），M的极坐标为 0 (, ) （ 0 0） 1 分由题设知|PO， 0 2 | sin OM 由PO OM|cosPO OM|PO OM 4 ， 3 分得 2 4 sin ，所以 2 C的极坐标方

27、xx ，解得 1 1 2 x；当1x时，原不等式化为11 1xx ，解得1x 4 分不等式 3f x 的解集为 1 ,+ 2 5 分数学（理科类）模拟测试第 13 页(共 13 页) （2）因为 f xxbxca xcxbabca，又因为, ,0a b c ，所以 max2f xabc 6 分方法一： 149 ()abc abc 4949 14()()() bacacb abacbc 4949 14222 bacacb abacbc 36， 9 分当且仅当 4949 2 bacacb abacbc abc 且且，即 2323 2 bacacb abc 且且即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分方法二： 149 ()abc abc 222 123 abc 222 abc 2 123 abc abc 36， 9 分当且仅当 123 2 abc abc ，即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分