2020年广东省惠州市四校联考中考数学一模试卷（含详细解答）

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1、在，0，|5|，0.6，2，10 中负数的个数有（ ） A3 B4 C5 D6 2 （3 分）已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A2110 4 千克 B2.110 6 千克 C2.110 5 千克 D2.110 4 千克 3 （3 分）某校九年级（1）班全体学生 2016 年初中毕业体育考试的成绩统计如表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A该班一共有 40 名同学 B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C该班学生这次考试成绩的中位数是 4

2、5 分 D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 4 （3 分）下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（ ） A B C D 5 （3 分）已知点 A（m1，3）与点 B（2，n+1）关于 x 轴对称，则 m+n 的值为（ ） A1 B7 C1 D7 6 （3 分）不等式 4x2（3x）的正整数解有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D无数个 7 （3 分）如图，在ABCD 中，AB3，BC5，ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 DE 的 长为（ ） 第 2 页（共 26 页） A5 B4 C3 D2 8 （3 分）如图，ABCEBD，E50，D62，则ABC 的度

3、数是（ ） A68 B62 C60 D50 9 （3 分）如图，已知ABC 为直角三角形，C90，若沿图中虚线剪去C，则1+ 2（ ） A90 B135 C270 D315 10 （3 分）如图，在反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另 一支于点 B，在第二象限内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y 的图象上运动，若 tanCAB2，则 k 的值为（ ） A3 B6 C9 D12 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）二次函数 yx2+2x+2 图象的顶点坐

4、标是 12 （4 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等 于 13 （4 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 第 3 页（共 26 页） 14 （4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若BCD130，则BOD 15 （4 分）分解因式：a34a 16 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（0，） ，对OAB 连续作旋转变换，依次得到1，2，3，4，则2019的直角顶点的坐标 为 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 17 （6 分）计算：

5、2sin45+|（） 2+（ ）0 18 （6 分）先化简再求值（1+），其中，x3 19 （6 分）如图，在ABC 中，B40，C80，按要求完成下列各题： （1）作ABC 的角平分线 AE； （2）根据你所画的图形求AEC 的度数 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分） 20 （7 分）抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉” ， “旗袍故里”等家乡旅游品牌的 了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必 选且只选一项）A十分了解，B了解较多，C了解较少，D不知道将调查的结果

6、绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： 第 4 页（共 26 页） （1）本次调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）该校共有 500 名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？ （4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有 3 名男生和 1 名女生， 学校想从这 4 人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中 的两人恰好是一男一女的概率 21 （7 分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400 元，商店用 8000 元购进电冰箱的数量与用 6400 元购进空调的数量相等 （1）求

7、每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知电冰箱的销售价为每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750 元若商店准备购 进这两种家电共 100 台，其中购进电冰箱 x 台（33x40） ，那么该商店要获得最大利 润应如何进货？ 22 （7 分） 如图， 已知ABC 中， ABAC， 把ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到ADE， 连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：AECADB； （2）若 AB2，BAC45，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分） 2

8、3 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4， 0） ，C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 第 5 页（共 26 页） （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大 面积 24 （9 分）如图，点 C 是以 AB 为直径的O 上一点，CD 是O 切线，D 在 AB 的延长线 上，作 AECD 于 E （1）求证：AC 平分BAE； （2）

9、若 AC2CE6，求O 的半径； （3）请探索：线段 AD，BD，CD 之间有何数量关系？请证明你的结论 25 （9 分）如图，将含 30角的直角三角板 ABC（A30）绕其直角顶点 C 顺时针旋 转 角 （090） ， 得到 RtABC， AC 与 AB 交于点 D， 过点 D 作 DEA B交 CB于点 E，连接 BE易知，在旋转过程中，BDE 为直角三角形设 BC1， ADx，BDE 的面积为 S （1）当 30时，求 x 的值 （2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）以点 E 为圆心，BE 为半径作E，当 S时，判断E 与 AC 的位置关 第 6 页（共 2

10、6 页） 系，并求相应的 tan 值 第 7 页（共 26 页） 2020 年广东省惠州市四校联考中考数学一模试卷年广东省惠州市四校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有分）在每小题列出的四个选项中，只有 一个是正确的一个是正确的. 1 （3 分）在，0，|5|，0.6，2，10 中负数的个数有（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】负数就是小于 0 的数，依据定义即可求解 【解答】解：其中的负数有：，|5|，0.6，10 共 4 个故选 B 【

11、点评】判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断 2 （3 分）已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A2110 4 千克 B2.110 6 千克 C2.110 5 千克 D2.110 4 千克 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000212.110 5； 故选：C 【点评】 本题考查了用科学记数法表示较小的数， 一般形式为 a10 n， 其中 1|a|10， n 为由

12、原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3 （3 分）某校九年级（1）班全体学生 2016 年初中毕业体育考试的成绩统计如表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A该班一共有 40 名同学 B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 第 8 页（共 26 页） 【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解 【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+640， 得 45 分的人数最多

13、，众数为 45， 第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：45， 平均数为：44.425 故错误的为 D 故选：D 【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的 关键 4 （3 分）下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看 得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：A、从正面、左面、上面观察看到都是长方形，故 A 正确； B、从正面、左面观察看到都是长方形，从上面看是圆，故 B 错误； C、从正面、左面观察看到都是三角形，从上

14、面看是圆，故 C 错误； D、从正面、左面观察看到都是三角形，从上面看是正方形，故 D 错误； 故选：A 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得 到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图 5 （3 分）已知点 A（m1，3）与点 B（2，n+1）关于 x 轴对称，则 m+n 的值为（ ） A1 B7 C1 D7 【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特 点：关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 【解答】解：点 A（m1，3）与点 B（2，n+1）关于 x 轴对称， ， 第 9 页（共 26 页） ， m

15、+n3+（4）1 故选：A 【点评】本题考查了对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 6 （3 分）不等式 4x2（3x）的正整数解有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D无数个 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式解集， 即可得知其正整数解情况 【解答】解：去括号得：4x62x， 移项得：x+2x64， 合并同类项得：x2， 不等式的正整数解是：2、1， 故选：B 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基

16、本能力，根据不等式基本性质求出不等式 解集是关键 7 （3 分）如图，在ABCD 中，AB3，BC5，ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 DE 的 长为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E，易证得ABE 是等腰三角形， 继而求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC5， AEBCBE， 第 10 页（共 26 页） BE 平分ABC， ABECBE， ABEAEB， AEAB3， DEADAE2 故选：D 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得ABE 是等腰三角形是解此题的

17、关键 8 （3 分）如图，ABCEBD，E50，D62，则ABC 的度数是（ ） A68 B62 C60 D50 【分析】根据三角形内角和定理求出EBD，根据全等三角形的性质解答 【解答】解：E50，D62， EBD180506268， ABCEBD， ABCEBD68， 故选：A 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键 9 （3 分）如图，已知ABC 为直角三角形，C90，若沿图中虚线剪去C，则1+ 2（ ） A90 B135 C270 D315 【分析】 先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是 90 度， 再根据四边形的内角和是 360 度，即可求得1

18、+2 的值 第 11 页（共 26 页） 【解答】解：C90， A+B90 A+B+1+2360， 1+236090270 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理知道剪去直角三角形的 这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键 10 （3 分）如图，在反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另 一支于点 B，在第二象限内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y 的图象上运动，若 tanCAB2，则 k 的值为（ ） A3 B6 C9 D12 【分析】连接 OC，过点 A 作 AEx 轴于点 E，过

19、点 C 作 CFy 轴于点 F，通过角的计 算找出AOECOF，结合“AEO90，CFO90”可得出AOECOF， 根据相似三角形的性质得出比例式，再由 tanCAB2，可得出 CFOF 的值，进而得到 k 的值 【解答】解：如图，连接 OC，过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴于点 F， 由直线 AB 与反比例函数 y的对称性可知 A、B 点关于 O 点对称， AOBO 又ACBC， COAB AOE+AOF90，AOF+COF90， AOECOF， 又AEO90，CFO90， 第 12 页（共 26 页） AOECOF， ， tanCAB2， CF2AE，OF2OE

20、又AEOE， CFOF|k|4， k6 点 C 在第二象限， k6， 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角 形的判定及性质，解题的关键是求出 CFOF6解决该题型题目时，巧妙的利用了相 似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）二次函数 yx2+2x+2 图象的顶点坐标是 （1，3） 【分析】此题既可以利用 yax2+bx+c 的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方 法求出其顶点的坐标 【解

21、答】解：yx2+2x+2 （x22x+1）+3 （x1）2+3， 故顶点的坐标是（1，3） 故填空答案： （1，3） 【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法 第 13 页（共 26 页） 12 （4 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于 24cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：它的侧面展开图的面积24624（cm2） 故答案为 24cm2 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆

22、锥的母线长 13 （4 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 x1 且 x1 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出 x 的取值范围 【解答】解：式子有意义， ， 解得：x1 且 x1 故答案为：x1 且 x1 【点评】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开 方数为非负数，分式有意义分母不为零 14 （4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若BCD130，则BOD 100 【分析】结合已知条件可以推出A50，根据圆周角定理即可推出BOD100 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，若BCD130， A50， BOD100 故答案为 100 【点评】

23、本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出A 的度数 15 （4 分）分解因式：a34a a（a+2） （a2） 第 14 页（共 26 页） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 16 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（0，） ，对OAB 连续作旋转变换，依次得到1，2，3，4，则2019的直角顶点的坐标为 （2019+673，0） 【分析】根据 A（1，0）

24、，B（0，） ，可得 AB2，根据题意可得，每三个三角形为 一个循环组依次循环，一个循环组旋转前进的长度为 3+，由 20193673，可得 2019的直角顶点是第 673 个循环组的最后一个三角形的直角顶点，进而可求出2019的直 角顶点的坐标 【解答】解：A（1，0） ，B（0，） ， AB2， 根据题意可知： 每三个三角形为一个循环组依次循环， 一个循环组旋转前进的长度为 1+2+3+， 20193673， 2019的直角顶点是第 673 个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 673（3+）2019+673， 2019的直角顶点的坐标为（2019+673，0） 故答案为： （2019+6

25、73，0） 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是求 出一个循环组旋转前进的长度 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 第 15 页（共 26 页） 17 （6 分）计算：2sin45+|（） 2+（ ）0 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指 数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式22+24+11 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （6

26、分）先化简再求值（1+），其中，x3 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：当 x3 时， 原式 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于 基础题型 19 （6 分）如图，在ABC 中，B40，C80，按要求完成下列各题： （1）作ABC 的角平分线 AE； （2）根据你所画的图形求AEC 的度数 【分析】 （1）利用基本作图（作一个角的平分线）作BAC 的平分线 AE； （2）先利用三角形内角和计算出BAC，然后利用角平分线的定义求解 【解答】解： （1）如图，AE 为ABC 的角平分线； 第 16 页（共 26 页） （2）B40，C80，

27、 BAC180408060， AE 平分BAC， BAEBAC30， AECBAE+B40+3070 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个 角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的 垂线） 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分） 20 （7 分）抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉” ， “旗袍故里”等家乡旅游品牌的 了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必 选且只选一项）A十分了解，B了解较多，C了

28、解较少，D不知道将调查的结果 绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）该校共有 500 名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？ （4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有 3 名男生和 1 名女生， 学校想从这 4 人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中 第 17 页（共 26 页） 的两人恰好是一男一女的概率 【分析】 （1）根据 B 组人数以及百分比计算即可解决问题； （2）求出 C 组人数，画出条形图即可解决问题； （3）用 500“十分了解”所占的

29、比例即可； （4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率 【解答】解： （1）1530%50（人） ， 答：本次调查了 50 名学生 （2）501015520（人） ， 条形图如图所示： （3）500100（人） ， 答：该校共有 500 名学生，估计“十分了解”的学生有 100 名 （4）树状图如下： 共有 12 种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有 6 种 所以，所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率 P 【点评】本题考查了折线统计图、树状图法求概率的知识，信息量较大，注意仔细认真 审题，培养自己的读图能力，善于寻找解题需要的信息，属于中考常考题型

30、 21 （7 分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400 第 18 页（共 26 页） 元，商店用 8000 元购进电冰箱的数量与用 6400 元购进空调的数量相等 （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知电冰箱的销售价为每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750 元若商店准备购 进这两种家电共 100 台，其中购进电冰箱 x 台（33x40） ，那么该商店要获得最大利 润应如何进货？ 【分析】 （1）设每台电冰箱的进价 m 元，每台空调的进价（m400）元，根据： “用 8000 元购进电冰箱的数量与用 6400 元购进空调的数量相等”

31、列分式方程求解可得； （2）设购进电冰箱 x 台，则购进空调（100x）台，根据：总利润冰箱每台利润冰 箱数量+空调每台利润空调数量，列出函数解析式，结合 x 的范围和一次函数的性质可 知最值情况 【解答】解： （1）设每台电冰箱的进价 m 元，每台空调的进价（m400）元 依题意得， 解得：m2000， 经检验，m2000 是原分式方程的解， m2000； 每台电冰箱的进价 2000 元，每台空调的进价 1600 元 （2）设购进电冰箱 x 台，则购进空调（100x）台， 根据题意得，总利润 W100x+150（100x）50x+15000， 500， W 随 x 的增大而减小， 33x40

32、， 当 x33 时，W 有最大值， 即此时应购进电冰箱 33 台，则购进空调 67 台 【点评】本题主要考查分式方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出 方程和函数解析式是解题的关键 22 （7 分） 如图， 已知ABC 中， ABAC， 把ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到ADE， 连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：AECADB； 第 19 页（共 26 页） （2）若 AB2，BAC45，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长 【分析】 （1）由旋转的性质得到三角形 ABC 与三角形 ADE 全等，以及 ABAC，利用全 等三角形对应边相等，对应角相等得到两对

33、边相等，一对角相等，利用 SAS 得到三角形 AEC 与三角形 ADB 全等即可； （2）根据BAC45，四边形 ADFC 是菱形，得到DBABAC45，再由 AB AD，得到三角形 ABD 为等腰直角三角形，求出 BD 的长，由 BDDF 求出 BF 的长即 可 【解答】解： （1）由旋转的性质得：ABCADE，且 ABAC， AEAD，ACAB，BACDAE， BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB， 在AEC 和ADB 中， ， AECADB（SAS） ； （2）四边形 ADFC 是菱形，且BAC45， DBABAC45， 由（1）得：ABAD， DBABDA45， ABD 为直角

34、边为 2 的等腰直角三角形， BD22AB2，即 BD2， ADDFFCACAB2， BFBDDF22 【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌 第 20 页（共 26 页） 握旋转的性质是解本题的关键 五、五、解答题（三） （本大题共解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分） 23 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4， 0） ，C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC

35、为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大 面积 【分析】 （1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点 P 在线段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P 点纵坐标，代入抛物线解 析式可求得 P 点坐标； （3）过 P 作 PEx 轴，交 x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，用 P 点坐标可表示出 PF 的 长，则可表示出PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得PBC 面积的最大值及 P 点 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线解析

36、式为 yax2+bx+c， 把 A、B、C 三点坐标代入可得，解得， 抛物线解析式为 yx23x4； （2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1， 第 21 页（共 26 页） POPC，此时 P 点即为满足条件的点， C（0，4） ， D（0，2） ， P 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得 x23x42， 解得 x（小于 0， 舍去） 或 x， 存在满足条件的 P 点，其坐标为（，2） ； （3）点 P 在抛物线上， 可设 P（t，t23t4） ， 过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， B（4，0） ，C（

37、0，4） ， 直线 BC 解析式为 yx4， F（t，t4） ， PF（t4）（t23t4）t2+4t， SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF （OE+BE） PFOB （t2+4t） 42（t2）2+8， 第 22 页（共 26 页） 当 t2 时，SPBC最大值为 8，此时 t23t46， 当 P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数 的性质、三角形的面积、方程思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2） 中确定出 P 点的位置是解题的关键，在（3）中用 P 点坐标表示出PBC 的面积

38、是解题 的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 24 （9 分）如图，点 C 是以 AB 为直径的O 上一点，CD 是O 切线，D 在 AB 的延长线 上，作 AECD 于 E （1）求证：AC 平分BAE； （2）若 AC2CE6，求O 的半径； （3）请探索：线段 AD，BD，CD 之间有何数量关系？请证明你的结论 【分析】 （1） 连接 OC， 由 CD 是O 切线， 得到 OCCD， 根据平行线的性质得到EAC ACO，有等腰三角形的性质得到CAOACO，于是得到结论； （2）连接 BC，由三角函数的定义得到 sinCAE，得到CAE30，于是得 到CABCAE30，由 AB

39、是O 的直径，得到ACB90，解直角三角形即可 得到结论； （3）根据余角的性质得到DCBACO 根据相似三角形的性质得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， CD 是O 切线， OCCD， AECD， OCAE， EACACO， OAOC， 第 23 页（共 26 页） CAOACO， EACACAO， 即 AC 平分BAE； （2）解：连接 BC， AECE，AC2CE6， sinCAE， CAE30， CABCAE30， AB 是O 的直径， ACB90， cosCAB， AB4， O 的半径是 2； （3）CD2BDAD， 证明：DCB+BCO90，ACO+BCO90， DCBAC

40、O， DCBACOCAD， DD， BCDCAD， ， 即 CD2BDAD 第 24 页（共 26 页） 【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和 性质，正确的作出辅助线是解题的关键 25 （9 分）如图，将含 30角的直角三角板 ABC（A30）绕其直角顶点 C 顺时针旋 转 角 （090） ， 得到 RtABC， AC 与 AB 交于点 D， 过点 D 作 DEA B交 CB于点 E，连接 BE易知，在旋转过程中，BDE 为直角三角形设 BC1， ADx，BDE 的面积为 S （1）当 30时，求 x 的值 （2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x

41、 的取值范围； （3）以点 E 为圆心，BE 为半径作E，当 S时，判断E 与 AC 的位置关 系，并求相应的 tan 值 【分析】 （1）根据等腰三角形的判定，A30，得出 x1； （2）由直角三角形的性质，AB2，AC，由旋转性质求得ADCBCE，根据 比例关系式，求出 S 与 x 的函数关系式； （3）当 S时，求得 x 的值，判断E 和 DE 的长度大小，确定E 与 AC 的 位置关系，再求 tan 值 【解答】解： （1）Aa30， 又ACB90， ABCBCD60 ADBDBC1 x1； （2）DBE90，ABC60， ACBE30 ACBC，AB2BC2 由旋转性质可知：ACAC，BCBC， 第 25 页（共 26 页） ACDBCE， ADCBEC， ， BEx BD2x， sx（2x）x2+x （0x2） （3）ssABC +， 4x28x+30， ， 当 x时，BD2，BE DE DEAB， EDCAA30 ECDEBE， 此时E 与 AC 相离 过 D 作 DFAC 于 F，则， （12 分） 当时， ， ， 此时E 与 AC 相交 第 26 页（共 26 页） 同理可求出 【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判 定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大