2020年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（一）含详细解答

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1、在2，5，0，2 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B5 C0 D2 2 （3 分）如图，已知直线 ab，把三角板的直角顶点放在直线 b 上，若140则2 的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 3 （3 分）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这 个几何体的小正方体的个数为（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （3）01 B （2）212 C3 D326 5 （3 分）在某次信息技术能力测试中， “人工智能社团”的八名同学的成绩统计如图所示， 由统计图可知这组数据的中位数是（ ） 第 2 页

2、（共 34 页） A6 分 B7 分 C8 分 D9 分 6 （3 分）某阶梯教室从第 2 排起，每一排都比前一排增加相同数目的座位已知第 5 排有 36 个座位， 第 15 排有 56 个座位 若设第一排有 m 个座位， 每一排比前一排多 n 个座位， 则可以列方程组为（ ） A B C D 7 （3 分）用配方法解一元二次方程 3x26x50 时，下列变形正确的是（ ） A （x1）2 B （x1）2 C （x1）28 D （x1）26 8 （3 分）化简（+）的结果为（ ） A B C D 9 （3 分）如图，已知点 D，E，F 分别在ABC 的三边上，将ABC 沿 DE，DF 翻折，顶

3、 点 B，C 均落在ABC 内的点 O 处，且 BD 与 CD 重合于线段 OD，若AEO+AFO 58，则A 的度数为（ ） 第 3 页（共 34 页） A58 B59 C60 D61 10 （3 分）如图，抛物线 yx2x2 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C， 点 D 在抛物线上，且 CDAB，AD 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 MN 平行于 x 轴， 与抛物线相交于 M，N 两点，则线段 MN 的长为（ ） A B C2 D2 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）一个

4、实数与的积为负整数，这个数可以是 （写出一个即可） 12 （3 分）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点 A 重合，点 B正好在 BC 的延长线上，BACBAC90，BABC30，AC AC2，则 BB的长为 13 （3 分） 如图， 学校数学楼 AB 的后面有一栋宿舍楼 CD， 当光线与地面的夹角是 25时， 教学楼在宿舍楼的墙上留下高 3m 的影子 CE，而当光线与地而夹角是 45时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 20m 的距离（B，F，C 在一条直线上） ，则教学楼 AB 的高度为 m （结果精确到 1m， 参考数据： sin250.4

5、2 cos250.91， tan25 0.47） 第 4 页（共 34 页） 14 （3 分）如图，已知点 A 在 y 轴上，反比例函数 y（x0）的图象经过AOBC 的顶 点 B 和 AC 的中点 D，ACB45，则点 C 的坐标为 15 （3 分）如图，在ABCD 中，AB6，BC9，BCD 的平分线交 AD 于点 E，交 BA 的 延长线于点 F，DGCF 于点 C，DG4，则AFE 的周长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）解不

6、等式组：； （2）解方程：+2 17 （6 分）如图，已知在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别是 A（0，2） ，B （3，2） ，C（24） （1）将ABC 向右平移 4 个单位长度后得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）画出A1B1C1关于 x 轴对称的A2B2C2； （3）连接 OA2，求 sinOA2C2的值 第 5 页（共 34 页） 18 （6 分）阅读下列内容，并解决问题 一道习题引发的思考 小明在学习勾股定理一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 习题再现： 古希腊的哲学家柏拉图曾指出， 如果 m 表示大于 1 的整数， a2m， bm21， c

7、m2+1， 那么 a，b，c 为勾股数你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 资料搜集： 定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数一般地，若三角形三边 长 a，b，c 都是正整数，且满足 a2+b2c2，那么 a，b，c 称为一组勾股数 关于勾股数的研究： 我国西周初数学家商高在公元前 1000 年发现了 “勾三， 股四， 弦五” ， 这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我 国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究习题中的表达式是柏拉图 给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式

8、的是九章算术 ，其勾股数公式为；a（m2n2） ，bmn，c（m2+n2） ，其中 m n，m，n 是互质的奇数 （注：a，b，c 的相同倍数组成的一组数也是勾股数） 问题解答： （1）根据柏拉图的研究，当 m6 时，请直接写出一组勾股数； （2）若 m 表示大于 1 的整数，试证明（m21，2m，m2+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数） ，说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出 所有的勾股数 第 6 页（共 34 页） 19 （10 分）2019 年 11 月 22 日，教育部发布关于中小学教师实施教育惩戒规则（征求意 见稿） 公开征求意见的通知，征求意见稿指出：教育

9、惩戒是教师履行教育教学职责的必 要手段和法定职权教育惩戒分为 A：一般惩戒，B：较重惩戒，C：严重惩戒，D：强 制措施，共四个层次为了解家长对教育惩戒的看法，某中学对学生家长进行了随机调 查，要求每位家长选择其中最关注的一个层次提出意见，学校对收集的信息进行统计， 绘制了下面两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）被调查的总人数是 人； （2）扇形统计图中 B 部分对应的圆心角的度数为 ； （3）补全条形统计图； （4）某班主任对学生进行了纪律教育，要求小明和小军分别从题中所述的四个层次中随 机选择一个层次说明惩戒内容请用列表法或画树状图法求两人选择不同教育惩戒层次

10、 的概率 20 （8 分）2020 年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注， 政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑据统计：某超市 2020 年 1 月 10 日猪肉价格 比去年同一天上涨了 40%，这天该超市每千克猪肉价格为 56 元 第 7 页（共 34 页） （1）求 2019 年 1 月 10 日该超市猪肉的价格为每千克多少元？ （2）现在某超市以每千克 46 元的价格购进猪肉，按 2020 年 1 月 10 日价格出售，平均 一天能销售 100 千克经调查表明：猪肉的售价每千克下降 1 元，平均每日销售量就增 加 20 千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有 1

11、120 元的销售利润，在尽可能让利于顾 客的前提下每千克猪肉应该定价为多少元？ 21 （9 分）如图，在ABC 中，C90，点 O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半 径的O 与 AB 相切于点 D，AEBO 交 BO 的延长线于点 E （1）求证：AOEBAE； （2）若 BC12，tanBAC，求O 的半径和 AE 的长 22 （12 分）综合与实践 操作发现： 如图 1 和图 2，已知点 P 为正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 上的一个动点（点 A，D，C 除 外） ，作射线 BP，作 AEBP 于点 E，CFBP 于点 F，DGBP 于点 G （1）如图 1，当点 P

12、 在 CD 上（点 C，D 除外）运动时，求证：AECF+DG； （2）如图 2，当点 P 在 AD 上（点 A，D 除外）运动时，请直接写出线段 AE，CF，DG 之间的数量关系； 拓广探索： （3）在（1）的条件下，找出与 DG 相等的线段，并说明理由； （4）如图 3，若点 P 为矩形 ABCD 的边 CD 上一点，作射线 BP，作 AEBP 于点 E， CFBP 于点 F，DGBP 于点 G若 CD2BE6，EG4，则 DG 第 8 页（共 34 页） 23 （14 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点， 直线 yx+3 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B，

13、直线 BC 与 x 轴交于点 C，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称 （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 上一点，BQAP，连接 PQ，设点 P 的横 坐标为 t，PBQ 的面积为 S（S0） ，求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，当 S 取最大值时，若点 M 是平面内的一点，在直线 AB 上是否 存在点 N，使得以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出符合条 件的点N坐标；若不存在，请说明理 由 第 9 页（共 34 页） 2020 年山西省百校大联考中考

14、数学模拟试卷（一）年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 （3 分）在2，5，0，2 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B5 C0 D2 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切 负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：根据有理数

15、比较大小的方法，可得 5202， 在2，5，0，2 这四个数中，最小的数是5 故选：B 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大 的其值反而小 2 （3 分）如图，已知直线 ab，把三角板的直角顶点放在直线 b 上，若140则2 的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 【分析】根据互余计算出3904050，再根据平行线的性质由 ab 得到2 1803130 【解答】解：1+390， 3904050， ab， 2+3180 218050130 第 10 页（共 34 页）

16、 故选：D 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 3 （3 分）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这 个几何体的小正方体的个数为（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而 确定个数 【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有 5 个小正方 体， 从俯视图可以验证这一点，从而确定组成这个几何体的小正方体的个数为 5 个 故选：A 【点评】此题主要考查了由三视图判定几何体的形状，此问题是中考中热点问题，同学 们应熟练掌握 4 （3 分

17、）下列计算正确的是（ ） A （3）01 B （2）212 C3 D326 【分析】根据零次幂的性质、二次根式的性质和乘方的意义进行计算即可 【解答】解：A、 （3）01，故原题计算错误； B、 （2）212，故原题计算正确； C、3，故原题计算错误； D、329，故原题计算错误； 故选：B 第 11 页（共 34 页） 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法和性质，以及零次幂，关键是掌握|a| 5 （3 分）在某次信息技术能力测试中， “人工智能社团”的八名同学的成绩统计如图所示， 由统计图可知这组数据的中位数是（ ） A6 分 B7 分 C8 分 D9 分 【分析】先把这组数据排列大小，再根

18、据中位数的概念解答即可 【解答】解：把这组数据由小到大排列，得 4，5，6，7，9，9，9，10， 最中间的两个数是 7，9， 所以这组数据的中位数是（7+9）28（分） 故选：C 【点评】本题考查的是中位数的概念，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序 排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组 数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 6 （3 分）某阶梯教室从第 2 排起，每一排都比前一排增加相同数目的座位已知第 5 排有 36 个座位， 第 15 排有 56 个座位 若设第一排有 m 个座位， 每一排比前一排多 n 个座位， 则可

19、以列方程组为（ ） A B 第 12 页（共 34 页） C D 【分析】设第一排有 m 个座位，每一排比前一排多 n 个座位，则第 5 排比第一排多 4n 个座位，第 15 排比第一排多 14n 个座位，根据题意列出方程组即可 【解答】解：设第一排有 m 个座位，每一排比前一排多 n 个座位，由题意得： ， 故选：C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找 出题目中的等量关系 7 （3 分）用配方法解一元二次方程 3x26x50 时，下列变形正确的是（ ） A （x1）2 B （x1）2 C （x1）28 D （x1）26 【分析】根据配方法解方程的步骤

20、求解可得 【解答】解：3x26x5， x22x， 则 x22x+1+1，即（x1）2， 故选：A 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键 8 （3 分）化简（+）的结果为（ ） A B C D 【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题 【解答】解： （+） 第 13 页（共 34 页） ， 故选：A 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的方法 9 （3 分）如图，已知点 D，E，F 分别在ABC 的三边上，将ABC 沿 DE，DF 翻

21、折，顶 点 B，C 均落在ABC 内的点 O 处，且 BD 与 CD 重合于线段 OD，若AEO+AFO 58，则A 的度数为（ ） A58 B59 C60 D61 【分析】连接 BO、CO，由折叠的性质得 BDCDOD，则BOC90，OBC+ OCB90，又由折叠的性质得 EODB，FOFC，得出EBOEOB，FOC FCO，由三角形外角性质得出 2EBO+2FCO58，得出EBO+FCO29，则 ABC+ACBEBO+FCO+OBC+OCB119，即可得出结果 【解答】解：连接 BO、CO，如图所示： 由折叠的性质得：BDCDOD， BOC90，OBC+OCB90， 又由折叠的性质得：EO

22、DB，FOFC， EBOEOB，FOCFCO， AEO2EBO，AFO2FCO，AEO+AFO58， 2EBO+2FCO58， EBO+FCO29， ABC+ACBEBO+FCO+OBC+OCB29+90119， A180（ABC+ACB）18011961， 故选：D 第 14 页（共 34 页） 【点评】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的的性质、直角三角形的判定、三角形外 角性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的 关键 10 （3 分）如图，抛物线 yx2x2 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C， 点 D 在抛物线上，且 CDAB，AD

23、 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 MN 平行于 x 轴， 与抛物线相交于 M，N 两点，则线段 MN 的长为（ ） A B C2 D2 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B，C，D 的坐标，由点 A，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征 可求出点 E 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 M，N 的横坐标，进 而可求出线段 MN 的长 【解答】解：当 y0 时，x2x20， 解得：x12，x24， 点 A 的坐标为（2，0） ， 当 x0 时，yx2x22， 点 C 的坐标为（0，2） ， 当 y2 时，x

24、2x22， 解得：x10，x22， 点 D 的坐标为（2，2） 第 15 页（共 34 页） 设直线 AD 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将 A（2，0） ，D（2，2）代入 ykx+b，得：， 解得：， 直线 AD 的解析式为 yx1 当 x0 时，y1， 点 E 的坐标为（0，1） 当 y1 时，x2x21， 解得：x11，x21+， MN1+（1）2 故选：D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法 求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特 征求出点 M，N 的横坐标是解题的关键 二二.填空题（本大题共填

25、空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）一个实数与的积为负整数，这个数可以是 （写出一个即可） 【分析】根据二次根式的乘法和性质可得答案 【解答】解：（）5， 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是掌握（a0，b0） 12 （3 分）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点 A 重合，点 B正好在 BC 的延长线上，BACBAC90，BABC30，AC AC2，则 BB的长为 6 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的判定和性质得出 ACCB，进而解答即可 第 16 页（共 34 页）

26、【解答】解：由图可知，BACBAC90，BABC30， 点 B正好在 BC 的延长线上， ACBCAB+CBA， ABAB， BABC30， ACB60， CAB603030， ACCB， BACBAC90，BABC30，ACAC2， BC4， BBBC+CB4+26， 故答案为：6 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据含 30的直角三角形的性质得出 BC4 解答 13 （3 分） 如图， 学校数学楼 AB 的后面有一栋宿舍楼 CD， 当光线与地面的夹角是 25时， 教学楼在宿舍楼的墙上留下高 3m 的影子 CE，而当光线与地而夹角是 45时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有

27、20m 的距离（B，F，C 在一条直线上） ，则教学楼 AB 的高度为 23 m （结果精确到 1m，参考数据：sin250.42cos250.91，tan25 0.47） 【分析】作 EHAB 于 H，根据正切的定义用 AH 表示出 EH，根据等腰直角三角形的性 质得到 ABBF，结合图形列出方程，解方程得到答案 【解答】解：作 EHAB 于 H， ABBC，DCBC，EHAB， 四边形 HBCE 为矩形， BHCE3，EHBC， 第 17 页（共 34 页） 在 RtAHE 中，tanAEH， EHAH， 在 RtABF 中，AFB45， BFABAH+3， 由题意得，AH（AH+3）20

28、， 解得，AH20， ABAH+BH23， 故答案为：23 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐 角三角函数的定义是解题的关键 14 （3 分）如图，已知点 A 在 y 轴上，反比例函数 y（x0）的图象经过AOBC 的顶 点 B 和 AC 的中点 D，ACB45，则点 C 的坐标为 （2，5） 【分析】延长 CB，交 x 轴于 E，根据题意求得 B（2，2） ，设 OAn，则 BCn，所以 A （0，n） ，C（2，n+2） ，进而求得 D（1，n+1） ，代入 y求得 n 的值，即可求得 C 的 坐标 【解答】解：延长 CB，交 x 轴于 E， AOB

29、C 中，ACB45， OABC，OABC，AOB45， 点 A 在 y 轴上， 第 18 页（共 34 页） CEx 轴， BOE45， BEOE， 设 B（m，m） ， 反比例函数 y（x0）的图象经过AOBC 的顶点 B， m24， m2（负数舍去） ， B（2，2） ， 设 OAn，则 BCn， A（0，n） ，C（2，n+2） ， 点 D 是 AC 的中点， D（1，n+1） ， 点 D 在反比例函数 y（x0）的图象上， 1（n+1）4， n3， C（2，5） ， 故答案为（2，5） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得 C 点的 坐标，进而表示出

30、D 的坐标是解题的关键 15 （3 分）如图，在ABCD 中，AB6，BC9，BCD 的平分线交 AD 于点 E，交 BA 的 延长线于点 F，DGCF 于点 C，DG4，则AFE 的周长为 8 第 19 页（共 34 页） 【分析】根据平行四边形的性质得出 ADBC，ABDC，ABCD6，ADBC9，求 出 AFBC9，求出 AE，根据勾股定理求出 EG，求出 EC，根据相似求出 EF 即可 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ABDC，ABCD6，ADBC9， DECECB， CF 平分BCD， ECDECB， DECECD， DEDC6， AEADDE963，ED93

31、6DC， 在 RtDGE 中，由勾股定理得：GE2， 同理 CG2， 即 EC2+24， ADBC， AEFBCF， ， 即， 解得：EF2， AFE 的周长为 EF+AF+AE2+3+38， 故答案为：8 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似三 角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）解不等式组：； （2）解方程：+2 【分析】 （1）分别

32、求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 第 20 页（共 34 页） 分式方程的解 【解答】解： （1）， 由得：x2， 由得：x6， 则不等式组的解集为 x6； （2）去分母得：2x24x+2x2x4x210x+4， 解得：x， 检验：当 x时， （2x1） （x2）0， 则原分式方程的解为 x 【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解 本题的关键 17 （6 分）如图，已知在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别是 A（0，2） ，B （3，2）

33、，C（24） （1）将ABC 向右平移 4 个单位长度后得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）画出A1B1C1关于 x 轴对称的A2B2C2； （3）连接 OA2，求 sinOA2C2的值 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用勾股定理逆定理得出OA2C2为等腰直角三角形，进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； 第 21 页（共 34 页） （3）连接 OC2， OA OC 22+4220，A2C 22+62

34、40， OA +OC A2C ， OA2C2为等腰直角三角形， OA2C245， sinOA2C2 【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键 18 （6 分）阅读下列内容，并解决问题 一道习题引发的思考 小明在学习勾股定理一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 习题再现： 古希腊的哲学家柏拉图曾指出， 如果 m 表示大于 1 的整数， a2m， bm21， cm2+1， 那么 a，b，c 为勾股数你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 资料搜集： 定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数一般地，若三角形三边 长 a，

35、b，c 都是正整数，且满足 a2+b2c2，那么 a，b，c 称为一组勾股数 关于勾股数的研究： 我国西周初数学家商高在公元前 1000 年发现了 “勾三， 股四， 弦五” ， 这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我 国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究习题中的表达式是柏拉图 给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式 的是九章算术 ，其勾股数公式为；a（m2n2） ，bmn，c（m2+n2） ，其中 m 第 22 页（共 34 页） n，m，n 是互质的奇数 （注：a，b，c 的相同倍数组成的一组数也是勾

36、股数） 问题解答： （1）根据柏拉图的研究，当 m6 时，请直接写出一组勾股数； （2）若 m 表示大于 1 的整数，试证明（m21，2m，m2+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数） ，说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出 所有的勾股数 【分析】 （1）根据勾股数解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据勾股数解答即可 【解答】解： （1）当 m6 时，勾股数为： （12，35，37） ； （2） （m21）2+（2m）2 m42m2+1+4m2 m4+2m2+1 （m2+1）2， 即（m21）2+（2m）2（m2+1）2， （m21，2m，m2+1）

37、是一组勾股数； （3）答案不唯一，例如（5，12，13） ， （7，24，25）等 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足 a2+b2c2 的三个 正整数，称为勾股数是解题的关键 19 （10 分）2019 年 11 月 22 日，教育部发布关于中小学教师实施教育惩戒规则（征求意 见稿） 公开征求意见的通知，征求意见稿指出：教育惩戒是教师履行教育教学职责的必 要手段和法定职权教育惩戒分为 A：一般惩戒，B：较重惩戒，C：严重惩戒，D：强 第 23 页（共 34 页） 制措施，共四个层次为了解家长对教育惩戒的看法，某中学对学生家长进行了随机调 查，要求每位家长选择其中最关注

38、的一个层次提出意见，学校对收集的信息进行统计， 绘制了下面两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）被调查的总人数是 40 人； （2）扇形统计图中 B 部分对应的圆心角的度数为 126 ； （3）补全条形统计图； （4）某班主任对学生进行了纪律教育，要求小明和小军分别从题中所述的四个层次中随 机选择一个层次说明惩戒内容请用列表法或画树状图法求两人选择不同教育惩戒层次 的概率 【分析】 （1）根据一般惩戒的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用 360乘以 B 部分所占的百分比即可； （3）用总人数减去其它惩戒层次的人数求出严重惩戒的人，从而补全统计图； （4）根

39、据题意画出树状图得出所有等情况数和两人选择不同教育惩戒层次的情况数，然 后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）被调查的总人数是 1230%40（人） ， 故答案为：40； （2）扇形统计图中 B 部分对应的圆心角的度数为：360126； 故答案为：126； （3）严重惩戒的人数有：401214410（人） ，补图如下： 第 24 页（共 34 页） （4）根据题意画图如下： 共有 16 种等情况数，其中两人选择不同教育惩戒层次的有 12 种， 则两人选择不同教育惩戒层次的概率是 【点评】此题考查的是树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 20 （8 分）2020

40、 年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注， 政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑据统计：某超市 2020 年 1 月 10 日猪肉价格 比去年同一天上涨了 40%，这天该超市每千克猪肉价格为 56 元 （1）求 2019 年 1 月 10 日该超市猪肉的价格为每千克多少元？ （2）现在某超市以每千克 46 元的价格购进猪肉，按 2020 年 1 月 10 日价格出售，平均 一天能销售 100 千克经调查表明：猪肉的售价每千克下降 1 元，平均每日销售量就增 加 20 千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有 1120 元的销售利润，在尽可能让利于顾 客的前提下每千克猪肉应

41、该定价为多少元？ 【分析】 （1）设 2019 年 1 月 10 日该超市猪肉的价格为每千克 x 元，根据“比去年同 一天上涨了 40%，这天该超市每千克猪肉价格为 56 元”列方程求解可得； （2）设每千克猪肉降价 y 元，根据“平均每天有 1120 元的销售利润”列出方程求解可 第 25 页（共 34 页） 得 【解答】解： （1）设 2019 年 1 月 10 日该超市猪肉的价格为每千克 x 元， 根据题意，得： （1+40%）x56， 解得 x40， 答：2019 年 1 月 10 日该超市猪肉的价格为每千克 40 元； （2）设每千克猪肉降价 y 元， 根据题意，得： （5646y）

42、 （100+20y）1120， 解得 y2 或 y3， 尽可能让利于顾客， y3， 56y53， 答：每千克猪肉应该定价为 53 元 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的 相等关系，并据此列出方程 21 （9 分）如图，在ABC 中，C90，点 O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半 径的O 与 AB 相切于点 D，AEBO 交 BO 的延长线于点 E （1）求证：AOEBAE； （2）若 BC12，tanBAC，求O 的半径和 AE 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据切线的性质得到 ABOD，推出 BO 为ABC 的角平分线， 得到AB

43、EOBC，根据余角的性质得到OBCOAE，求得ABEOAE，于是 得到结论； （2）根据余角的性质得到DOAABC，解直角三角形得到 OD6，由勾股定理得到 BO6，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， O 与 AB 相切于点 D， 第 26 页（共 34 页） ABOD， C90， BCOC， OCOD， BO 为ABC 的角平分线， ABEOBC， AEBO， E90， BAE+ABE90，AOE+OAE90， C90， BOC+OBC90， AOEBOC， OBCOAE， ABEOAE， BAE+ABE90，AOE+OAE90， AOEBAE； （2）解：

44、ABC+BAC90，DOA+BAC90， DOAABC， tanBAC，BC12， AC16， AB20， sinBAC， sinBAC， OD6， BC12，OCOD6， BO6， BC12，OCOD6，AC16， AO10， 第 27 页（共 34 页） AOEBOC，EC90， AOEBOC， ，即， AE4 【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，相似三角形的判定 和性质，正确的识别图形是解题的关键 22 （12 分）综合与实践 操作发现： 如图 1 和图 2，已知点 P 为正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 上的一个动点（点 A，D，C 除 外） ，作射线 BP，作 AEBP 于点 E，CFBP 于点 F，DGBP 于点 G （1）如图 1，当点 P 在 CD 上（点 C，D 除外）运动时，求证：AECF+DG； （2）如图 2，当点 P 在 AD 上（点 A，D 除外）运动时，请直接写出线段 AE，CF，DG 之间的数量关系； 拓广探索： （3）在（1）的条件下，找出与 DG 相等的线段，并说明理由； （4）如图 3，若点 P 为矩形 ABCD 的边 CD 上一点，作射线 BP，作 AEBP 于点 E， CFBP 于点 F，DGBP 于点 G若 CD2BE6，EG4，则 DG 34 【分析】 （1）如图 1，过