广东省佛山市顺德区2020年中考数学三模试卷（含答案解析）

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1、2020 年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1比2 大 5 的数是（ ） A7 B3 C3 D7 2截止到 4 月 10 日，各国累计报告新冠肺炎确诊病例超过 1620000 人，将 1620000 用科学 记数法表示为（ ） A162104 B1.62106 C16.2105 D0.162107 3如图是由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 4数据 2，3，4，5，4，3，2 的中位数是（ ） A2 B3 C4 D5 5下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称

2、图形的是（ ） A B C D 6下列运算结果正确的是（ ） A6x5x1 B C （2x）24x2 Dx6x2x4 7如图，AB 是半圆 O 的直径，AC，BC 是弦，ODAC 于点 D，若 OD1.5，则 BC 等于 （ ） A1.5 B2 C3 D4.5 8下列关于 x 的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ） Ax2+kx10 Bx2+kx+10 Cx2+xk0 Dx2+x+k0 9为了防治“新型冠状病毒” ，某小区购买了某品牌消毒液用作楼梯消毒使用这种消毒液 时必须先稀释，使稀释浓度不小于 0.3%且不大于 0.5%若一瓶消毒液净含量为 1L，那 么一瓶消毒液稀释到最小浓度

3、需用水多少 L？设一瓶消毒液稀释到最小浓度需用水 xL， 下列方程正确的是（ ） A100%0.3% B100%0.5% C100%0.3% D100%0.5% 10 “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：7+4； 除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简 ，可以先设 x，再两边平方得 x2（）2 4+422，又因为，故 x0，解得 x ，根据以上方法，化简+的结 果是（ ） A32 B3+2 C4 D3 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11从，0，3 这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 12菱形的对角线长分别为 6 和 8，则菱形的边

4、长是 ，面积是 13不等式 4x1 的解集是 14 已知 y 是 x 的函数， 用列表法给出部分 x 与 y 的值， 表中 “ “处的数可以是 （填 一个符合题意的答案） x 1 2 3 y 6 4 15如图，已知点 A、B、C、D 都在O 上，且BOD110，则BCD 为 16中国清代数学著作御制数理精蕴中有这样一道题： “马四匹、牛六头，共价四十八 两 （ “两” 是我国古代货币单位） ； 马三匹、 牛五头， 共价三十八两 则马每匹价 两 17如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为一边向外做正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连结 CE、BG 交于点 P，连结 AP 和 EG在不添加任

5、何辅助线和字母的前提下，写出四个不 同类型的结论 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18计算：2cos45|（） 1 19先化简，再求值，其中 x 是方程 x22x+30 的根 202020 年 3 月“停课不停学”期间，某校采用简单随机抽样的方式调查本校学生参加第 一天线上学习的时长，将收集到的数据制成不完整的频数分布表和扇形图，如下所示： 组别 学习时长（分钟） 频数（人） 第 1 组 x40 3 第 2 组 40x60 6 第 3 组 60x80 m 第 4 组 80x100 18 第 5 组 100x120 14 （1）求 m，n 的值； （2）学校有学生 2400 人，学校

6、决定安排老师给“ “线上学习时长”在 x60 分钟范围内 的学生打电话了解情况，请你根据样本估计学校学生“线上学习时长”在 x60 分钟范 围内的学生人数 21如图，AB4cm，ACB45 （1）尺规作图：作ABC 的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，若弦 AB 和其所对的劣弧所围成图形的面积为 S，求 S 的值 22如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成长方形的长为 16m，宽为 6m，抛物线的最 高点 C 离路面 AA1的距离为 8m （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为 7m，宽为 4m如果隧道内设双向行驶车道

7、，那么这辆 货车能否安全通过？ 23如图，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径作半圆 O，以点 D 为圆心、DA 为半径做圆弧 交半圆 O 于点 P连结 DP 并延长交 AB 于点 E （1）求证：DE 为半圆 O 的切线； （2）求的值 24如图 1，矩形 OABC 的顶点 O 是直角坐标系的原点，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（8，4） ，将矩形 OABC 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ADEF，D、E、F 分别与 B、C、O 对应，EF 的延长线恰好经过点 C，AF 与 BC 相交于点 Q （1）证明：ACQ 是等腰三角形； （2）求点 D 的坐标； （3）如

8、图 2，动点 M 从点 A 出发在折线 AFC 上运动（不与 A、C 重合） ，经过的路程为 x，过点 M 作 AO 的垂线交 AC 于点 N，记线段 MN 在运动过程中扫过的面积为 S；求 S 关于 x 的函数关系式 25探索应用 材料一：如图 1，在ABC 中，ABc，BCa，B，用 c 和 表示 BC 边上的高 为 ，用 ac 和 表示ABC 的面积为 材料二：如图 2，已知CP，求证：CFBFQFPF 材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早 出现在 1815 年，由 WG霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶 定理：如图 3，M 为弦

9、 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD，连结 AD 和 BC 交 PQ 分别于 点 E 和 F，则 MEMF 证明：设AC，BD， DMPCMQ，AMPBMQ， PMMQa，MEx，MFy 由1， 即1 化简得：MF2AEEDME2CFFB 则有： 又CFFBQFFP，AEEDPEEQ， ，即 即，从而 xy，MEMF 请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题： 如图 4，B、C 为线段 PQ 上的两点，且 BPCQ，A 为 PQ 外一动点，且满足BAP CAQ，判断PAQ 的形状，并证明你的结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1比2

10、大 5 的数是（ ） A7 B3 C3 D7 【分析】直接利用有理数的加法运算法则计算得出答案 【解答】解：比2 大 5 的数是：2+53 故选：C 【点评】此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键 2截止到 4 月 10 日，各国累计报告新冠肺炎确诊病例超过 1620000 人，将 1620000 用科学 记数法表示为（ ） A162104 B1.62106 C16.2105 D0.162107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【

11、解答】解：将 1620000 用科学记数法表示为：1.62106 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3如图是由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可 【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正 方形 故选：D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图 的定义 4数据 2，3，4，5，4，3

12、，2 的中位数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数 【解答】解：数据 2，3，4，5，4，3，2 按照从小到大排列是：2，2，3，3，4，4，5， 故这组数据的中位数是 3， 故选：B 【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出所求数据的中位 数 5下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，

13、故此选项不符合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键 6下列运算结果正确的是（ ） A6x5x1 B C （2x）24x2 Dx6x2x4 【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、 同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、6x5xx，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、 （2x）24x2，故此选项错误； D、x6x2x4，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、积的乘方运算、同底数 幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 7如图，AB 是半圆 O

14、 的直径，AC，BC 是弦，ODAC 于点 D，若 OD1.5，则 BC 等于 （ ） A1.5 B2 C3 D4.5 【分析】先根据垂径定理得到 ADCD，则 OD 为ABC 的中位线，然后根据三角形中 位线性质得到 BC 的长 【解答】解：ODAC， ADCD， 而 OAOB， OD 为ABC 的中位线， BC2OD21.53 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理和三角形中位线性质 8下列关于 x 的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ） Ax2+kx10 Bx2+kx+10 Cx2+

15、xk0 Dx2+x+k0 【分析】先求出的值，再比较出其与 0 的大小即可求解 【解答】解：A、k241（1）k2+40，一定有两个不相等的实数根，符合 题意； B、k2411k24，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合 题意； C、1241（k）1+4k，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不 符合题意； D、1241k14k，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合 题意 故选：A 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关 键 9为了防治“新型冠状病毒” ，某小区购买了某品牌消毒液用作楼梯消毒使用这种消毒液 时必须先稀

16、释，使稀释浓度不小于 0.3%且不大于 0.5%若一瓶消毒液净含量为 1L，那 么一瓶消毒液稀释到最小浓度需用水多少 L？设一瓶消毒液稀释到最小浓度需用水 xL， 下列方程正确的是（ ） A100%0.3% B100%0.5% C100%0.3% D100%0.5% 【分析】根据浓度100%，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 【解答】解：依题意，得：100%0.3% 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是 解题的关键 10 “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：7+4； 除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要

17、化简 ，可以先设 x，再两边平方得 x2（）2 4+422，又因为，故 x0，解得 x ，根据以上方法，化简+的结 果是（ ） A32 B3+2 C4 D3 【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案 【解答】解：+ + +（） 32+ 3 故选：D 【点评】此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11从，0，3 这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算得出答案 【解答】解：从，0，3 这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有， 这 2 种可能， 抽到的无理数的概率是

18、， 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之 比正确得出无理数的个数是解题关键 12菱形的对角线长分别为 6 和 8，则菱形的边长是 5 ，面积是 24 【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得 面积 【解答】解：菱形的两条对角线长分别为 6 和 8， 由勾股定理得，菱形的边长5， 菱形的面积对角线乘积的一半， 菱形的面积68224， 故答案为：5，24 【点评】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用 性质进行计算是解此题的关键 13不等式 4x1 的解集是 x3 【分析】不等式移项

19、，系数化为 1 即可求解 【解答】解：4x1， x14， x3， x3 故答案为：x3 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的 关键解不等式应根据不等式的基本性质 14 已知 y 是 x 的函数， 用列表法给出部分 x 与 y 的值， 表中 “ “处的数可以是 12 （填 一个符合题意的答案） x 1 2 3 y 6 4 【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中 x1 代入，即可求出“” 处的数 【解答】解：设解析式为 y， 将（2，6）代入解析式得 k12， 这个函数关系式为：y， 把 x1 代入得 y12， 表中“”处的数为 12， 故答案

20、为：12 【点评】本题考查了函数关系式，需仔细分析表中的数据，进而解决问题；关键是写出 解析式 15如图，已知点 A、B、C、D 都在O 上，且BOD110，则BCD 为 125 【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题 【解答】解：ABOD，BOD110， A55， BCD+A180， BCD18055125， 故答案为 125 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 16中国清代数学著作御制数理精蕴中有这样一道题： “马四匹、牛六头，共价四十八 两（ “两”是我国古代货币单位） ；马三匹、牛五头，共价三十

21、八两则马每匹价 6 两 【分析】设马每匹价 x 两，牛每头价 y 两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马 三匹、牛五头，共价三十八两” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 结论 【解答】解：设马每匹价 x 两，牛每头价 y 两， 依题意，得：， 解得： 故答案为：6 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键 17如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为一边向外做正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连结 CE、BG 交于点 P，连结 AP 和 EG在不添加任何辅助线和字母的前提下，写出四个不 同类型的结论 AECABG，

22、ECBG，ECBG，AP 平分EPG（答案不唯一） 【分析】如图，连接 BE，由“SAS”可证EACBAG，可得 ECBG，CEA GBA，可证点 P，点 A，点 E，点 B 四点共圆，可得EPBEAB90，APE ABE45，可得 ECBG，AP 平分EPG 【解答】解：AECABG，ECBG，ECBG，AP 平分EPG， （答案不唯一） 理由如下：如图，连接 BE， 正方形 ABDE 和正方形 ACFG， ABAE，ACAG，BAECAG90，ABE45 EACBAG， EACBAG（SAS） ， ECBG，CEAGBA， CEAGBA， 点 P，点 A，点 E，点 B 四点共圆， EPB

23、EAB90，APEABE45， ECBG，EPG90， APGAPE45， AP 平分EPG 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行 推理是本题的关键 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18计算：2cos45|（） 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化 简得出答案 【解答】解：原式22 2 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 19先化简，再求值，其中 x 是方程 x22x+30 的根 【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 x 的值，代入计算即可求出 值 【解答】解

24、：原式 ， 由方程 x22x+30，得到（x）20， 解得：x1x2， 则原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则及 方程的解法是解本题的关键 202020 年 3 月“停课不停学”期间，某校采用简单随机抽样的方式调查本校学生参加第 一天线上学习的时长，将收集到的数据制成不完整的频数分布表和扇形图，如下所示： 组别 学习时长（分钟） 频数（人） 第 1 组 x40 3 第 2 组 40x60 6 第 3 组 60x80 m 第 4 组 80x100 18 第 5 组 100x120 14 （1）求 m，n 的值； （2）学校有学生 2400 人，学校决定

25、安排老师给“ “线上学习时长”在 x60 分钟范围内 的学生打电话了解情况，请你根据样本估计学校学生“线上学习时长”在 x60 分钟范 围内的学生人数 【分析】 （1）根据第 2 组的人数是 6，对应的百分比是 12%，即可求得调查的总人数， 利用总人数减去其它组的人数求得 m 的值； （2）利用总人数乘以对应的比例即可求解 【解答】解： （1）抽取的总人数是 612%50（人） ， m503618149（人） n%100%36%， n36； （2）估计学校学生“线上学习时长”在 x60 分钟范围内的学生人数是 2400432 （人） 【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同

26、的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比频 率所求情况数与总情况数之比 21如图，AB4cm，ACB45 （1）尺规作图：作ABC 的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，若弦 AB 和其所对的劣弧所围成图形的面积为 S，求 S 的值 【分析】 （1）作线段 BC 的垂直平分线 MN，作线段 AB 的垂直平分线 EF，直线 MN 交 EF 于点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作O 即可 （2）连接 OA，OB，证明AOB90，利用弧长公式计算即可 【解答】解： （1）如图，O 即为所求 （2）连接 OA，OB AOB2A

27、CB90，AB4cm， AOOB2cm， SS扇形OABSAOB224 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的外心，扇形的面积等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 22如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成长方形的长为 16m，宽为 6m，抛物线的最 高点 C 离路面 AA1的距离为 8m （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为 7m，宽为 4m如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆 货车能否安全通过？ 【分析】 （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为 yax2+8， 再把 B（8，6）代入，求出 a 的值即可；

28、 （2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与 7m 作比较即可 【解答】解： （1）如图，以 AA1所在直线为 x 轴，以线段 AA1的中点为坐标原点建立平 面直角坐标系， 根据题意得 A（8，0） ，B（8，6） ，C（0，8） ， 设抛物线的解析式为 yax2+8，把 B（8，6）代入，得： 64a+86， 解得：a 抛物线的解析式为 yx2+8 （2）根据题意，把 x4 代入解析式 yx2+8， 得 y7.5m 7.5m7m， 货运卡车能通过 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用 待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键 23如图，在正方形 ABCD

29、中，以 BC 为直径作半圆 O，以点 D 为圆心、DA 为半径做圆弧 交半圆 O 于点 P连结 DP 并延长交 AB 于点 E （1）求证：DE 为半圆 O 的切线； （2）求的值 【分析】 （1）根据 SSS 证得ODPODC，从而证得OPDOCD90，即可证 得结论； （2）根据切线定理和切割线定理（ABEB）2EB（AB+EB） ，整理得到 AB3EB，即 可证得 AE2EB，从而求得2 【解答】 （1）证明：连接 OP，OD， BC 是O 的直径， OPOC， 以点 D 为圆心、DA 为半径做圆弧， PDCD， 在ODP 和ODC 中， ， ODPODC（SSS） ， OPDOCD90

30、， P 点在O 上， DE 为半圆 O 的切线； （2）解：以点 D 为圆心、DA 为半径做圆弧，四边形 ABCD 是正方形， EA 是D 的切线， EA2EPED， 同理，EB 是半圆 O 的切线， DE 为半圆 O 的切线， EBEP， ADPDAB， （ABEB）2EP（PD+EP） （ABEB）2EB（AB+EB） 整理得 AB3EB， AE2EB， 2 【点评】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切 割线定理，切线长定理，解题时注意切割线定理的运用 24如图 1，矩形 OABC 的顶点 O 是直角坐标系的原点，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B

31、 的坐标为（8，4） ，将矩形 OABC 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ADEF，D、E、F 分别与 B、C、O 对应，EF 的延长线恰好经过点 C，AF 与 BC 相交于点 Q （1）证明：ACQ 是等腰三角形； （2）求点 D 的坐标； （3）如图 2，动点 M 从点 A 出发在折线 AFC 上运动（不与 A、C 重合） ，经过的路程为 x，过点 M 作 AO 的垂线交 AC 于点 N，记线段 MN 在运动过程中扫过的面积为 S；求 S 关于 x 的函数关系式 【分析】 （1）想办法证明QCAQAC 即可解决问题 （2）设 CQAQx，利用勾股定理求出 x，如图 1 中，过点 D 作 DH

32、x 轴于 H利用 相似三角形的性质求出 AH，DH 即可解决问题 （3）分两种情形：当 0x8 时，如图 2 中，延长 MN 交 AO 于 H，作 QJAB 交 AC 于 J利用相似三角形的性质求出 AH，MN 即可解决问题当 8x12 时，如图 3 中，作 QJAB 交 AC 于 J，作 EKAB 交 BC 于 T，设 MN 交 BC 于 R利用相似三角形 的性质求出 MN，AR 即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 OABC，四边形 FADE 都是矩形， AOC90，AFEAFC90，BCOA， CFAAOC90，ACAC，AOAF， RtACORtACF（HL） ， CAOCAF，

33、 BCOA， BCACAO， BCAACF， QCQA， ACQ 是等腰三角形 （2）解：设 CQAQx， B（8，4） ， BC8，AB4， 在 RtAQB 中，AQ2BQ2+AB2， x2（8x）2+42， x5， BQ3， 如图 1 中，过点 D 作 DHx 轴于 H QADBAH90， QABDAH， BAHD90， ABQAHD， ， ， AH，DH， OHOA+AH8+， D（，） （3）当 0x8 时，如图 2 中，延长 MN 交 AO 于 H，作 QJAB 交 AC 于 J QJAB， ， ， QJ， MNQJ， AMNAQJ， ， MNx，AH， SMNAHxx2 当 8x1

34、2 时，如图 3 中，作 QJAB 交 AC 于 J，作 EKAB 交 BC 于 T，设 MN 交 BC 于 R FKAB，JQAB， FKJQ， AQJAFK， ， ， FK4，BT， CTBCBT8， MNFK， CMNCFK， ， ， MN12x，CR（12x） ， SSACFSAFK412（12x）（12x）x2+x 综上所述，S 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直 角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用分类讨论的思 想思考问题，属于中考压轴题 25探索应用 材料一：如图 1，在ABC 中，ABc，BCa，B，用 c

35、和 表示 BC 边上的高为 csin ，用 ac 和 表示ABC 的面积为 acsin 材料二：如图 2，已知CP，求证：CFBFQFPF 材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早 出现在 1815 年，由 WG霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶 定理：如图 3，M 为弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD，连结 AD 和 BC 交 PQ 分别于 点 E 和 F，则 MEMF 证明：设AC，BD， DMPCMQ，AMPBMQ， PMMQa，MEx，MFy 由1， 即1 化简得：MF2AEEDME2CFFB 则有： 又CFFBQFFP

36、，AEEDPEEQ， ，即 即，从而 xy，MEMF 请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题： 如图 4，B、C 为线段 PQ 上的两点，且 BPCQ，A 为 PQ 外一动点，且满足BAP CAQ，判断PAQ 的形状，并证明你的结论 【分析】材料一：作 ADBC 于 D，由三角函数定义得 ADABsinBcsin，由三角 形面积公式得ABC 的面积BCADacsin 即可； 材料二：证明CFQPFB，得出，即可得出结论； 材料三：证 SABPSACQ，SAPCSAQB，证ABPACQ，由 SABPSACQ，证出 APAQ，即可得出结论 【解答】材料一： 解：作 ADBC 于 D，如图 1 所示

37、： 则 sinB， ADABsinBcsin， ABC 的面积BCADacsin， 故答案为：csin，acsin； 材料二： 证明：CP，CFQPFB， CFQPFB， ， CFBFQFPF； 材料三： 解：PAQ 的形状为等腰三角形，理由如下： B、C 为线段 PQ 上的两点，且 BPCQ， CPBQ， ABP 与ACQ 等底等高，APC 与AQB 等底等高， SABPSACQ，SAPCSAQB， BAPCAQ， BAP+BACCAQ+BAC， 即PACQAB， sinQABPsinPAC， SAQBABAQsinQAB，SAPCACAPsinPAC， 1， ， ABPACQ， SABPSACQ， 1， APAQ， PAQ 的形状为等腰三角形 【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、三角函数定义、相似三角形的判定 与性质、等腰三角形的判定、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似 是解题的关键