贵州黔西南州2020年中考数学试题（含答案解析）

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1、2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷年贵州省黔西南州中考数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题一、选择题（本题 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 12 的倒数是（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 2某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 360 000 套，缓解中低收入 人群和新参加工作大学生的住房需求把 360 000 用科学记数法表示应是（ ） A0.36106 B3.6105 C3.6106 D36105 3如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） Aa3a2a5

2、Ba3aa3 Ca2a3a5 D(a2)4a6 5 某学校九年级 1 班九名同学参加定点投篮测试， 每人投篮六次， 投中的次数统计如下： 4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A4，5 B5，4 C4，4 D5，5 6 如图， 将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 当237 时， 1 的度数为 （ ） A37 B43 C53 D54 7如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO 的 长为 4 米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（ ） A 4 sin 米 B4sin 米 C 4 cos 米 D4cos

3、米 8 已知关于 x 的一元二次方程(m1)x22x10 有实数根， 则 m 的取值范围是 （ ） Am2 Bm2 Cm2 且 m1 Dm2 且 m1 9 如图， 在菱形ABOC中， AB2， A60 ， 菱形的一个顶点C在反比例函数y k x （k0） 的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） Ay 3 3 x By 3 x Cy 3 x Dy 3 x 10如图，抛物线 yax2bx4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边） ，对称轴为直线 x 5 2 ，连接 AC，AD，BC若 点 B 关于直线 AC 的对称点

4、恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca 1 6 DOCOD16 二、填空题（本题 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11把多项式 a34a 分解因式，结果是_ 12若 7axb2与a3by的和为单项式，则 yx_ 13不等式组 263 21 0 54 xx xx 的解集为_ 14如图，在 Rt ABC 中，C90 ，点 D 在线段 BC 上，且B30 ，ADC60 ， BC3 3，则 BD 的长度为_ 15如图，正比例函数的图象与一次函数 yx1 的图象相交于点 P，点 P 到 x 轴的距 离是 2，则这个正比例函数的解析式是_

5、16如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸片展平，再一次 折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，已知 BC2，则线段 EG 的长度为 _ 17如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2020 次输出的结 果为_ 18有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传染中平均每人传 染了_个人 19如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第个图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律 排列下去，第个图形中菱形的个数为_ 20如图

6、，在 ABC 中，CACB，ACB90 ，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为90 的扇形DEF， 点C恰在弧EF上， 则图中阴影部分的面积为_ 三、解答题（本题 6 小题，共 80 分） 21 （1）计算：(2)2|2 |2cos45 (2 020)0； （2）先化简，再求值：( 2 22 11 a aa ) 1 a a ，其中 a51 22规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 （0 180 ）后能与 自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的一个旋 转角 例如： 正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90 或 180 后

7、， 能与自身重合 （如图 1） ， 所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是_； A矩形 B正五边形 C菱形 D正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有：_（填序 号） ； （3） 下列三个命题： 中心对称图形是旋转对称图形； 等腰三角形是旋转对称图形； 圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个； A0 B1 C2 D3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45 ，90 ，135 ， 180 ，将图形补充完整 23新学期，某校开设了“防疫宣传” “

8、心理疏导”等课程为了解学生对新开设课程的 掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试测试结果分为四个 等级：A 级为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及格将测试结果绘制了如图两 幅不完整的统计图根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是_，并把条形统计图补充 完整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为_； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E，F，G，H，其中 E 为小明） ，班主任要从 中随机选择两名同学进行经验分享利用列表法或画树状

9、图法，求小明被选中的概率 24随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也 给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型 自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销 售总额将比去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不 超过 A 型车数量的两倍已知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计 划 B 型车销售价格为 2 400 元，应如何组织进货才

10、能使这批自行车销售获利最多？ 25古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的 圆 如图， 线段 AB 是O 的直径， 延长 AB 至点 C， 使 BCOB， 点 E 是线段 OB 的中点， DEAB 交O 于点 D，点 P 是O 上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对 小明发现的结论加以证明 26已知抛物线 yax2bx6（a0）交 x 轴于点 A（6，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴 于点 C （1）求抛物线的解析式

11、和顶点坐标； （2）如图（1） ，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴 的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2） ，点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂 直平分AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷答案解析年贵州省黔西南州中考数学试卷答案解析 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题一、选择题（本题 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 12 的倒数是（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 1

12、D，解析：本题考查了倒数的定义，乘积为 1 的两个数互为倒数，由于 2 1 2 1，因 此本题选 D 2某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 360 000 套，缓解中低收入人 群和新参加工作大学生的住房需求把 360 000 用科学记数法表示应是（ ） A0.36106 B3.6105 C3.6106 D36105 2 B， 解析： 本题考查了科学记数法， 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对 值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1

13、时， n 是负数360 0003.6105，因此本题选 B 3如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 3D，解析：本题考查了几何体的俯视图，从几何体的上方向下看到的图形是几何体的俯 视图，从该几何体上方向下看，一共看到四个相邻的正方形排成一行，因此本题选 D 4下列运算正确的是（ ） Aa3a2a5 Ba3aa3 Ca2a3a5 D(a2)4a6 4C，解析：本题考查了整式的加减运算及幂的运算性质，求解时根据选项中的运算选择 相应的法则进行计算a2a3a3 2a5，因此本题选 C 5 某学校九年级 1 班九名同学参加定点投篮测试， 每人投篮六次，

14、投中的次数统计如下： 4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A4，5 B5，4 C4，4 D5，5 5A，解析：本题考查了求一组数据的中位数，众数将一组数据按照从小到大（或从大 到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位 数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数出现 次数最多的数据叫做这组数据的众数将 4，3，5，5，2，5，3，4，1 按由小到大的顺序 排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，处在最中间的数是 4，所以中位数是 4，其中 5 出 现了 3 次，出现次数最多，所以众数是 5，因

15、此本题选 A 6 如图， 将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 当237 时， 1 的度数为 （ ） A37 B43 C53 D54 6C，解析：本题考察了平行线的性质，平角、直角的意义如答图，因为 ABCD，所 以2337 ，又因为FEG90 ，所以1180 90 390 37 53 ，因此 本题选 C 7如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO 的长 为 4 米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（ ） A 4 sin 米 B4sin 米 C 4 cos 米 D4cos 米 7B，解析：本题考查了锐角三角函数的应用如答图，过点 A作

16、 ACAB 于点 C在 RtOCA，sin A C A O ，所以 ACAO sin由题意得 AOAO4，所以 AC4sin， 因此本题选 B 8 已知关于 x 的一元二次方程(m1)x22x10 有实数根， 则 m 的取值范围是 （ ） Am2 Bm2 Cm2 且 m1 Dm2 且 m1 8D，解析：本题考查了根的判别式的性质：当 b24ac0 时，方程有实数根因为关 于 x 的一元二次方程 x22xm0 有实数根，所以 b24ac224(m1)10，解得 m 2又因为(m1)x22x10 是一元二次方程，所以 m10综合知，m 的取值范围 是 m2 且 m1，因此本题选 D 9 如图， 在

17、菱形 ABOC 中， AB2， A60 ， 菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y k x （k0） 的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） Ay 3 3 x By 3 x Cy 3 x Dy 3 x 9B，解析：本题考查了待定系数法，菱形的性质，点的坐标的意义因为在菱形 ABOC 中，A60 ，菱形边长为 2，所以 OC2，COB60 如答图，过点 C 作 CDOB 于点 D， 则 ODOC cosCOB2cos60 2 1 2 1， CDOC sinCOB2sin60 2 3 2 3因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（1，3） 因为顶点 C 在 反比例函数 y k x 的图象上，所

18、以3 1 k ，得 k3，所以反比例函数的解析式为 y 3 x ，因此本题选 B 10 如图， 抛物线 yax2bx4 交 y 轴于点 A， 交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B， 交 x 轴于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边） ，对称轴为直线 x 5 2 ，连接 AC，AD，BC若 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca 1 6 DOCOD16 10D，解析：本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形 的判定与性质及勾股定理因为抛物线 yax2bx4 交 y 轴于点

19、A，所以 A（0，4） 因 为对称轴为直线 x 5 2 ，ABx 轴，所以 B（5，4） ，选项 A 正确，不符合题意如答图， 过点 B 作 BEx 轴于点 E，则 BE4，AB5因为 ABx 轴，所以BACACO因 为点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，所以ACOACB，所以BAC ACB，所以 BCAB5在 RtBCE 中，由勾股定理得 EC3，所以 C（8，0） ，因为 对称轴为直线 x 5 2 ，所以 D（3，0） 在 RtADO 中，OA4，OD3，所以 AD5， 所以 ABAD，选项 B 正确，不符合题意设 yax2bx4a(x3)(x8)，将 A（0，4） 代

20、入得 4a(03)(08)， 解得 a 1 6 ， 选项 C 正确， 不符合题意 因为 OC8， OD3， 所以 OCOD24，选项 D 错误，符合题意，因此本题选 D 二、填空题（本题 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11把多项式 a34a 分解因式，结果是_ 11a(a2)(a2)，解析：本题考查了因式分解把一个多项式分解因式，一般先提公因 式，然后再考虑运用公式法，要注意分解因式一定要彻底a34aa(a24)a(a2)(a 2)，因此本题答案为 a(a2)(a2) 12若 7axb2与a3by的和为单项式，则 yx_ 128，解析：本题考查了整式的加减法法则，同类项的意义（所含

21、字母相同，并且相同 字母的指数也相同的项叫做同类项） 因为 7axb2与a3by的和为单项式，所以 7axb2与 a3by是同类项，所以 x3，y2，所以 yx238，因此本题答案为 8 13不等式组 263 21 0 54 xx xx 的解集为_ 13 6x13， 解析： 本题考查了一元一次不等式组的解法， 先求出每个不等式的解集， 再确定出各个解集的公共部分作为不等式组的解集解不等式 2x63x 得 x6；解不 等式 21 54 xx 0 得 x13，所以不等式组的解集为6x13，因此本题答案为6 x13 14如图，在 Rt ABC 中，C90 ，点 D 在线段 BC 上，且B30 ，AD

22、C60 ， BC3 3，则 BD 的长度为_ 142 3，解析：本题考查了解直角三角形，含 30 角的直角三角形的性质（在直角三角 形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半） 因为C90 ，ADC60 ，所以DAC 30 ， 所以 CD 1 2 AD 因为B30 ， ADC60 ， 所以BAD30 ， 所以 BDAD， 所以 BD2CD 因为 BC3 3， 所以 CD2CD3 3， 所以 CD3， 所以 DB2 3， 因此本题答案为2 3 15如图，正比例函数的图象与一次函数 yx1 的图象相交于点 P，点 P 到 x 轴的距 离是 2，则这个正比例函数的解析式是_ 15y2x，解析：本题考查

23、了一次函数的性质，正比例函数的性质，点的坐标意义 点 P 到 x 轴的距离为 2，点 P 的纵坐标为 2，点 P 在一次函数 yx1 上，2 x1，解得 x1，点 P 的坐标为（1，2） 设正比例函数解析式为 ykx，把 P（ 1，2）代入得 2k，解得 k2，正比例函数解析式为 y2x，因此本题答案为 y 2x 16如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸片展平，再一次折 叠， 使点D落到EF上点G处， 并使折痕经过点A， 已知BC2， 则线段EG的长度为_ 163，解析：本题考查了矩形、勾股定理、图形的变换等知识 考查了翻折变换的性 质以及矩形的性质如答图

24、，由第一次折叠得 EFAD，AEDE，AEF90 ，AD 2AE四边形 ABCD 是矩形，DDAB90 ，AEFD，EFCD， AENADM， AN AM AE AD 1 2 ， AN 1 2 AM， ANMN， 又由第二次折叠得AGM D90 ，NG 1 2 AM，ANNG，24由第二次折叠得12，1 4ABCD，EFCD，EFAB，34，12312 3DAB90 ， 12330 四边形 ABCD 是矩形， ADBC2 由 第二次折叠得 AGAD2由第一次折叠得 AE 1 2 AD 1 2 21在 RtAEG 中，由 勾股定理得 EG 22 AGAE 22 213，因此本题答案为3 17如图

25、，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2020 次输出的结果 为_ 171，解析：本题考查了求代数式的值以及规律探究当 x625 时， 1 5 x125；当 x 125 时， 1 5 x25；当 x25 时， 1 5 x5；当 x5 时， 1 5 x1；当 x1 时，x45；当 x 5 时，1 5 x1， ， 于是可知， 从第 3 次输入开始， 输出结果以 5， 1 为循环节循环出现 因 为(2 0202)21 010，所以输出的结果是 1，因此本题的答案为 1 18有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传染中平均每人传染 了_个人 18 10

26、， 解析： 本题考查了一元二次方程的实际应用 设每轮传染中平均每人传染了 x 人， 根据题意得 1xx(1x)121，即(1x)2121，解得 x110，x212（舍去） ，因此 本题答案为 10 19如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第个图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律 排列下去，第个图形中菱形的个数为_ 19 57， 解析： 本题考查了图形规律探究 第个图形中一共有 3 个菱形， 即 2113； 第个图形中一共有 7 个菱形，即 3227；第个图形中一共有 13 个菱形，即 43 313；，按此规律排列下去

27、，所以第个图形中菱形的个数为：87757，因此 本题答案为 57 20如图，在 ABC 中，CACB，ACB90 ，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为 圆心作圆心角为 90 的扇形 DEF， 点 C 恰在弧 EF 上， 则图中阴影部分的面积为_ 20 1 42 ，解析：本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转如答图，连接 CD，作 DM BC，DNAC，垂足分别为 M，NCACB，ACB90 ，点 D 为 AB 的中点，DC 1 2 AB1， 四边形 DMCN 是正方形， DM 2 2 ， 扇形 FDE 的面积为 2 90 1 360 4 CA CB， 点D为AB的中点， CD平分BC

28、A， 又DMBC， DNAC， DMDN GDH MDN90 ，GDMHDN在 DMG 和 DNH 中， DMGDNH GDMHDN DMDN ， ， ， DMGDNH（AAS） ，S四边形DGCHS四边形DMCN 1 2 ，阴影部分的面积为 1 42 ， 因此本题答案为 1 42 三、解答题（本题 6 小题，共 80 分） 21 （1）计算：(2)2|2 |2cos45 (2 020)0； 21本题考查了实数的综合运算能力，包括有理数的平方，无理数绝对值，特殊角的三角 函数值，零指数幂 解：原式422 2 2 1422152 2 21 （2）先化简，再求值：( 2 22 11 a aa )

29、1 a a ，其中 a51 本题考查了分式的化简求值，先进行括号内的运算，再进行除法运算，最后将 a 的值代入 求值 解：原式 2(1)2 (1)(1)(1)(1) aa aaaa 1 a a 2(1)2 (1)(1) aa aa 1a a 3 (1)(1) a aa 1a a 3 1a 当 a51 时，原式 3 51 1 3 5 3 5 5 22规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 （0 180 ）后能与 自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的一个旋 转角 例如： 正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90 或 180 后， 能与自身重合 （

30、如图 1） ， 所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是_； A矩形 B正五边形 C菱形 D正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有：_（填序 号） ； （3） 下列三个命题： 中心对称图形是旋转对称图形； 等腰三角形是旋转对称图形； 圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个； A0 B1 C2 D3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45 ，90 ，135 ， 180 ，将图形补充完整 22本题考查了新定义“旋转对称图形” （1）根据旋转对称图

31、形的定义进行判断； （2） 先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判 断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计 解： （1）B （2） （1） （3） （5） （3）C （4）如答图： 23新学期，某校开设了“防疫宣传” “心理疏导”等课程为了解学生对新开设课程的 掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试测试结果分为四个 等级：A 级为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及格将测试结果绘制了如图两 幅不完整的统计图根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆

32、心角 的度数是_，并把条形统计图补充 完整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为_； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E，F，G，H，其中 E 为小明） ，班主任要从 中随机选择两名同学进行经验分享利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率 23本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图 （1）根据条形统 计图 B 级的频数，扇形统计图中 B 级的百分比利用“频率 频数 总数 ”求出样本容量，即： 1230%40； （2）先求出 A 级所占的百分比，再利用“扇形圆心角的度数A 级所占的 百分比360 ”计算，即： 6 40 3

33、60 54 先计算出 C 级的频数，再补全条形图，C 级 人数为 40612814（人） ，据此补条形图； （3）先求出样本中优秀的百分比，再利 用“样本估计总体”的数学思想，用样本的优秀百分比总体的数目计算，即：50015% 75（人） ； （4）利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果，再从中找到小明被 选中的所有可能结果，最后利用概率公式求解 解： （1）40 （2）54 ，补全条形统计图如答图所示 （3）75 （4）画树状图得 共有 12 种等可能的结果，选中小明的有 6 种情况，选中小明的概率为 6 12 1 2 24随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自

34、行车出行，也 给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型 自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销 售总额将比去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不 超过 A 型车数量的两倍已知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计 划 B 型车销售价格为 2 400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 24本题考查了分式方程的应用以及一次函数求实际问题的最值 （1

35、）根据相等关系“今 年该型车的销售数量与去年相同”列分式方程求解； （2）先列出销售获利关于 A 型车（或 B 型车）的一次函数关系，再利用一次函数的性质求最大值 解： （1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为（x200）元，由题意得 80 000 x 80 000(1 10%) 200x ，解得：x2 000经检验，x2 000 是原方程的根答：去年 A 型车 每辆售价为 2 000 元； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60a)辆，获利 y 元，由题意得 y(18001500)a(24001800)(60a)y300a36000B 型车的进货数量 不超过

36、A 型车数量的两倍，60a2a，a20y300a36000k300 0，y 随 a 的增大而减小a20 时，y 有最大值，B 型车的数量为：6020 40 辆当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大 25古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的 圆 如图， 线段 AB 是O 的直径， 延长 AB 至点 C， 使 BCOB， 点 E 是线段 OB 的中点， DEAB 交O 于点 D，点 P 是O 上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个

37、确定的值回答这个确定的值是多少？并对 小明发现的结论加以证明 25本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 （1）连接 OD，DB，由已 知可得 DE 垂直平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即 ODB 是 等边三角形，于是BDO60 ，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB 30 ，从而可得ODC90 ，所以 ODCD，所以 CD 是O 的切线； （2）连接 OP， 由已知条件得 OPOBBC2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明OEP OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 解： （1）如答图，连接 OD，DB，点 E 是线段 O

38、B 的中点，DEAB 交O 于点 D，DE 垂直平分OB， DBDO DOOB， DBDOOB， ODB是等边三角形， BDO DBO60 BCOBBD，且DBE 为 BDC 的外角，BCDBDC 1 2 DBODBO60 ，CDB30 ODCBDOBDC60 30 90 ， ODCD，CD 是O 的切线； （2）这个确定的值是 1 2 证明：如答图，连接 OP，OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ，又COP POE，OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 26已知抛物线 yax2bx6（a0）交 x 轴于点 A（6，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴 于点 C （

39、1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1） ，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴 的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2） ，点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂 直平分AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 26解： （1）抛物线 yax2bx6 经过点 A（6，0） ，B（1，0） ， 06 03666 ab ab ， ， 解得 a1，b5，抛物线的解析式为 yx25x6 yx25x6(x 5 2 )2 49 4 ， 抛物线的解析式为 y

40、x25x6， 顶点坐标为 （ 5 2 ， 49 4 ） （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx25x6，C（0，6） ，OC6A（6， 0） ，OA6，OAOC，OAC45PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴， DPE90，PDEDAO45，PED45，PDEPED，PDPE， PDPE2PE，当 PE 的长度最大时，PEPD 取最大值设直线 AC 的函数关系式 为 ykxd，把 A（6，0） ，C（0，6）代入得 06 6 kd d ， ， 解得 k1，d6，直线 AC 的解析式为 yx6设 E（t，t6） （0t6） ，则 P（t，t25t6） ，PEt2 5t6(t6)t26t(

41、t3)2910，当 t3 时，PE 最大，此时t2 5t612，P（3，12） （3）如答图，设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上，FMFN，NFCMFCly 轴，MFCOCA 45，MFNNFCMFC90，NFx 轴由（2）知直线 AC 的解析式 为 yx6，当 x 5 2 时，y 7 2 ，F（ 5 2 ， 7 2 ） ，点 N 的纵坐标为 7 2 点 N 在抛 物线上， x25x6 7 2 ， 解得， x1 535 2 或x2 535 2 ， 点N的坐标为 （ 535 2 ， 7 2 ）或（ 535 2 ， 7 2 ）