山西省运城市2020年5月高中联合体高考数学文科模拟试卷（一）含答案解析

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1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（一）（年高考数学模拟试卷（文科）（一）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 MxZ|x2x20，N0，1，则MN（ ） A0，1 B1，2 C1，0，2 D1，0，1，2 2已知 i 为虚数单位，a，bR，若 b+2i，则 a b（ ） A2 B1 C2 D3 3在新型冠状病毒疫情期间，商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况，统计数据如图所示据估计，平均销售收入比去年同期 下降 40%，则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为（ ） A6.6 万元 B3.96 万元 C

2、9.9 万元 D7.92 万元 4已知 a（ ） ，b（ ） ，clog ，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 5中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字 没有画出），如图，马从点 A 处走出一步，只能到达点 B，C，D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处，最少需要的步数是（ ） A5 B6 C7 D8 6 在ABC 中， 内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， 若 acosBbcosAc， 则 A （ ） A B C D 7cos sin （ ） A0 B C D 8抛物线 C：x22py（p0）的焦点为

3、F，准线为 l，点 P 在 l 上，线段 PF 与抛物线 C 交 于点 A，若 ，点 A 到 y 轴的距离为 1，则抛物线 C 的方程为（ ） Ax24 y Bx2 3 y Cx 22 y Dx2 y 9阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出 x 的值为（ ） A2 B1 C D9 10函数 f（x） 的图象大致是（ ） A B C D 11体积为 36 的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为 8 的圆柱，当圆柱的体 积最大时，其侧面积为（ ） A8 B8 C6 D9 12双曲线 C： l（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，过 F1作斜率为 k（k0）的直线

4、 l 与双曲线右支交于点 M，与 y 轴交于点 N，点 M 在 x 轴上 的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补，则 k（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13函数 f（x） 的图象在 x1 处的切线方程是 14如图所示，ABCD 是梯形，ADBC，AD2BC，设 ， ，用 ， 表示 15已知函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x4），f（ x）f（x+3），则 f（x） 16 正方体 ABCDA1B1C1D 中， E 是 BC 的中点， 平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行， 若正方体的棱长为 2，则平面

5、 截正方体所得的多边形的面积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17腾飞中学学生积极参加科技创新大赛，在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组织学生参 加下一届市级大赛，了解学生报名参加社会科学类比赛（以下称为 A 类比赛）和自然科 学类比赛（以下称为 B 类比赛）的意向，校团委随机调查了 60 名男生和 40 名女生调查 结果如下：60 名男生中，15 名不准备参加比赛，5 名准备参加 A 类比赛和 B 类比赛，剩 余的男生有 准备参加 A

6、类比赛， 准备参加 B 类比赛，40 名女生中，10 名不准备参加 比赛，25 名准备参加 A 类比赛，5 名准备参加 B 类比赛 （1）根据统计数据，完成如 22 列联表（A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计）： A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 女生 总计 （2）能否有 99%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1050，a10+a1120 （1）求数列an的通

7、项公式； （2）当 n2 时，证明： Snan 2 19如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，侧棱 AA1垂直于底面，AB2A1B1 2AA12 （1）证明：BB1C1D； （2）求点 D1到平面 B1C1D 的距离 20动点 P 到点 F（1，0）的距离与到直线 l：x4 的距离的比值为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A，B，设点 A，B 到直线 l 的距离分别 为 d1，d2，当|d1d2| 时，求直线 l1的方程 21已知函数 f（x）ex（x2） ax 2+ax（aR） （1）当 a1 时，求 f（x

8、）的极值； （2）若 f（x）恰有两个零点，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 （a 或 t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos sin） 1 （1）当 t 为参数， 时，判断曲线 C 与直线 l 的位置关系； （2） 当 为参数， t2时， 直线l与曲线C交于A， B两点， 设P （1， 0） ， 求 的值 选修 4-5：不等

9、式选讲（本小题满分 0 分） 23已知函数 f（x）|x|2x4| （1）求不等式 f（x）x2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 t，a，b，c 为正数，且 a+b+ct，求证：a2+b2+c2 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 MxZ|x2x20，N0，1，则MN（ ） A0，1 B1，2 C1，0，2 D1，0，1，2 【分析】可以求出集合 M，然后进行补集的运算即可 解：MxZ|1x21，0，1，2，N0，1， MN1，2 故选：B 2已知 i 为虚数单位，a，bR，若 b+

10、2i，则 a b（ ） A2 B1 C2 D3 【分析】把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 解： b+2i， 1+ai3（b+2i）3b+6i， 则 ，即 a6，b ab2 故选：C 3在新型冠状病毒疫情期间，商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况，统计数据如图所示据估计，平均销售收入比去年同期 下降 40%，则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为（ ） A6.6 万元 B3.96 万元 C9.9 万元 D7.92 万元 【分析】由频率分布直方图求出今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入，

11、再由平均销 售收入比去年同期下降 40%，能求出去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入 解：由频率分布直方图得： 今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为： 10.082+30.162+50.2+70.0623.96（万元）， 据估计，平均销售收入比去年同期下降 40%， 则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为： 6.6（万元） 故选：A 4已知 a（ ） ，b（ ） ，clog ，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ， ， ba0， ，c0， bac， 故选：A 5中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日

12、”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字 没有画出），如图，马从点 A 处走出一步，只能到达点 B，C，D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处，最少需要的步数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线，即可算出结果 解：由题意可知，按如图所示的走法，需要 5 步即可点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处， 故选：A 6 在ABC 中， 内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， 若 acosBbcosAc， 则 A （ ） A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 A 解：acosBbco

13、sAc， 由正弦定理可得，sinAcosBsinBcosAsinC， 所以 sinAcosBsinBcosAsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA， 所以 sinBcosA0， 因为 sinB0， 所以 cosA0，即 A ， 故选：B 7cos sin （ ） A0 B C D 【分析】利用诱导公式化简，进而根据两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即 可计算求解 解：cos sin cos（2 ）sin（ ） cos cos 2cos 2cos（ ） 2cos cos 2sin sin 2 2 故选：D 8抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 l

14、 上，线段 PF 与抛物线 C 交 于点 A，若 ，点 A 到 y 轴的距离为 1，则抛物线 C 的方程为（ ） Ax24 y Bx2 3 y Cx 22 y Dx2 y 【分析】根据抛物线的性质可知，点 F（0， ），P（x p， ），由于点 A 到 y 轴的距 离为 1，且 A 在抛物线上，所以点 A（1， ），因为 ，结合平面向量的线性 坐标运算即可列出关于 p 的方程，解之可得 p 的值，从而得抛物线的方程 解：由题可知，点 F（0， ），P（x p， ）， 点 A 到 y 轴的距离为 1，且 A 在抛物线上，点 A（1， ）， ， ，解得 或 （舍负） 抛物线的方程为 故选：C 9阅

15、读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出 x 的值为（ ） A2 B1 C D9 【分析】直接利用程序框图和循环结构求出结果由已知中的程序语句可知：该程序的 功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量 值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 x0，s0，t10 不满足条件 x20，x3，s1，t8 不满足条件 t2，不满足条件 x20，x81，s2，t6 不满足条件 t2，满足条件 x20，x2，s3，t4 不满足条件 t2，不满足条件 x20，x ，s4，t2 此时，满足条件 t2，退出循环，输出 x 的值为 故选：C 10函数 f（x） 的

16、图象大致是（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 解：函数的定义域为（，0）（0，+）， ， 函数 f（x）为偶函数，故排除 B 选项； 又 ，故排除 D 选项； ，故排除选项 A 故选：C 11体积为 36 的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为 8 的圆柱，当圆柱的体 积最大时，其侧面积为（ ） A8 B8 C6 D9 【分析】由球的体积可得球的半径当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与求相切， 由圆柱的底面积求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，进而求出圆柱的侧面积 解：由球的体积可设球的半径 R，由题意 R 336，可得 R3， 当圆柱的

17、体积最大时，则圆柱的上下底面与球相切， 因为底面积为 8，设底面半径为 r，则 r28，所以 r2 ， 所以圆柱的高为：h2 2 2， 所以圆柱的侧面积为 2r h2 8 ， 故选：A 12双曲线 C： l（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，过 F1作斜率为 k（k0）的直线 l 与双曲线右支交于点 M，与 y 轴交于点 N，点 M 在 x 轴上 的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补，则 k（ ） A B C D 【分析】由双曲线的性质可知，点 A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），所以直线 l 的方程为 yk（x+c），点 N（0，kc），点 M（c

18、，2kc），利用两点的坐标可分别表示 出直线 AM、AN 的斜率，再根据直线 AM、AN 的倾斜角互补，其斜率之和为 0，即 ，所以 ，然后利用双曲线的定义|MF1|MF2|2a，可得 ，化简得 ，解得 解：由题意可知，点 A（a，0），F1（c，0），F2（c，0）， 直线 l 的方程为 yk（x+c），点 N（0，kc）， 点 M 在 x 轴上的射影是 F2，点 M（c，2kc）， 直线 AM、AN 的斜率分别为 ， ， 直线 AM、AN 的倾斜角互补， ，化简得 由双曲线的定义可得，|MF1|MF2|2a， ，化简整理得 ，解得 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共

19、 20 分 13函数 f（x） 的图象在 x1 处的切线方程是 3x4y+10 【分析】先对函数求导数，然后求出切点处的导数值、函数值，最后利用点斜式写出切 线方程 解：由已知得 ， 所以 ， 故切线为 ， 即 3x4y+10 故答案为：3x4y+10 14如图所示，ABCD 是梯形，ADBC，AD2BC，设 ， ，用 ， 表示 【分析】由题意，放在ABC 和ACD 中，运用向量的三角形法则，即可用 和 来表示 出 解：由题，ADBC，AD2BC， ， ， 故答案为： 15已知函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x4），f（ x）f（x+3），则 f（x） sin（ x

20、 ） 【分析】由 f（x）f（x4）说明函数周期为 4，可求 ，由 f（x）f（x+3）说明函 数对称轴 x ，可求 ， 解：因为函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x4）， 所以周期 T4 ，则 又 f（x）f（x+3）， 所以函数 f（x）关于 x 对称，则 f（ ）sin（ ）1， 所以 k ，由于 0，则 ， 故答案为：sin（ x ） 16 正方体 ABCDA1B1C1D 中， E 是 BC 的中点， 平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行， 若正方体的棱长为 2，则平面 截正方体所得的多边形的面积为 【分析】根据线面平行的性质作出平面 与正方体的截面，

21、计算截面梯形的各边长即可 求出截面面积 解：过 B 作 BMC1E 交 B1C1于 M，过 M 作 BD 的平行线，交 C1D1于 N，连接 DN， 则平面 BDMN 即为符合条件的平面 ， 由作图可知 M，N 分别为 B1C1，C1D1的中点， 故 BD2 ，MN ，且 BMDN ， 等腰梯形 MNDB 的高为 h ， 梯形 MNDB 的面积为 （ ） 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17腾飞中学学生积极参加科技创新大赛，

22、在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组织学生参 加下一届市级大赛，了解学生报名参加社会科学类比赛（以下称为 A 类比赛）和自然科 学类比赛（以下称为 B 类比赛）的意向，校团委随机调查了 60 名男生和 40 名女生调查 结果如下：60 名男生中，15 名不准备参加比赛，5 名准备参加 A 类比赛和 B 类比赛，剩 余的男生有 准备参加 A 类比赛， 准备参加 B 类比赛，40 名女生中，10 名不准备参加 比赛，25 名准备参加 A 类比赛，5 名准备参加 B 类比赛 （1）根据统计数据，完成如 22 列联表（A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计）： A 类比赛 B 类比赛 总计 男生

23、 女生 总计 （2）能否有 99%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】（1）根据题目所给的数据填写 22 列联表即可； （2）计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论 解：（1）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 15 35 50 女生 25 5 30 总计 40 40 80 （2）K 的观测值：K2 21.333； 由于 21.3336.635， 有 99

24、%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关 18等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1050，a10+a1120 （1）求数列an的通项公式； （2）当 n2 时，证明： Snan 2 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d，由 S1050，a10+a1120可得：10a1+45d 50，2a1+19d20，联立解得：a1，d，可得 an （2）当 n2 时，利用求和公式可得 Sn n 2通过作差即可证明结论 解：（1）设等差数列an的公差为 d，S1050，a10+a1120 10a1+45d50，2a1+19d20， 联立解得：a1 ，d1， an n1 （2）证明：

25、当 n2 时，Sn n 2 Sn n 2 0， Sn Sn n 2 0，Sn 综上可得： Snan 2 19如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，侧棱 AA1垂直于底面，AB2A1B1 2AA12 （1）证明：BB1C1D； （2）求点 D1到平面 B1C1D 的距离 【分析】（1）由侧棱 AA1垂直于底面，得 AA1B1C1，再由底面 A1B1C1D1是正方形，得 B1C1A1B1，证明 B1C1平面 AA1B1B，得 B1C1BB1在平面 AA1B1B 中，过 B1作 B1O AB， 由已知求解三角形证明 BB1B1D 可得 BB1平面 B1C1D， 从而得到 BB1C1D

26、； （2） 设点D1到平面B1C1D的距离为h 利用 求解点D1到平面B1C1D 的距离 【解答】（1）证明：侧棱 AA1垂直于底面，AA1B1C1， 又底面 A1B1C1D1是正方形，B1C1A1B1， A1B1AA1A1，B1C1平面 AA1B1B，则 B1C1BB 1 在平面 AA1B1B 中，过 B1作 B1OAB， 由侧棱 AA1垂直于底面，得平面 AA1B1B底面 ABCD， 又平面 AA1B1B底面 ABCDAB，得 B1O底面 ABCD 再由 AB2A1B12AA12，解得 ，DO ，BD2 ，则 ，即 BB1 B1D 又 B1DB1C1B1，BB1平面 B1C1D， 得 BB

27、1C1D； （2）解：设点 D1到平面 B1C1D 的距离为 h 在 RtC1D1D 中， ， B1C11，由（1）得 cosB1C1 D ，则 sinB1C1D ，解得 h 即点 D1到平面 B1C1D 的距离为 20动点 P 到点 F（1，0）的距离与到直线 l：x4 的距离的比值为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A，B，设点 A，B 到直线 l 的距离分别 为 d1，d2，当|d1d2| 时，求直线 l1的方程 【分析】（1）设 P 的坐标，由题意可得等式，整理可得 P 的轨迹方程； （2）由题意设 l1的方程与椭圆联

28、立求出两根之和及两根之积，进而求出 A，B 到直线 x 4 的距离之差，由题意可得参数的值，进而求出直线 AB 的方程 解：（1）设 P 的坐标（x，y），由题意可得 ， 整理可得： 1； 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为： 1； （2）当直线 AB 的斜率为 0 时，则直线 AB 为 y0，可得 A（2，0），B（2，0）， 则由题意 d16，d22，则|d1d2|4 ， 所以直线 AB 的方程为：xmy+1，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线 AB 与椭圆的方程： 整理可得 （4+3m 2 ） y 2+6my90， y 1+y2 ， y1y2 ， 所以 A，B 到 x4

29、的距离之差|d1d2|（x14）（x24）|x1x2|m（y1y2）| |m| |m| 由题意可得 ，整理可得：31m4+m2320，解得 m21，即 m 1 所以直线 l1的方程为：x+y10 或 xy10 21已知函数 f（x）ex（x2） ax 2+ax（aR） （1）当 a1 时，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）恰有两个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值 即可； （2）显然 x2 是函数 f（x）的一个零点，若 f（x）恰有两个零点，则只需 yex ax 恰有 1 个零点，问题转化为只需 g（x）ex

30、和 h（x） ax 只有 1 个交点即可，通过讨 论 a 的范围，结合函数的图象判断即可 解：（1）a1 时，f（x）ex（x2） x 2+x， f（x）ex（x1）x+1（x1）（ex1）， 令 f（x）0，解得：x1 或 x0， 令 f（x）0，解得：0x1， 故 f（x）在（，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+）递增， 故 f（x）极大值f（0）2，f（x）极小值f（1）e； （2）f（x）ex（x2） ax 2+ax（x2）（ex ax）， 显然 x2 是函数 f（x）的一个零点，若 f（x）恰有两个零点， 则只需 yex ax 恰有 1 个零点， 即只需 g（x）ex和 h（x）

31、 ax 只有 1 个交点即可， a0 时，如图示： 结合图象，a0 时 g（x）ex和 h（x） ax 只有 1 个交点，符合题意； a0 时，g（x）ex和 y0 无交点，不合题意； a0 时，g（x）ex和 h（x） ax 相切时 1 个交点， 设切点是 P（m，em），则 ae m（i）， em am（ii），由（i）（ii）解得：P（1，e），a2e，符合题意， 综上，若 f（x）恰有两个零点，则 a（，0）2e 一、选择题 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 （a 或 t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为

32、（cos sin） 1 （1）当 t 为参数， 时，判断曲线 C 与直线 l 的位置关系； （2） 当 为参数， t2时， 直线l与曲线C交于A， B两点， 设P （1， 0） ， 求 的值 【分析】（1）先得到曲线 C 的普通方程，直线 l 的直角坐标方程，它们的斜率相等，所 以它们位置关系是平行 （2）先得到曲线 C 的普通方程，直线 l 的极坐标方程，联立得 t1+t2 ，t1t21， ，进而得出结论 解：（1）当 t 为参数，a ，曲线 C 的参数方程为 化简得 消掉参数得 y x ， 因为直线 l 的极坐标方程为：（cos sin）1， 化为直角坐标方程为：y x ， 曲线 C 与直

33、线 l 斜率相等，所以它们平行 （2）当 为参数，t2 时，曲线 C 的参数方程为： 化为普通方程得（x1）2+（y ）4， 由（1）知直线 l 的斜率为 ，直线 l 过点 P（1，0） 所以直线 l 的倾斜角为 150， 所以直线 l 的参数方程为： ，即 联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程得： t2 t10， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2 所以 t1+t2 ，t1t21， 所以 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23已知函数 f（x）|x|2x4| （1）求不等式 f（x）x2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 t，a，b，c 为正数，且 a

34、+b+ct，求证：a2+b2+c2 【分析】（1）由 f（x）|x|2x4|，f（x）x2，利用零点分段法解不等式即可； （2）先求出 f（x）的最大值，然后利用基本不等式得到 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca）， 进一步证明 a2+b2+c2 成立 解：（1）f（x）|x|2x4|，f（x）x2， 当 x2 时，x（2x4）x2，解得 x3； 当 0x2 时，x（2x+4）x2，解得 x1，0x1； 当 x0 时，x（2x+4）x2，不等式恒成立，x0 综上，不等式 f（x）x2 的解集为 x|x1 或 x3； （2）由（1）可知，当 x2 时，函数 f（x） 单调递减， 当 x2 时，函数 f（x） 单调递增， f（x） 的最大值为 tf（2）2，则 a+b+c2 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca）， 3（a2+b2+c2）a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）（a+b+c）2， ，当且仅当 时等号成立