山西省太原市2020年5月高三模拟考试数学理科试卷(八)含答案解析
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1、2020 年山西省太原市高考(理科)数学模拟试卷年山西省太原市高考(理科)数学模拟试卷 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Ax|x2+x20B1,0,1,2,则( ) AAB2 BABR CB(RA)1,2 DB(RA)x|1x2 2已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( ) A1 B1 C D 3已知 alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN(modm)表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N,例如 104(mod6)执行该程序框图,则输出的 n 等于
2、( ) A11 B13 C14 D17 5若 , 是两个非零向量,且 , , 则向量 与 夹角 的取值范围是( ) A , B , C , D , 6函数 的图象大致为( ) A B C D 7圆周率 是数学中一个非常重要的数,历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人,让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a,b,再统计出 a,b,1 能构造锐角三角形的人数 M,利用 所学的有关知识,则可估计出 的值是( ) A B C D 8设奇函数 f(x)在(0,+)上为增函数,且 f(1)0,则不等式 0 的 解集为( ) A(1
3、,0)(1,+) B(,1)(0,1) C(,1)(1,+) D(1,0)(0,1) 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,设点 M(3,0)若MAB 的面积为 ,则|AB|( ) A2 B4 C D8 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn, 且满足 an 数列bn满足 bn (1) n (2n+1) an,则数列bn的前 100 项和 T100为( ) A B C D 11对于函数 有下列说法: f(x)的值城为1,1; 当且仅当 时,函数 f(x)取得最大值; 函数 f(x)的最小正周期是 ; 当且仅当 , 时 f(x)0 其中正确结论的个数是( ) A1
4、 B2 C3 D4 12 三棱锥PABC中 ABBC, PAC为等边三角形, 二面角PACB的余弦值为 , 当 三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为( ) A1 B2 C D 二、填空题 13已知(x1)(ax+1)5的展开式中,x2的系数为 0,则实数 a 14已知双曲线 (a0,b0)的左右顶点分别为 A,B,点 P 是双曲线上一 点,若PAB 为等腰三角形,PAB120,则双曲线的离心率为 15已知数列an满足 (n N*),且 a26,则an的通项公式 为 16改革开放 40 年来,我国城市基础设施发生了巨大的变化,各种交通工具大大方便了人 们的出行需求某城
5、市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间,上班通常乘坐公交或地 铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟,乘坐公交到离单位最近 的公交站所需时间 Z1(单位:分钟)服从正态分布 N(33,42),下车后步行再到单位 需要 12 分钟;乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2(单位:分钟)服从正态分布 N(44,22),从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法: 若 8:00 出门,则乘坐公交一定不会迟到; 若 8:02 出门,则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同; 若 8:06 出门,则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大; 若 8:12 出门,则乘坐地铁比公交上班迟到的可能
6、性大 则以上说法中正确的序号是 参考数据:若 ZN(,2),则 P(Z+)0.6826, P(2Z+2)0.9544, P(3Z+3)0.9974 三、解答题 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ,且ABC 外接圆的半径为 1 ()求角 C; ()求ABC 面积的最大值 18 如图, 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形, BAD60, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 四边形 ACFE 为梯形,EFAC,点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点,AE 与平面 ABCD 所成角为 45 ()求证:BD平面 ACF; ()求平面 DEF 与平面 ABC
7、D 所成角的正弦值 19已知 F1,F2是椭圆 C: (ab0)的左、右焦点,过椭圆的上顶点的直 线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为 , ()求椭圆 C 的方程; ()过 F1的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,当ABF2面积最大时,求直线 l 的方程 20 为实现 2020 年全面建设小康社会, 某地进行产业的升级改造 经市场调研和科学研判, 准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产 该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件,对其核心部件的尺寸 x,进行统 计整理的频率分布直方图 根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸 x 满足:|x12|
8、1 为一级品,1|x12|2 为二级品,|x12|2 为三级品 ()现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽取 40 件产品,再从所抽取的 40 件产品中,抽取 2 件尺寸 x 12,15的产品,记 为这 2 件产 品中尺寸 x 14,15的产品个数,求 的分布列和数学期望; ()将甲设备生产的产品成箱包装出售时,需要进行检验已知每箱有 100 件产品, 每件产品的检验费用为 50 元检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不 检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每件支付 200 元补偿现从一箱产品中随机抽 检了 10 件,结果发现有 1 件三级品若将甲
9、设备的样本频率作为总体的慨率,以厂家支 付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余产品进行一一检验?请说明理由; ()为加大升级力度,厂家需增购设备已知这种产品的利润如下:一级品的利润为 500 元/件;二级品的利润为 400 元/件;三级品的利润为 200 元/件乙种设备产品中一、 二、三级品的概率分别是 , , 若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的 利润作为决策依据应选购哪种设备?请说明理由 21已知函数 f(x)lnx+ax+1 ()若函数 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围; ()f(x)xex恒成立,求 a 的取值范围 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为
10、 , (t 为参数),曲线 C2的 参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 ()求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程; ()射线 与曲线 C2交于 O,P 两点,射线 与曲线 C1交于 点 Q,若OPQ 的面积为 1,求|OP|的值 23已知 a,b,c 为正实数 ()若 a+b+c1,证明: ; ()证明: 参考答案参考答案 一、选择题 1已知集合 Ax|x2+x20B1,0,1,2,则( ) AAB2 BABR CB(RA)1,2 DB(RA)x|1x2 【分析】先求出集合 A,再求两集合的交,并,补,可判断正误 解:Ax|x2+x20x|x2
11、 或 x1AB2 故选:A 2已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( ) A1 B1 C D 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解: 是纯虚数, , 0,解得 a1, 故选:A 3已知 alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解: ,0a , log0.50.2log25log24,b2, 0.510.50.20.50, , acb, 故选:B 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN(modm)表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N,例如 104(mod6
12、)执行该程序框图,则输出的 n 等于( ) A11 B13 C14 D17 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下 条件的最小两位数: 被 3 除余 2, 被 4 除余 1, 故输出的 n 为 17, 故选:D 5若 , 是两个非零向量,且 , , 则向量 与 夹角 的取值范围是( ) A , B , C , D , 【分析】根据题意,设| | |t,向量 与 夹角为 ,又由| |mt,由向量模 的计算公式变形可
13、得: t 2,进而可得| |的值,由数量积公式可得 cos ,结合 m 的范围,分析可得 cos 的范围,结合余弦函 数的性质分析可得答案 解:根据题意,设| | |t,则| |mt,再设向量 与 夹角为 , 则有| |2( )2 2 2+2 m 2t2,变形可得: t 2, 则有| |2( )2 2 22 2t 22( t 2)4t2m2t2,变形可得 | | t, 则 cos , 又由 1m ,则 1 ,则有 cos , 又由 0,则有 ,即 的取值范围为 , ; 故选:C 6函数 的图象大致为( ) A B C D 【分析】根据函数是否存在零点,以及 f(1)的符号,利用排除法进行判断即
14、可 解:f(1) 0,排除 C,D, 由 0,则方程无解,即函数没有零点,排除 B, 故选:A 7圆周率 是数学中一个非常重要的数,历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人,让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a,b,再统计出 a,b,1 能构造锐角三角形的人数 M,利用 所学的有关知识,则可估计出 的值是( ) A B C D 【分析】N 个实数对(a,b)都在边长为 1 的正方形 AOBC 内,若 a,b,1 能构造锐角 三角形,则 a2+b21,所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对,再利用几何
15、概 率的概率公式即可求出 的近似值 解:学校共有学生 N 人,每人随机写出一对小于 1 的正实数 a,b,得到 N 个实数对(a, b), 因为 0a1,0b1,所以 N 个实数对(a,b)都在边长为 1 的正方形 AOBC 内,如 图所示: 若 a,b,1 能构造锐角三角形,因为 1 是最长边,所以 1 所对的角为锐角, 所以 ,即 a 2+b21, 所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对, 由几何概率的概率公式可得: 1 , 所以 , 故选:B 8设奇函数 f(x)在(0,+)上为增函数,且 f(1)0,则不等式 0 的 解集为( ) A(1,0)(1,+) B(,1)
16、(0,1) C(,1)(1,+) D(1,0)(0,1) 【分析】根据函数为奇函数求出 f(1)0,再将不等式 x f(x)0 分成两类加以分析, 再分别利用函数的单调性进行求解,可以得出相应的解集 解:f(x)为奇函数,且在(0,+)上是增函数,f(1)0, f(1)f(1)0,在(,0)内也是增函数 0, 即 或 根据在(,0)和(0,+)内是都是增函数 解得:x (1,0)(0,1) 故选:D 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,设点 M(3,0)若MAB 的面积为 ,则|AB|( ) A2 B4 C D8 【分析】 求得抛物线的焦点 F 的坐标, 可设直
17、线 l 的方程为 xty+1, 联立抛物线的方程, 消去 x, 可得 y 的二次方程, 运用韦达定理和弦长公式, 以及三角形的面积公式, 解得 t, 进而得到所求值 解:抛物线 y24x 的焦点 F 为(1,0),可设直线 l 的方程为 xty+1, 代入抛物线方程,可得 y24ty40, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1+y24t,y1y24, 则|AB| |y1y2| , MAB 的面积为 |MF| |y 1y2 | 2|y 1y2|4 , 即 4 ,解得 t1, 则|AB| 8, 故选:D 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn, 且满足 an 数列bn满足 bn (
18、1) n (2n+1) an,则数列bn的前 100 项和 T100为( ) A B C D 【分析】由 an 求出 a1,a2,猜想出 an ,然后用数学归纳法证明猜想, 再使用裂项相消法求数列bn的前 100 项和 T100 解: ,当 n1 时,有 a1 ,解得 a1 ;当 n2 时,可解得 a2 ,故猜想:an ,下面利用数学归纳法证明猜想: 当 n1,2 时,由以上知道 an 显然成立; 假设当 nk (k2) 时, 有 ak 成立, 此时 Sk 成 立 , 那 么 当 n k+1 时 , 有 ak+1 ,解得 ak+1 ,这说明当 nk+1 时也成 立 由知: an bn (1)
19、n (2n+1) a n, bn (1) n (2n+1) (1) n ( ), 数列bn的前 100 项和 T100( )+( )( )+( ) 1 故选:C 11对于函数 有下列说法: f(x)的值城为1,1; 当且仅当 时,函数 f(x)取得最大值; 函数 f(x)的最小正周期是 ; 当且仅当 , 时 f(x)0 其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据绝对值的定义将函数 f(x)写成分段函数,再作出函数的图象即可判断各 命题的真假 解:因为 f(x) , , ,作出函数 f(x)的图象,如图所示: 所以,f(x)的值城为1, ,错误; 函数 f(x)的最小正周期
20、是 2,错误; 当且仅当 时,函数 f(x)取得最大值,正确; 当且仅当 , 时,f(x)0,正确 故选:B 12 三棱锥PABC中 ABBC, PAC为等边三角形, 二面角PACB的余弦值为 , 当 三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为( ) A1 B2 C D 【分析】由已知作出图象,找出二面角 PACB 的平面角,设出 AB,BC,AC 的长, 即可求出三棱锥 PABC 的高,然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值(用 含有 AC 长度的字母表示) , 再设出球心 O, 由球的表面积求得半径, 根据球的几何性质, 利用球心距,半径,底面半径之间的关系求得
21、 AC 的长度,则三棱锥体积的最大值可求 解:如图所示, 过点 P 作 PE面 ABC,垂足为 E,过点 E 作 EDAC 交 AC 于点 D,连接 PD, 则PDE 为二面角 PACB 的平面角的补角,即有 cosPDE , 易知 AC面 PDE,则 ACPD,而PAC 为等边三角形, D 为 AC 中点, 设 ABa,BCb,AC c, 则 PEPDsinPDE c , 故三棱锥 PABC 的体积为:V ab , 当且仅当 ab 时,体积最大,此时 B、D、E 共线 设三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O,半径为 R, 由已知,4R28,得 R 过点 O 作 OFPE 于 F,则四边形
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