北京市2020届高考数学押题仿真试卷(二)含答案解析
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1、2020 年北京市高考数学押题试卷年北京市高考数学押题试卷 一、选择题(共 10 小题). 1已知集合 A1,0,Bx|1x1,则 AB( ) A1 B0 C1,0 D1,0,1 2设 ,blog32,ccos,则( ) Acba Bacb Ccab Dabc 3下列函数中,最小正周期为 的是( ) Aysin|x| Bycos|2x| Cy|tanx| Dy|sin2x| 4若 , ,则 ( ) A2 B3 C4 D5 5与圆 x2+y2+2x4y0 相切于原点的直线方程是( ) Ax2y0 Bx+2y0 C2xy0 D2x+y0 6设an是公差为 d 的等差数列,Sn为其前 n 项和,则“
2、d0”是“Sn为递增数列”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 1,则该几何体体积为 ( ) A B C D 8双曲线 C 的方程 (a0,b0),左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 右支上 的一点, , 以O为圆心, a为半径的圆与PF1相切, 则双曲线的离心率为 ( ) A B C2 D 9已知函数 f(x)sin(2x ),g(x)x 22,若对任意的实数 x 1,总存在实数 x2使 得 f(x1)g(x2)成立,则 x2的取值范围是( ) A1,1 B , C(,11,
3、+) D ,11, 10已知函数 f(x)2mx22(4m)x+1,g(x)mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g (x)至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A(0,2) B(0,8) C(2,8) D(,0) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11复数 12已知 ( ,),sin ,则 tan( ) 13在ABC 中,若 bcosC+csinB0,则C 14为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C(单位: mg/L)随时间 t(单位:h)的变化关系为 C ,则经过 h 后池水中药品的浓 度达到最大 15我国古代数学名著九章算术
4、的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比 如在表达式 中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程 ,求得 ,类似上述过程,则 三、解答题共 6 小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16在b1+b3a2,a4b4,S525 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中, 若问题中的 k 存在,求 k 的值;若 k 不存在,说明理由 设等差数列an的前 n 项和为 Sn,bn是等比数列, ,b1a5,b23,b581, 是否存在 k,使得 SkSk+1且 Sk+1Sk+2? 17如图,在
5、四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,E 为 AD 的中点,PAAD, BECD,BEAD,PAAEBE2,CD1 ()求证:平面 PAD平面 PCD; ()求二面角 CPBE 的余弦值 18某单位共有员工 45 人,其中男员工 27 人,女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 ()求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少; ()考核前,评估小组从抽取的 5 名员工中,随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人 中男员工人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望; ()考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔
6、试成绩分别为 78,85,89,92,96;结合 答辩情况,他们的考核成绩分别为 95,88,102,106,99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 , ,试比较 与 的大小(只需写出结论) 19已知函数 f(x)lnxax1(aR),g(x)xf(x) 2x ()求 f(x)的单调区间; ()当 a1 时,若函数 g(x)在区间(m,m+1)(mZ)内存在唯一的极值点,求 m 的值 20已知直线 l:xt 与椭圆 C: 1 相交于 A,B 两点,M 是椭圆 C 上一点 ()当 t1 时,求MAB 面积的最大值; () 设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E, F,
7、O 为原点 证明: |OE| |OF|为定值 21数字 1,2,3,n(n2)的任意一个排列记作(a1,a2,an),设 Sn为所有这 样的排列构成的集合集合 An(a1,a2,an)Sn|任意整数 i,j,1ijn,都 有 ai+iajj; 集合 Bn (a1, a2, , anSn|任意整数 i, j, 1in, 都有 a i+iaj+j ()用列举法表示集合 A3,B3 ()求集合 AnBn的元素个数; ()记集合 Bn的元素个数为 bn证明:数列bn是等比数列 参考答案 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项 1已知集合
8、 A1,0,Bx|1x1,则 AB( ) A1 B0 C1,0 D1,0,1 【分析】利用交集定义能求出集合 AB 解:集合 A1,0,Bx|1x1,则 AB0, 故选:B 2设 ,blog32,ccos,则( ) Acba Bacb Ccab Dabc 【分析】结合对数的单调性引入 0 与 1 进行比较大小,即可判断 解: 1,blog32(0,1),ccos1, 故 abc 故选:D 3下列函数中,最小正周期为 的是( ) Aysin|x| Bycos|2x| Cy|tanx| Dy|sin2x| 【分析】由题意利用三角函数的周期性,得出结论 解:由于函数 ysin|x|不是周期函数,故排
9、除 A; 由于函数 ycos|2x|cos2x 的周期为 ,故 B 不正确; 由于函数 y|tanx|的周期为 ,故排除 C; 由于函数 y|sin2x|的周期为 ,故 D 正确, 故选:D 4若 , ,则 ( ) A2 B3 C4 D5 【分析】根据垂直可得 ( )0,代入计算即可 解: , , ( )| |2 4 0, 4, 故选:C 5与圆 x2+y2+2x4y0 相切于原点的直线方程是( ) Ax2y0 Bx+2y0 C2xy0 D2x+y0 【分析】先求出圆的标准方程,可得圆心坐标和半径,(0,0)满足圆的方程,从而得 到答案 解:圆:x2+y2+2x4y0,即(x+1)2+(y2)
10、25,表示以 C(1,2)为圆心,半 径等于 的圆 (0,0)满足圆的方程,所以过点(0,0)且与圆 x2+y2+2x4y0 相切的直线方程为 x 2y0 故选:A 6设an是公差为 d 的等差数列,Sn为其前 n 项和,则“d0”是“Sn为递增数列”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的前 n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解:由 Sn+1Sn(n+1)a1 dna1 ddn+a10d0 且 d+a10 即数列Sn为递增数列的充要条件 d0 且 d+a10, 则“d0”是“Sn为递增数列”的既不充
11、分也不必要条件, 故选:D 7一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 1,则该几何体体积为 ( ) A B C D 【分析】根据已知中三视图,画出几何体的直观图,分析几何体的形状为三棱锥,代入 棱锥体积公式,可得答案 解:由已知中三视图,画出几何体的直观图如下图所示: 它的顶点均为棱长为 1 的正方体的顶点, 故其底面为直角边为 1 的等腰直角三角形,高为 1, 故几何体的体积 V , 故选:A 8双曲线 C 的方程 (a0,b0),左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 右支上 的一点, , 以O为圆心, a为半径的圆与PF1相切, 则双曲线的离心率为 ( ) A B C2
12、 D 【分析】连结 PF2、OM,PF2PF1由圆的切线性质,得到 OMPF1,根据三角形中 位线定理,算出|PF2|2|OM|2a在PF1F2中利用勾股定理,结合双曲线的定义解出 c 与 a 的关系,利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率 解:如图:连结 PF2、OM, ,所以 PF1PF2, 以 O 为圆心,a 为半径的圆与 PF1相切, M 是 PF1的中点, OM 是PF1F2的中位线, OMPF2,且|PF2|2|OM|2a PF1与以原点为圆心 a 为半径的圆相切, OMPF1,可得 PF2PF1, PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2, 根据双曲线的定义,
13、得|PF1|PF2|2a |PF1|PF2|+2a4a,代入得(4a)2+(2a)2|F1F2|2, (2c)2|F1F2|220a2,解之得 c a 由此可得双曲线的离心率为 e , 故选:A 9已知函数 f(x)sin(2x ),g(x)x 22,若对任意的实数 x 1,总存在实数 x2使 得 f(x1)g(x2)成立,则 x2的取值范围是( ) A1,1 B , C(,11,+) D ,11, 【分析】由题意,求出 f(x)的值域,根据对任意的实数 x1,总存在实数 x2使得 f(x1) g(x2)成立,可得 g(x)的值域,即可求出 x2的取值范围 解:函数 f(x)sin(2x ),
14、 根据正弦函数性可知:f(x)的值域为1,1, 对任意的实数 x1,总存在实数 x2使得 f(x1)g(x2)成立, 1,1g(x) g(x)x22, 根据二次函数性质可知:当 g(x)1 时,可得 x1, 当 g(x)1 时,可得 x , 由二洗函数的图象可得: ,11, 故选:D 10已知函数 f(x)2mx22(4m)x+1,g(x)mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g (x)至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A(0,2) B(0,8) C(2,8) D(,0) 【分析】当 m0 时,显然不成立;当 m0 时,因为 f(0)10,所以仅对对称轴进 行讨论即可 解:当
15、m0 时, 当 x 接近+时,函数 f(x)2mx22(4m)x+1 与 g(x)mx 均为负值, 显然不成立 当 x0 时,因 f(0)10 当 m0 时, 若 ,即 0m4 时结论显然成立; 若 ,时只要4(4m)28m4(m8)(m2)0 即可,即 4 m8 则 0m8 故选:B 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11复数 【分析】先对已知复数进行化简,然后结合模长公式即可求解 解: | |1i| 故答案为: 12已知 ( ,),sin ,则 tan( ) 【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果 解: , , , 则: , 所以: , 则: ,
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